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Teil B1

Aufgaben
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Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
1.1
Gib die Koordinaten des lokalen Maximumpunktes des Graphen von $f_2$ an. Zeige, dass der Graph der Funktion $f_2$ im Punkt $B(1,50|2,50)$ einen Wendepunkt besitzt.
Erreichbare BE-Anzahl: 04
#wendepunkt#extrempunkt
1.2
Der Punkt $A$ liegt auf der Ordinatenachse. Eine Gerade verläuft durch die Punkte $A$ und $C$. Bestimme den Schnittwinkel zwischen dieser Geraden und der Ordinatenachse.
Erreicbare BE-Anzahl: 04
1.3
Ein Strandwanderweg verläuft entlang der Küstenlinie von Festland I von $A$ über $C$ zu einem Zielpunkt $Z$. Ermittle die Läge des Strandwanderweges von $A$ bis $C$. Der Strandwanderweg von $A$ über $C$ bis zu $Z$ besitzt eine Länge von $7,50\,\text{km}$. Ermittle die Koordinaten von $Z$.
1.4
Zum Küstenschutz soll vom Punkt $B$ aus eine geradlinige Buhnenreihe senkrecht zur Küstenlinie von Festland I gebaut werden. Zeigen Sie, dass die Buhnenreihe auf dem Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x+\dfrac{3}{2}$ $(x\in\mathbb{R})$ liegt. Die Buhnenreihe soll $0,07\,\text{km}$ ins Meer hineinragen. Bestimme in diesem Sachzusammenhang den kleinstmöglichen Definitionsbereich von $h$.
Erreichbare BE-Anzahl: 06
#definitionsbereich
1.5
Der Verlauf der Küstenlinie von Festland II wird durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=-x^2+10\cdot x-23$ $(x\in\mathbb{R};3,00\leq x \leq 6,00)$ beschrieben. Ein Motorboot befindet sich im Punkt $C$ der Küstenlinie von Festland I. Das Motorboot soll auf dem kürzesten Weg zu Küstenlinie von Festland II gelangen. Bestimmt die Länge dieses kürzesten Weges. Ermittle die Koordinaten des Punktes, in dem das Motorboot auf die Küstenlinie von Festland II trifft.
Erreichbare BE-Anzahl: 06
1.6
Im Laufe der Zeit hat sich der Verlauf der Küstenlinie von Festland I verändert. Vor einiger Zeit verlief die Küstenlinie von Festland I durch den Punkt $D(2,00|1,60)$. Bestimme den Parameter $a$ so, dass der Graph der zugehörigen Funktion $f_a$ die damalige Küstenlinie von Festland I beschreibt.
Erreichbare BE-Anzahl: 03
1.7
Durch die sich ändernde Küstenlinie von Festland I wurden in den letzten 100 Jahren bis zum gegenwärtigen Zeitpunkt $60\,\text{ha}$ Festland im Bereich $0,00\leq x \leq 3,00$ an das Meer verloren. Bestimme den Parameter $a$ der Funktion $f_a$, deren Graph die Küstenlinie vor 100 Jahren beschreibt.
Erreichbare BE-Anzahl: 05
Es gibt eine Fähre, die ausschließlich von Fußgängern und Radfahrern genutzt wird. Der Anteil der Fußgänger an allen Nutzern der Fähre beträgt $\dfrac{2}{3}$.
1.8
Es werden 100 Nutzer der Fähre zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse unter Annahme einer Binomialverteilung:
Mehr als die Hälfte dieser Nutzer der Fähre sind Radfahrer.
Es sind weniger Fußgänger unter diesen Nutzern der Fähre als zu erwarten sind.
Erreichbare BE-Anzahl: 05
#binomialverteilung
1.9
Ein Ticket für Fußgänger kostet $1,85 \,€$ und ein Ticket für Radfahrer $3,70 \,€$. Andere Tickets werden nicht angeboten. Für den Fährbetrieb fallen pro Tag $1040,00 \,€$ Betriebskosten an. Im Mittel sind täglich 390 Nutzer der Fähre zu erwarten. Berechne den mittleren Verlust der Fährbetreiber an einem Tag. Der mittlere Verlust soll durch eine Erhöhung der Ticketpreise ausgeglichen werden. Dabei soll das Verhältnis der Tickepreise für Fußgänger und Radfahrer erhalten bleiben. Es wird davon ausgegangen, dass weiterhin im Mittel täglich 390 Nutzer der Fähre zu erwarten sind. Berechne um welchen Betrag der jeweilige Ticketpreis mindestens angehoben werden muss.
Erreichbare BE-Anzahl: 07
1.10
Die Vermutung, dass der Anteil der Radfahrer an allen Fährkunden am Wochenende $70\,\%$ beträgt, soll mithilfe eines zweiseitigen Signifikanztests überprüft werden. Dazu werden 100 Nutzer der Fähre zufällig ausgewählt und ermittelt, ob die Fußgänger oder Radfahrer sind. Die Nullhypothese „Der Anteil der Radfahrer am Wochenende beträgt $70\,\%$“ soll überprüft werden. Von den 100 zufällig ausgewählten und befragten Nutzern der Fähre waren 62 Radfahrer. Untersuche, ob aus diesen Daten die Nullhypothese auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ abgelehnt werden muss.
Erreichbare BE-Anzahl: 04
#hypothesentest
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des lokalen Maximumpunkts angebenTeil B1
Mit deinem CAS kannst du die Koordinaten des Hochpunkts bestimmen, indem du dir im Grpahik-Menü den Graphen von $f_2$ anzeigen lässt:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum
Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum
Du erhältst $H(1\mid 3).$
$\blacktriangleright$  Wendepunkt zeigen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium nachweisen
Für eine Wendestelle $x_W$ von $f_2$ muss gelten $f_2''(x_W)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f_2(x) &=& 2\cdot x^3 - 9\cdot x^2 +12\cdot x -2 \\[5pt] f_2'(x) &=& 6\cdot x^2 - 18\cdot x +12 \\[5pt] f_2''(x) &=& 12\cdot x - 18 \\[10pt] f_2''(1,50) &=& 12\cdot 1,50 -18 \\[5pt] &=& 0,00 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_2''(1,50) &= 12\cdot 1,50 -18 \\[5pt] &= 0,00 \end{array}$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist also für $x_W=1,50$ erfüllt.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Gilt zusätzlich zum notwendigen Kriterium auch $f_2'''(x_W)\neq 0,$ so handelt es sich bei $x_W$ um eine Wendestelle von $f_2:$
$\begin{array}[t]{rll} f_2''(x) &=& 12\cdot x - 18 \\[5pt] f_2'''(x) &=& 12 \\[10pt] f_2'''(1,50) &=& 12\neq 0 \\[5pt] \end{array}$
Bei $x_W = 1,50$ handelt es sich also um eine Wendestelle von $f_2.$
3. Schritt: Zweite Koordinate nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f_2(1,50)&=& 2\cdot 1,50^3 - 9\cdot 1,50^2 +12\cdot 1,50 -2 \\[5pt] &=& 2,50 \end{array}$
$ f_2(1,50) = 2,50 $
Der Punkt $B(1,50\mid 2,50)$ ist also ein Wendepunkt des Graphen von $f_2.$
1.2
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel bestimmen
1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{A}$ bestimmen
$A$ liegt auf dem Graphen von $f_2$ und auf der $y$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} f_2(0)&=& 2\cdot 0^3 -9\cdot 0^2 +12\cdot 0 - 2 \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
$ f_2(0)=-2 $
Der Punkt $A$ hat also die Koordinaten $A(0\mid 2).$
2. Schritt: Schnittwinkel bestimmen
Du kannst mit den Punkten $A,$ $C$ und der $y$-Achse ein rechtwinkliges Dreieck bilden, mit dessen Hilfe du den gesuchten Winkel bestimmen kannst.
Teil B1
Abb. 1: Skizze
Teil B1
Abb. 1: Skizze
Die Länge der Ankathete zum gesuchten Winkel $\alpha$ hat die Länge $4,$ die Gegenkathete hat die Länge $2.$ Mit dem Tangens ergibt sich nun für $\alpha:$
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{2}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 27^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 27^{\circ} $
Der Schnittwinkel der Geraden durch $A$ und $C$ mit der Ordinatenachse ist ca. $27^{\circ}$ groß.
#tangens
1.3
$\blacktriangleright$  Länge des Wegs ermitteln
Die Länge des Strandwanderweges von $A$ bis $C$ kannst du über die Bogenlänge des Graphen von $f_2$ von $A$ bis $C$ berechnen. Mit der entsprechenden Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} s[A,C] &=& \displaystyle\int_{0}^{2,00}\sqrt{1+\left(f_2'(x) \right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2,00}\sqrt{1+\left(6x^2 -18x+12\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] \end{array}$
$ s[A,C] = … $
Das Integral kannst du nun mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
Du erhältst dann folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} s[A,C] &=& \displaystyle\int_{0}^{2,00}\sqrt{1+\left(6x^2 -18x+12\right)^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 6,66\,\text{[km]} \end{array}$
$ s[A,C] \approx 6,66\,\text{[km]} $
Der Strandweg von $A$ nach $C$ ist ca. $6,66\,\text{km}$ lang.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Zielpunkts ermitteln
Du kannst nun ebenfalls die Formel von oben verwenden. Die $x$-Koordinate von $Z$ ist die obere Integrationsgrenze $b.$ Löse also folgende Gleichung nach $b.$
$\begin{array}[t]{rll} s[A,Z] &=& 7,5 \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{b}\sqrt{1+\left(6x^2 -18x+12\right)^2}\;\mathrm dx &=& 7,5\\[5pt] \end{array}$
$ s[A,Z] = 7,5 … $
Du kannst nun den solve-Befehl deines CAS verwenden, indem du diese Gleichung nach $b$ löst und erhältst $b\approx 2,42.$
Die $x$-Koordinate von $Z$ ist also ca. $2,42.$ Die zugehörige $y$-Koordinate ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(2,42) &=& 2\cdot 2,42^3 -9\cdot 2,42^2 +12\cdot 2,42 -2 \\[5pt] &\approx& 2,68 \end{array}$
$ f_2(2,42) \approx 2,68 $
Die Koordinaten von $Z$ sind ca. $Z(2,42\mid 2,68).$
#bogenlänge
1.4
$\blacktriangleright$  Lage auf dem Graphen zeigen
Die Buhnenreihe liegt auf der Normalen zum Graphen von $f_2$ im Punkt $B.$ Die Steigung der Normalen kann aus der Steigung der Tangente an den Graphen von $f_2$ im Punkt $B$ berechnet werden.
Die Tangente hat die gleiche Steigung, wie der Graph von $f_2$ im Punkt $B,$ also:
$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& f_2'(1,50) \\[5pt] &=& 6\cdot 1,50^2 -18\cdot 1,50 +12 \\[5pt] &=& -1,50 \\[5pt] \end{array}$
$ m_t = -1,50 $
Für die Steigung der Normalen $m_n$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m_n &=& -\frac{1}{m_t} \\[5pt] &=& -\frac{1}{-1,50} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array}$
$ m_n = \frac{2}{3} $
Die Normale soll durch den Punkt $B(1,50 \mid 2,50)$ verlaufen:
$\begin{array}[t]{rll} n: \, y &=& m_n \cdot x +b_n \\[5pt] y &=& \frac{2}{3} \cdot x +b_n &\quad \scriptsize \mid\; B(1,50\mid 2,50) \\[5pt] 2,50 &=& \frac{2}{3}\cdot 1,50 +b_n \\[5pt] 2,50 &=& 1 +b_n &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 1,50 &=& b_n\\[5pt] \frac{3}{2} &=& b_n \end{array}$
$ b_n = \frac{3}{2} $
Die Normale zum Graphen von $f_2$ im Punkt $B(1,50\mid 2,50)$ besitzt also die Gleichung $n: \, y= \frac{2}{3}x +\frac{3}{2}.$ Diese verläuft senkrecht zum Graphen von $f_2$ im Punkt $B$ und damit senkrecht zur Küstenlinie von Festland $\text{I}$ im Punkt $B.$ Auf ihr liegt also die Buhnenreihe. Ihre Gleichung entspricht der Gleichung von $h,$ also liegt die Buhnenreihe auf der Geraden $h.$
$\blacktriangleright$  Kleinstmöglichen Definitionsbereich angeben
Die Grenzen des Definitionsbereichs von $h$ bilden der Anfangspunkt $E$ und der Endpunkt $B$ der Buhnenreihe.
Der Endpunkt $E$ soll $0,07\,\text{km}$ von $B$ entfernt auf der Geraden $h$ liegen. Er hat also Koordinaten der Form $E\left(x_E\mid \frac{2}{3}x_E +\frac{3}{2}\right).$ Der Abstand von $B$ und $E$ soll $0,07$ beantragen. Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} d(B,E)&=& \sqrt{\left(2,50 - \frac{2}{3}x_E +\frac{3}{2}\right)^2 +\left(1,50-x_E\right)^2} \\[5pt] 0,07 &=& \sqrt{\left(1,00 - \frac{2}{3}x_E\right)^2 +\left(1,50-x_E\right)^2} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 0,0049 &=& \left(1,00 - \frac{2}{3}x_E\right)^2 +\left(1,50-x_E\right)^2 \\[5pt] 0,0049 &=& 1,00 -\frac{4}{3}x_E + \frac{4}{9}x_E^2 + 2,25 - 3,00x_E+x_e^2 \\[5pt] 0,0049 &=& -\frac{13}{3}x_E + \frac{13}{9}x_E^2 + 3,25 &\quad \scriptsize \mid\; -0,0049 \\[5pt] 0 &=& -\frac{13}{3}x_E + \frac{13}{9}x_E^2 + 3,2451 \\[5pt] \end{array}$
$ 0 = -\frac{13}{3}x_E + \frac{13}{9}x_E^2 + 3,2451$
Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&\approx& 1,44 \\[5pt] x_2 &\approx& 1,56 \end{array}$
Im Fall von $x_2\approx 1,56$ würde das zweite Ende der Buhnenreihe auf dem Festland liegen, die Buhnenreihe soll aber in das Meer hineinragen, nicht ins Festland. Also kommt nur $x_1\approx 1,44$ als $x$-Koordinate für das zweite Ende der Buhnenreihe infrage. Der kleinstmögliche Definitionsbereich von $h$ im Sachzusammenhang ist daher:
$D_h = \{x\mid x\in \mathbb{R}, 1,44\leq x \leq 1,50\}$
$D_h = \{x\mid x\in \mathbb{R}, 1,44\leq x \leq 1,50\}$
#tangente
1.5
$\blacktriangleright$  Länge des kürzesten Weges bestimmen
Der Ankunftspunkt $D$ liegt auf dem Graphen der Funktion $g$ und hat daher Koordinaten der Form $D(x_D\mid -x_D^2+10x_D -23).$
Der Abstand zwischen $D$ und $C$ kann wie im letzten Aufgabenteil nun durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(x) &=& \sqrt{ \left(-x^2+10x -23-2,00 \right)^2 +\left(x -2,00\right)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{ \left(-x^2+10x -25,00 \right)^2 +\left(x -2,00\right)^2 } \\[5pt] \end{array}$
$ d(x) = \sqrt{…} $
$d$ beschreibt nun den Abstand zwischen dem Punkt $C$ und dem Graphen von $g.$ Das Minimum von $d$ im Bereich $3,00 \leq x \leq 6,00$ kannst du mit deinem CAS bestimmen.
$\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMin-Befehl erhältst du die Stelle $x\in[3;6],$ an der der Funktionswert von $d$ am kleinsten ist.
$\text{fMin(d(x),x,3,6)}$
$\text{fMin(d(x),x,3,6)}$
$x_{\text{min}} = 4$
Der zugehörige Funktionswert lässt sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{lll} d(4)&\approx& 2,24\\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMin-Befehl erhältst du den kleinsten Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{min}}$.
$\text{fMin(d(x),x,3,6)}$
$\text{fMin(d(x),x,3,6)}$
$\begin{array}[t]{rll} d(x_{\text{min}})&\approx& 2,24\\[5pt] \end{array}$
Du erhältst die Koordinaten des Tiefpunkts zu $T(4,00\mid 2,24).$ Der kürzeste Weg ist also ca. $2,24\,\text{km}$ lang.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Ankunftspunktes ermitteln
Die $x$-Koordinate des Ankunftspunktes $D$ wurde oben bereits bestimmt, sie lautet $x_D = 4,00.$ Die zugehörige $y$-Koordinate erhältst du durch Einsetzen in den Funktionsterm von $g:$
$\begin{array}[t]{rll} g(4,00)&=& -4,00^2+10\cdot 4,00 -23 \\[5pt] &=& 1,00 \end{array}$
$ g(4,00) = 1,00 $
Der Ankunftspunkt am Festland $\text{II}$ hat die Koordinaten $D(4,00\mid 1,00).$
#extrempunkt
1.6
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
$a$ soll so bestimmt werden, dass der Punkt $D(2,00\mid 1,60)$ auf dem Graphen der Funktion $f_a$ liegt. Es muss also $f_a(2,00) = 1,60$ sein. Die Gleichung kannst du wie zuvor mit deinem CAS nach $a$ lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(2,00) &=& 1,60 \\[5pt] a\cdot 2,00^3-9\cdot 2,00^2 +12\cdot 2,00 -2&=& 1,60 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] a &\approx& 1,95 \end{array}$
$ a \approx 1,95 $
1.7
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Der Graph von $f_2$ beschreibt den Verlauf des Festlands $\text{I}$ heute, der Graph der gesuchten Funktion $f_a$ beschreibt den Verlauf des Festlands $\text{I}$ vor $100$ Jahren.
Das verloren gegangene Land entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $f_2$ und $f_a$ im Bereich $0,00\leq x \leq 3,00.$
Gesucht ist also $a,$ sodass der Flächeninhalt dieser Fläche $60\,\text{ha} = 0,6\,\text{km}^2$ beträgt. Der Flächeninhalt kann mithilfe eines Integrals in Abhängigkeit von $a$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(f_2-f_a\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(2x^3 -9x^2 + 12x -2 -\left(a\cdot x^3 -9x^2 +12x -2 \right)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(2x^3 -9x^2 + 12x -2 -a\cdot x^3 +9x^2 -12x +2 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \displaystyle\int_{0,00}^{3,00}\left(2x^3 -a\cdot x^3 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] 0,60 &=& \left[0,5x^4-\frac{1}{4}ax^4 \right]_{0,00}^{3,00} \\[5pt] 0,60 &=& 0,5\cdot 3,00^4-\frac{1}{4}a\cdot 3,00^4 -0,5\cdot 0,00^4+\frac{1}{4}a\cdot 0,00^4 \\[5pt] 0,60 &=& 40,5-20,25a &\quad \scriptsize \mid\; -40,5 \\[5pt] -39,9 &=& -20,25a &\quad \scriptsize \mid\; :(-20,25) \\[5pt] 1,97&\approx& a \end{array}$
$ a\approx 1,97 $
Der Graph der Funktion $f_a$ mit $a\approx 1,97$ beschreibt die Küstenlinie vor $100$ Jahren.
#integral
1.8
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Radfahrer unter den $100$ zufällig ausgewählten Nutzern der Fähre beschreibt. Diese soll laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen werden. Es gilt dafür $n= 100$ und $p = \frac{1}{3}.$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten kannst du mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X> 50) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 50)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1-0,9998 \\[5pt] &=& 0,0002\\[5pt] &=& 0,02 \,\%\\[10pt] \end{array}$
$ P(A)\approx 0,02 \,\% $
Zu erwarten ist, dass $\frac{2}{3}$ aller Nutzer Fußgänger sind, das sind $\frac{2}{3}\cdot 100 \approx 66,7.$ Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $66$ Fußgänger unter den zufällig ausgewählten Nutzern sind. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $34$ Radfahrer unter den zufällig ausgewählten Nutzern sind.
$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(X\geq 34) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 33) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1-0,5188 \\[5pt] &=& 0,4812\\[5pt] &=& 48,12\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(B)\approx 48,12\,\% $
1.9
$\blacktriangleright$  Mittleren Verlust pro Tag berechnen
Im Mittel sind an einem Tag $390$ Nutzer zu erwarten. Davon sind in der Regel $\frac{2}{3}$ Fußgänger und $\frac{1}{3}$ Radfahrer.
Anzahl Fußgänger, die zu erwarten sind: $390\cdot \frac{2}{3} = 260$
Anzahl Radfahrer, die zu erwarten sind: $390\cdot \frac{1}{3} = 130$
Erwartete Einnahmen an einem Tag:
$260 \cdot 1,85\,€ + 130 \cdot 3,70\,€ = 962\,€$
$260 \cdot 1,85\,€ + …$
Der Fährbetreiber nimmt am Tag im Mittel $962\,€ $ ein. Er macht im Mittel also $1.040,00\,€ -962,00\,€ = 78,00\,€$ Verlust.
$\blacktriangleright$  Betrag der Erhöhung pro Ticket berechnen
Das Verhältnis der Ticketpreis soll erhalten bleiben. Bezeichne den neuen Ticketpreis für Fußgänger mit $p_F$ und den neuen Preis für Radfahrer mit $p_R.$ Es soll also gelten:
$\text{I}\quad \dfrac{p_F}{p_R} = \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}$
Die neuen Ticketpreise sollen mindestens die Betriebskosten von $1.040,00\,€$ abdecken, die jeden Tag anfallen. Die Einnahmen, die der Fährbetrieb im Mittel an einem Tag hat sollen also $1.040,00\,€$ betragen. Es folgt daher folgende Gleichung in Abhängigkeit der neuen Preise:
$\text{II}\quad p_F \cdot 260 + p_R \cdot 130 = 1.040,00 \,€$
$\text{II}\, p_F \cdot 260 + …$
Die erste Gleichung lässt sich beispielsweise nach $p_F$ umformen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{p_F}{p_R} &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot p_R\\[5pt] p_F &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R \\[5pt] \end{array}$
$ p_F = \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R $
Dies kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} p_F \cdot 260 + p_R \cdot 130 &=& 1.040,00 \,€ &\quad \scriptsize \mid\;p_F= \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R \\[5pt] \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R\cdot 260 + p_R \cdot 130 &=& 1.040,00 \,€ \\[5pt] p_R \cdot 260 &=& 1.040,00 \,€ &\quad \scriptsize \mid\; :260\\[5pt] p_R &=& 4,00 \,€ \\[5pt] \end{array}$
$ p_R = 4,00 \,€ $
Für Fußgänger gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} p_F &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot p_R \\[5pt] &=& \dfrac{1,85\,€ }{3,70\,€}\cdot 4,00\,€\\[5pt] &=& 2,00\,€ \end{array}$
$ p_F=2,00\,€ $
Der Ticketpreis für Fußgänger muss also mindestens um $0,15\,€$ und der Preis für Radfahrer um $0,30\,€$ erhöht werden um die Betriebskosten pro Tag zu decken.
1.10
$\blacktriangleright$  Entscheidung des Signifikanztests untersuchen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die in der Stichprobe von $100$ zufällig ausgewählten Nutzern die zufällige Anzahl der Radfahrer beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Geht man davon aus, dass $Y$ entsprechend der Nullhypothese verteilt ist,
$H_0:\,$ „Der Anteil der Radfahrer am Wochenende beträgt $70\,\%.$“
so ist $p =0,7.$
Gesucht ist nun ein Annahmebereich $A,$ der symmetrisch um den Erwartungswert von $Y$ ist. Für diesen soll aufgrund des Sginifikanzniveaus gelten:
$\begin{array}[t]{rll} &P(Y \in \overline{A})&\leq& 0,05 \\[5pt] \Leftrightarrow &P(Y \in A)&\geq& 0,95 \end{array}$
Mithilfe der Sigma-Regeln erhältst du:
$P(\mu -1,96\cdot \sigma \leq Y \leq \mu +1,96\cdot \sigma ) \approx 0,95$
$P(\mu -1,96\cdot \sigma …$
Für $Y$ gilt mithilfe der entsprechenden Formeln für eine binomialverteilte Zufallsgröße:
$\mu = n\cdot p = 100 \cdot 0,7 = 70$
$ \mu = 70 $

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{100\cdot 0,7\cdot 0,3} = \sqrt{21}$
$ \sigma = \sqrt{21}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu -1,96\cdot \sigma \leq Y \leq \mu +1,96\cdot \sigma ) &\approx& 0,95 \\[5pt] P(70 -1,96\cdot \sqrt{21} \leq Y \leq 70 +1,96\cdot \sqrt{21} ) &\approx& 0,95 \\[5pt] P(61\leq Y \leq 79)&\approx& 0,95 \end{array}$
$ P(61\leq Y \leq 79)\approx 0,95 $
Der Annahmebereich für die Nullhypothese ist also $A=[61;79].$ Die Anzahl der Radfahrer in der Stichprobe betrug $62.$ Dieser Wert fällt in den Annahmebereich. Die Nullhypothese muss auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ also nicht abgelehnt werden.
Bildnachweise [nach oben]
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