Teil B1

Die Fahrbahn einer Autorennstrecke kann in einem Koordinatensystem (1 Einheit entspricht 100 Meter) dargestellt werden.

lhr Verlauf kann im betrachteten Teilstück durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{6}{x^2+3}$ $(x\in\mathbb{R};-5,00\leq x\leq5,00)$ näherungsweise beschrieben werden. Die Breite der Fahrbahn wird vernachlässigt.

Die Punkte $A,\,B,\,C$ und $D$ liegen auf dieser Fahrbahn.

Im gegebenen Koordinatensystem besitzen diese Punkte die Koordinaten $A(-3,00\mid -1,00 )$ , $B(3,00\mid 2,00)$ , $C(-1,00\mid f(-1,00))$ und $D(1,00\mid f(1,00) )$ .

1.1

Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau zwei Wendepunkte.
Zeige, dass die Punkte $C$ und $D$ diese beiden Wendepunkte sind.

Zwischen den Punkten $C$ und $D$ existiert ein geradliniger Verbindungsweg.

Weise nach, dass dieser Weg etwa $224\,$ m lang ist.

(7P)

1.2

Ein Rennwagen benötigt für die Fahrt auf der Fahrbahn zwischen den Punkten $A$ und $B$ eine Zeit von $17$ Sekunden.

Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennwagens zwischen den Punkten $A$ und $B$ in $\dfrac{km}{h}$ .

(6P)

1.3

Zum Schutz der Rennfahrer wird eine Auslaufzone gebaut.

In der Auslaufzone soll ein Rennwagen, welcher von der Fahrbahn abkommt, stark abgebremst werden. Die Auslaufzone wird im Koordinatensystem durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x)=-0,6\cdot x^2 +0,5\cdot x+2,1$ $(x\in\mathbb{R})$ und den Graphen der Funktion $f$ vollständig begrenzt.

Die Auslaufzone ist mit einer $25\,$ cm dicken Kiesschicht belegt.

Bestimme das Volumen dieser Kiesschicht.

(7P)

Eine geradlinig verlaufende Leitplanke soll zusätzlichen Schutz bieten.

Wenn ein Rennwagen von $A$ in Richtung $B$ fährt und im Punkt $E(0,00 \mid 2,00)$ tangential die Fahrbahn verlässt, dann trifft er bei geradliniger Fahrt nach etwa $56\,$ m im Punkt $M$ auf die Leitplanke (siehe Abbildung).

Ein Endpunkt der Leitplanke ist $L_1( 0,30\mid 2,30 )$ .

Die Dicke der Leitplanke wird vernachlässigt.

Abbildung (nicht maßstäblich)

1.4

Zeige, dass der Punkt $M$ näherungsweise die Koordinaten $M(0,50 \mid 2,25)$ besitzt.

Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Leitplanke.
Bestimme die Koordinaten des Endpunktes $L_2$ der Leitplanke.

Ermittle die minimale Entfernung der Fahrbahn der Autorennstrecke vom Mittelpunkt der Leitplanke.

(13P)

1.5

Es gibt einen Bereich der Fahrbahn der Autorennstrecke, für den gilt:

Wenn ein Rennwagen in diesem Bereich bei der Fahrt von $C$ nach $D$ tangential von der Fahrbahn abkommt und geradlinig weiterfährt, dann trifft er auf die Leitplanke $\overline{L_1L_2}$ .

Bestimme die Koordinaten des Punktes $P$ der Fahrbahn, in dem dieser Bereich von $C$ ausgehend beginnt.

(5P)

Eine Firma stellt Teile für die Leitplanke her. Jedes Teil wird zunächst zu einem Profil gebogen und danach beschichtet.

Die Firma gibt bezüglich der Produktion dieser Teile an:

$4,0\%$ aller Teile sind fehlerhaft im Profil.
$8,0\%$ aller Teile sind fehlerhaft in der Beschichtung.
$91,2\%$ aller Teile sind fehlerfrei, d. h., sie besitzen keinen Fehler im Profil und keinen Fehler in der Beschichtung.

1.6

Der Produktion der Firma werden $70$ Teile zufällig entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mehr fehlerfreie Teile sind, als zu erwarten ist.

(6P)

1.7

Ein der Produktion der Firma zufällig entnommenes Teil besitzt keinen Fehler in der Beschichtung.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Teil fehlerhaft im Profil ist.

(6P)