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Teil A

Aufgaben
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1.
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Welche der folgenden auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen besitzt genau drei Nullstellen?
$f(x)=\mathrm e^x\cdot(2\cdot x^2-3\cdot x+5)$
$f(x)=\sin x$
$f(x)=x\cdot(x^2+5)$
$f(x)=x^2\cdot\mathrm e^x$
$f(x)=3\cdot(x^2-1)\cdot(x+2)$
$f(x)=…$
$f(x)=\sin x$
$f(x)=x\cdot(x^2+5)$
$f(x)=…$
$f(x)=…$
#nullstelle
1.2
#ableitung
1.3
Für welchen reellen Wert von $t$ sind die Vektoren $\pmatrix{t\\2\\1}$ und $\pmatrix{1\\2-t\\1}$ orthogonal zueinander?
$t=1$
$t=2$
$t=3$
$t=4$
$t=5$
#orthogonal
1.4
Teil A
Abb. 2(nicht maßstäblich)
Teil A
Abb.2(nicht maßstäblich)
#ebenengleichung
1.5
Beim Wurf einer verbeulten Münz fällt das Wappen mit der Wahrscheinlichkeit $p$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 10-maligen Werfen dieser Münze genau zweimal Wappen fällt, lässt sich mit folgendem Term berechnen:
$p^2\cdot(1-p)^8$
$2\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
$\pmatrix{10\\2}\cdot p^2\cdot(1-p)^8$
$p^8\cdot(1-p)^2$
$\pmatrix{10\\2}\cdot p^8\cdot(1-p)^2$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 10
2
Der abgebildete Grapf $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.
2.1
Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 4: Graph $\text{I}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 5: Graph $\text{II}$
Teil A
Abb. 6: Graph $\text{III}$
Teil A
Abb. 6: Graph $\text{III}$
Erreichbare BE-Anzahl: 03
2.2
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
#monotonie#stammfunktion#ableitung
3.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen $E$ mit
$E:\,\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\-1\\5}+s\cdot\pmatrix{1\\1\\-1}+t\cdot\pmatrix{2\\3\\-4}$
$ E:\,\overrightarrow{x}= … $
$(s\in\mathbb{R},t\in\mathbb{R})$ und $F$ mit $F:-x+2\cdot y+z=1$ gegeben.
3.1
Gib die Koordinaten eines Punktes an, der in $F$ liegt.
Erreichbare BE-Anzahl: 01
3.2
Zeige, dass $F$ parallel zu $E$ ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
3.3
Gib eine Gleichung einer Ebene an, die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
4
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
4.1
Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
4.2
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.
Erreichbare BE-Anzahl: 03
5
Im Folgenden wird die gegenseitige Lage von Ebenen und Punkten mit drei gleichen Koordinaten betrachtet.
5.1
Die Ebene $E:3\cdot x+2\cdot y+2\cdot z=6$ enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
5.2
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Erreichbare BE-Anzahl: 03
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Funktion mit drei Nullstellen bestimmenTeil A
Der Term der ersten Funktion $f(x)=\mathrm e^x\cdot\left(2\cdot x^2 -3\cdot x +5\right)$ besteht aus zwei Faktoren, wobei der Faktor $\mathrm e^x$ nicht Null werden kann. Der zweite Term ist quadratisch und kann daher maximal zwei Nullstellen besitzen. Wegen des Satzes vom Nullprodukt kann die erste Funktion daher nicht drei Nullstellen besitzen.
Der zweite Funktionsterm beschreibt eine Sinusfunktion. Diese ist periodisch und besitzt daher unendlich viele Nullstellen.
Der Term der dritten Funktion besteht aus einem Produkt mit zwei Faktoren. Der erste Faktor $x$ besitzt genau eine Nullstelle. Der zweite Faktor $x^2+5$ besitzt keine Nullstelle, da $x^2$ nicht negativ werden kann. Diese Funktion besitzt also insgesamt genau eine Nullstelle.
Der vierte Funktionsterm besteht ebenfalls aus einem Produkt, bei dem der erste Faktor $x^2$ maximal zwei Nullstellen und der zweite Faktor $\mathrm e^x$ keine Nullstelle besitzt.
Die fünfte angegebene Funktion besitzt die Nullstellen $x_1 = -1,$ $x_2 = 1$ und $x_3 = -2,$ also genau drei Nullstellen. Die letzte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#satzvomnullprodukt
1.2
$\blacktriangleright$  Zutreffende Aussage angeben
Beachte, dass die erste Ableitungsfunktion $f'$ die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt. Sie kann also nur Nullstellen an den Stellen besitzen, an denen der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente hat, also nicht steigt oder fällt.
Die ersten beiden Antwortmöglichkeiten sind daher falsch.
An der Stelle $x=0$ besitzt der Graph von $f$ eine positive Steigung, an der Stelle $x=-1$ die Steigung Null. Die dritte Antwortmöglichkeit ist also auch falsch.
An der Stelle $x=2$ ist die Steigung negativ, an der Stelle $x=-1$ ist sie Null. Die vierte Antwortmöglichkeit ist daher auch falsch.
Die letzte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#steigung
1.3
$\blacktriangleright$  Parameterwert angeben
Die beiden Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{t\\2\\1} \circ \pmatrix{1\\2-t\\1}&=&0 \\[5pt] t +4-2t +1 &=& 0 \\[5pt] 5-t &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 5 &=& t \end{array}$
$ t = 5 $
Die letzte Antwortmöglichkeit $t=5$ ist die richtige.
#skalarprodukt
1.4
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die drei Punkte $(a\mid 0\mid 0),$ $(0\mid a\mid 0)$ und $(0\mid 0\mid a)$ in der Ebene liegen. Die einzige Gleichung, die die Koordinaten der drei Punkte erfüllen ist die zweite.
Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.
1.5
$\blacktriangleright$  Term für die Wahrscheinlichkeit angeben
Die Zufallsgröße, die die Anzahl der Würfe mit dem Ergebnis Wappen beschreibt, kann als binomialverteilt angenommen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zehn Würfen genau zweimal Wappen fällt, kann daher mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\binom{10}{2}\cdot p^2 \cdot (1-p)^8$
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#binomialverteilung
2.1
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.
  • Graph $\text{I}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$-Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
  • Graph $\text{II}$ schneidet die $x$-Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gehören.
  • Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$-Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$-Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.
Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$
2.2
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$-Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$
3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes angeben
Du kannst beispielsweise für $x$ und $y$ beliebige Zahlen wählen und den passenden Wert von $z$ berechnen:
Für $x=y=1$ erhältst du beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} -x+2\cdot y +z &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;x=y=1 \\[5pt] -1+2\cdot 1 +z &=& 1 \\[5pt] 1 +z &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] z &=& 0 \end{array}$
$ z= 0 $
Ein Punkt, der in $F$ liegt, ist beispielsweise $P(1\mid 1\mid 0).$
3.2
$\blacktriangleright$  Parallelität zeigen
$F$ und $E$ sind parallel, wenn ein Normalenvektor von $F$ auch ein Normalenvektor von $E$ ist. Dazu muss der Normalenvektor $\pmatrix{-1\\2\\1},$ der sich aus der Ebenengleichung von $F$ ablesen lässt, senkrecht zu den beiden Spannvektoren $\pmatrix{1\\1\\-1}$ und $\pmatrix{2\\3\\-4}$ der Ebenengleichung von $E$ sein.
Dies ist der Fall, wenn das jeweils zugehörige Skalarprodukt Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{1\\1\\-1} &=& -1\cdot 1 + 2\cdot 1 +1\cdot (-1) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{2\\3\\-4} &=& -1\cdot 2 + 2\cdot 3 +1\cdot (-4) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{1\\1\\-1} &= 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1} \circ \pmatrix{2\\3\\-4} &= 0 \\[10pt] \end{array}$
Der Normalenvektor von $F$ ist also senkrecht zu den beiden Spannvektoren von $E$ und daher auch senkrecht zur Ebene $E.$ Er ist daher gleichzeitig auch ein Normalenvektor von $E.$ Die beiden Ebenen $E$ und $F$ sind daher parallel.
3.3
$\blacktriangleright$  Gleichung einer senkrechten Ebene angeben
Da du in 3.2 bereits gezeigt hast, dass die Spannvektoren von $E$ senkrecht zu $F$ verlaufen, kannst du einen von beiden als Normalenvektor der senkrechten Ebene $G$ verwenden. Diese hat also beispielsweise folgende vorläufige Gleichung:
$G:\, x+y-z = d$
Einsetzen der Koordinaten des Koordinatenursprungs $O(0\mid 0\mid 0)$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} x+y-z &=& d \\[5pt] 0+0-0 &=& d \\[5pt] 0 &=& d \end{array}$
$ d=0 $
Eine Gleichung einer Ebene $G,$ die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält, lautet:
$G:\, x+y-z = 0.$
#skalarprodukt#normalenvektor
4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{625} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{2}{625} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.
4.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\\[5pt] &=& \frac{8}{25} \\[5pt] \end{array}$
$ p=\frac{8}{25} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$
#pfadregeln
5.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form $(t\mid t\mid t).$ Setzt du dies in die Ebenengleichung ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 3x +2y +2z &=& 6 \\[5pt] 3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt] 7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] t &=& \frac{6}{7} \end{array}$
$ t = \frac{6}{7} $
Die Koordinaten des gesuchten Punkts der Ebene $E$ mit drei übereinstimmenden Koordinaten lauten $\left(\frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\mid \frac{6}{7}\right).$
5.2
$\blacktriangleright$  Aussage begründen
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{1\\1\\1}.$
Alle Ebenen, die zu dieser Geraden parallel verlaufen, diese aber nicht enthalten, haben keine gemeinsamen Punkte mit ihr und daher keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Zu jeder Geraden gibt es unendlich viele Ebenen, die zu dieser parallel verlaufen und diese nicht enthalten. Auch zu $g$ gibt es daher unendlich viele parallele Ebenen, die $g$ nicht enthalten, die also keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.
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