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Teil B2

Aufgaben
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Die altägyptische Knickpyramide in Dahschur hat eine einzigartige Form. Diese Form entstand, nachdem in drei Phasen jeweils der geplante Bau geändert wurde.
Die erste Phase wurde erfolglos abgebrochen.
In der zweiten Phase wurde mit dem Bau einer geraden quadratischen Pyramide begonnen. Die Grundfläche $ABCD$ befand sich im ebenen Gelände. Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche betrug $188,0\,\text{m}.$ Die entstandenen Seitenflächen waren um $54,0^{\circ}$ gegenüber dem ebenen Gelände geneigt.
2.1
Berechne, welche Höhe diese Pyramide nach Fertigstellung erreicht hätte.
(4 BE)
#pyramide
In einer Bauhöhe von $49,0\,\text{m}$ traten Stabilitätsprobleme auf.
In der dritten Phase wurde auf den $49,0\,\text{m}$ hohen Pyramidenteil $ABCDEFGH$ eine weitere gerade quadratische Pyramide $EFGHS$ gebaut. So entstand die noch heute erhaltene Form der Knickpyramide $ABCDEFGHS$ mit einer Gesamthöhe von $105\,\text{m}.$
Diese Knickpyramide kann in einem kartesischen Koordinatensystem ($1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter) dargestellt werden (siehe Abbildung).
Das ebene Gelände liegt in der $x$-$y$-Koordinatenebene. Der Mittelpunkt der Fläche $ABCD$ liegt im Koordinatenursprung. Die Seitenkanten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ verlaufen parallel zur $x$-Achse.
Teil B2
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B2
Abb. 1: nicht maßstäblich
2.2
Begründe, dass der Punkt $B$ die Koordinaten $B(94,0\mid 94,0\mid 0,0)$ besitzt.
Gib eine Gleichung der Ebene an, in der die Punkte $E$, $F$, $G$ und $H$ liegen.
Weise nach, dass der Punkt $E$ die Koordinaten $E(58,4\mid -58,4\mid 49,0)$ besitzt.
(10 BE)
#ebenengleichung
2.3
Bestimme das Volumen der Knickpyramide.
(7 BE)
In der Seitenfläche $ABFE$ gibt es einen Zugang in das Innere der Knickpyramide. Von diesem Zugang aus führt ein geradeliniger Gang zu den Grabkammern.
Der Punkt $Z$ ist Mittelpunkt des Zugangs und besitzt die Koordinaten $Z(85,3\mid 0,0\mid 12,0).$ Die Mittellinie des Ganges ist $74,0\,\text{m}$ lang und verläuft vom Punkt $Z$ in Richtung des Vektors $\pmatrix{-13,3\\ 0,0\\ -6,2}.$
2.4
Bestimme, in welcher Tiefe unter dem ebenen Gelände die Mittellinie des Ganges endet.
(6 BE)
2.5
Mithilfe der Videokamera einer Drohne soll in den Gang zu den Grabkammern hineingefilmt werden.
Beim Start der Drohne befindet sich der Mittelpunkt des Objektivs der Videokamera im Punkt $(104,0\mid 30,0\mid 0,1).$ Die Drohne soll nach dem Start zunächst senkrecht zum ebenen Gelände nach oben steigen. Danach soll die Drohne in richutng des Vektors $\overrightarrow{BE}$ fliegen, bis sich der Mittelpunkt des Objektivs der Videokamera auf der Geraden befindet, auf der auch die Mittellinie des Ganges zu den Grabkammern liegt.
Ermittle, welche Strecke die Drohne nach dem Start senkrecht zum ebenen Gelände nach oben steigen muss.
(6 BE)
Jedes Jahr besuchen sehr viele Urlauber die Knickpyramide. Darunter stammen erfahrungsgemäß $28\,\%$ aus Deutschland.
2.6
Beim Besuch der Knickpyramide werden $25$ Urlauber zufällig ausgewählt und befragt, woher sie stammen.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis $A:$ Unter den befragten Urlaubern stammt keiner aus Deutschland.
Ereignis $B:$ Der zwölfte befragte Urlauber ist der fünfte, der aus Deutschland stammt.
(7 BE)
2.7
Ein Reiseveranstalter hat eine große Werbekampagne für den Besuch der Knickpyramide durchgeführt. Daraufhin vermutet er, dass der Anteil der aus Deutschland stammenden Urlauber, welche die Knickpyramide besuchen, gestiegen ist.
In einem Test mit $100$ zufällig ausgewählten und befragten Bescuhern der Knickpyramide soll die Nullhypothese „Der Anteil der aus Deutschland stammenden Urlauber, welche die Knickpyramide besuchen, liegt höchstens bei $28\,\%.$“ getestet werden.
Von den $100$ zufällig ausgewählten und befragten Urlaubern stammen $33$ aus Deutschland.
Untersuche, ob aus diesen Daten auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ die Vermutung des Reiseveranstalters bestätigt werden kann.
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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2.1
$\blacktriangleright$  Höhe der Pyramide berechnen
Gesucht ist die Höhe der ursprünglich in der zweiten Phase geplanten Pyramide $ABCDS_1.$ Da die Pyramide eine quadratische Grundfläche besitzt und alle Seitenflächen im gleichen Winkel zum ebenen Gelände geneigt sind, kann bei den folgenden Berechnungen jede Seitenfläche verwendet werden.
Teil B2
Abb. 1: Skizze der Pyramide $ABCDS_1$
Teil B2
Abb. 1: Skizze der Pyramide $ABCDS_1$
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& \dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{h}{\left|\overline{M'M}\right|} \\[5pt] \tan\left(54^{\circ}\right)&=&\dfrac{h}{94\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 94\,\text{m} \\[5pt] \tan\left(54^{\circ}\right)\cdot 94\,\text{m}&=&h \\[5pt] 129,38\,\text{m}&\approx& h \\[5pt] \end{array}$
$ 129,38\,\text{m}\approx h $
Die Pyramide hätte eine Höhe von ca. $129,38\,\text{m}$ erreicht.
#neigungswinkel#tangens
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten begründen
Die gesamte Grundfläche liegt in der $x$-$y$-Ebene, da das ebene Gelände in der $x$-$y$-Ebene liegt, damit insbesondere auch der Punkt $B.$ Für die $z$-Koordinate gilt also $z = 0.$
Die Seitenkanten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ verlaufen parallel zur $x$-Achse, die Seitenkanten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ verlaufen daher parallel zur $y$-Achse, weil $ABCD$ ein Quadrat ist.
Die Punkte $O$ und $B$ bilden gemeinsam mit den Mittelpunkten der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ ein Quadrat mit den Seitenlängen $94\,\text{m}$, da der Punkt $O$ der Mittelpunkt der Grundfläche ist.
Damit ergeben sich auch die $x$- und $y$-Koordinaten zu $94,0:$ $B(94,0\mid 94,0\mid 0,0).$
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ebene angeben
Die Grundfläche der Pyramide liegt in der $x$-$y$-Ebene. Die Ebene $E$, in der die Punkte $E$, $F$, $G$ und $H$ liegen, entsteht wegen der Höhe des ursprünglichen Pyramidenteils $ABCDEFGH$ durch Verschiebung der $x$-$y$-Ebene um $49$ Einheiten in positive $z$-Richtung. Damit ergibt sich die Ebenengleichung: $E:\, z =49.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten nachweisen
Der Punkt $E$ liegt in der Ebene $E$ und muss daher die $z$-Koordinate $49$ besitzen. Für die beiden übrigen Koordinaten von $E$ betrachten wir den Teil der Pyramide $ABCDS_1,$ der nicht gebaut wurde. Dieser ist wiederum eine Pyramide mit der quadratischen Grundfläche $EFGH$ und der ursprünglichen Spitze $S_1.$
Analog zur Aufgabe 2.1 kann hier ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet werden, das die Spitze $S_1$ mit dem Mittelpunkt $M_1$ der Grundfläche $EFGH$ und dem Mittelpunkt $M_2$ der Seitenkante $EH$ bildet.
Der Innenwinkel bei $M_2$ entspricht dann dem Neigungswinkel $\alpha$ der Seitenflächen der ursprünglichen Pyramide $ABCDS_1$ zum ebenen Gelände. Die Höhe $h_2$ der Pyramide ist die Differenz der Höhe $h$ der gesamten Pyramide und der Höhe des Pyramidenstumpfs mit $49\,\text{m}:$
$h_2 = 129,39\,\text{m}- 49\,\text{m} = 80,38\,\text{m}$
$\begin{array}[t]{rll} & h_2 \\[5pt] =&129,39\,\text{m}- 49\,\text{m}\\[5pt] =& 80,38\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$
$h_2$ entspricht der Gegenkathete von $\alpha$, die Länge der Ankathete kann mit dem Tangens bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& \dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}} \\[5pt] \tan\left(54^{\circ}\right)&=& \dfrac{h_2}{\left| \overline{M1M2}\right|}\\[5pt] \tan\left(54^{\circ}\right)&=& \dfrac{80,38\,\text{m}}{\left| \overline{M1M2}\right|}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left| \overline{M1M2}\right| \\[5pt] \left| \overline{M1M2}\right|\cdot \tan\left(54^{\circ}\right) &=& 80,38\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\; : \tan\left(54^{\circ}\right) \\[5pt] \left| \overline{M1M2}\right|&\approx& 58,4\,\text{m} \end{array}$
$ \left| \overline{M1M2}\right|\approx 58,4\,\text{m} $
Die halbe Seitenlänge der Grundfläche $EFGH$ beträgt also ca. $58,4\,\text{m}.$
Da der Mittelpunkt $O$ der Grundfläche $ABCD$ im Koordinatenursprung liegt, liegt auch der Mittelpunkt $M_1$ der zweiten Grundfläche $EFGH$ auf der $z$-Achse, da es sich um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt.
Dies ist auch der Grund dafür, dass es sich bei der zweiten Grundfläche $EFGH$ ebenfalls um ein Quadrat handelt. Weil auch die Seitenkanten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ parallel zur $x$-Achse liegen, gilt gleiches auch für die Seitenkanten $\overline{EH}$ und $\overline{FG}$ und damit sind auch $\overline{HG}$ und $\overline{EF}$ parallel zur $y$-Achse.
Insgesamt folgt damit für die $x$-Koordinate von $E$ $x = 58,4$ und für die $y$-Koordinate $y = -58,4.$
#tangens
2.3
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Das Volumen $V_K$ der Knickpyramide setzt sich zusammen aus dem Volumen $V_S$ des Pyramidenstumpfs $ABCDEFGH$ und dem Volumen $V_P$ der Pyramide $EFGHS.$
Das Volumen der Pyramide $EFGHS$ ergibt sich wie folgt:
$V_P= \frac{1}{3}\cdot A_{G_P}\cdot h_P$
Die Gesamthöhe der Knickpyramide beträgt $105\,\text{m},$ die Höhe des Pyramidenstumpfs beträgt $49\,\text{m},$ also ist $h_P = 105\,\text{m}-49\,\text{m}= 56\,\text{m}.$
Aus den Koordinaten von $E$ lässt sich die Seitenlänge $a$ der quadratischen Grundfläche $EFGH$ bestimmen: $a= 2\cdot 58,4\,\text{m}= 116,8\,\text{m}$
$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& \frac{1}{3}\cdot A_{G_P}\cdot h_P\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \left( 116,8\,\text{m}\right)^2\cdot 56\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 254.655,15\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_P\approx 254.655,15\,\text{m}^3$
Mit der Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfs ergibt sich für $V_S:$
$\begin{array}[t]{rll} V_S&=& \frac{1}{3}\cdot h_S \cdot \left(A_G +\sqrt{A_G \cdot A_{G_P}} +A_{G_P}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 49\,\text{m}\cdot \left(\left(188\,\text{m}\right)^2+\sqrt{\left(188\,\text{m}\right)^2\cdot \left(116,8\,\text{m}\right)^2} + \left(116,8\,\text{m}\right)^2 \right) \\[5pt] &\approx& 1.158.762,45\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_S\approx 1.158.762,45\,\text{m}^3 $
Für das gesamte Volumen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=& V_P+V_S \\[5pt] &\approx& 254.655,15\,\text{m}^3 + 1.158.762,45\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 1.413.417,60\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_K \approx 1.413.417,60\,\text{m}^3 $
Die Knickpyramide besitzt ein Volumen von ca. $1.413.417,60\,\text{m}^3.$
2.4
$\blacktriangleright$  Tiefe des Gangendes ermitteln
Die Mittellinie des Ganges beginnt im Punkt $Z$ und verläuft dann in Richtung des Vektors $\pmatrix{-13,3\\ 0,0\\-6,2}.$ Sie liegt daher auf der Geraden $g$ mit folgender Gleichung:
$g: \; \overrightarrow{x} = \pmatrix{85,3\\0,0\\ 12,0}+ t\cdot \pmatrix{-13,3\\ 0,0\\-6,2}$
$ g: \overrightarrow{x}=… $
Das Gangende der Mittellinie liegt im Punkt $P_t,$ der mit einem Abstand von $74$ auf der Geraden $g$ liegt. Es muss also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} d(Z,P_t)&=& 74 \\[5pt] \left| \overline{ZP_t}\right|&=& 74 \\[5pt] \left|\pmatrix{85,3\\0,0\\ 12,0}+ t\cdot \pmatrix{-13,3\\ 0,0\\-6,2}-\pmatrix{85,3\\0,0\\ 12,0} \right|&=&74 \\[5pt] \left|t\cdot \pmatrix{-13,3\\ 0,0\\-6,2}\right|&=&74 \\[5pt] \sqrt{(-13,3t)^2+(0,0)^2 +(-6,2t)^2}&=&74 \\[5pt] \sqrt{215,33t^2}&=& 74 \\[5pt] \sqrt{215,33}t&=& 74&\quad \scriptsize \mid\;:\sqrt{215,33} \\[5pt] t&=& \dfrac{74}{\sqrt{215,33}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d(Z,P_t)&=& 74 \\[5pt] … \\[5pt] t&=& \dfrac{74}{\sqrt{215,33}} \end{array}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{85,3\\0,0\\ 12,0}+ \dfrac{74}{\sqrt{215,33}}\cdot \pmatrix{-13,3\\ 0,0\\-6,2} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{18,23\\0\\-19,27} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} \approx \pmatrix{18,23\\0\\-19,27} $
Da das ebene Gelände in der $x$-$y$-Ebene liegt, wird die Tiefe des Gangendes durch die $z$-Koordinate des Endpunktes beschrieben.
Die Mittellinie des Ganges endet ca. $19,27\,\text{m}$ unter dem ebenen Gelände.
#vektorbetrag
2.5
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke ermitteln
Der Startpunkt der Mitte des Objektivs hat die Koordinaten $(104,0\mid 30,0\mid 0,1).$ Danach steigt die Drohne senkrecht zum ebenen Gelände nach oben, wodurch sich die Objektivmitte jederzeit in einem Punkt $T_z(104,0\mid 30,0\mid z)$ befindet.
In einem dieser Punkte $T_z$ ändert die Drohne ihre Flugrichtung und fliegt dann in Richtung des Vektors $\overrightarrow{BE}.$ Die Objektivmitte bewegt sich dann entlang der Geraden mit der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} h_z:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OT_z}+ s\cdot \overrightarrow{BE}\\[5pt] &=& \pmatrix{104,0\\30,0\\ z} + s\cdot \pmatrix{-35,6\\-152,4\\49 } \end{array}$
$ h_z:\, \overrightarrow{x} = … $
Diese soll die Gerade $g$ schneiden, auf der die Mittellinie des Gangs liegt:
$ \pmatrix{104,0\\30,0\\ z} + s\cdot \pmatrix{-35,6\\-152,4\\49 } = \pmatrix{85,3\\0,0\\12,0} +t\cdot \pmatrix{-13,3\\0,0\\-6,2}$
$ \pmatrix{104,0\\30,0\\ z} + … $
Teil B2
Abb. 2: Lösen mit dem CAS
Teil B2
Abb. 2: Lösen mit dem CAS
Wenn die Drohne ihren Kurs verändert befindet sich die Mitte des Objektivs also im Punkt $T(104,0\mid 30,0\mid 7,80).$ Sie ist im Punkt $(104,0\mid 30,0\mid 0,1)$ gestartet und demnach $7,8\,\text{m}-0,1\,\text{m} = 7,7\,\text{m}$ senkrecht nach oben gestiegen.
2.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Wir betrachten die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Urlauber aus Deutschland in der Stichprobe von $25$ Urlaubern beschreibt. Bei jedem Urlauber wird dabei nur unterschieden, ob er aus Deutschland kommt $(D)$ oder nicht $(\overline{D}).$ Da erfahrungsgemäß $28\,\%$ aller Besucher der Knickpyramide aus Deutschland kommen, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er aus Deutschland kommt, bei jedem befragten Urlauber gleich.
Damit kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=25$ und $p = 0,28$ angenommen werden. Es kann also die Formel für die Binomialverteilung verwendet werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=0) \\[5pt] &=& \binom{25}{0}\cdot 0,28^0\cdot (1-0,28)^{25-0} \\[5pt] &\approx & 0,0003 \\[5pt] &=& 0,03\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 0,03\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A,$ also dafür, dass unter den $25$ befragten keiner aus Deutschland stammt, beträgt ca. $0,03\,\%.$
Ereignis $B$ tritt ein, wenn unter den ersten $11$ befragten genau $4$ Urlauber aus Deutschland stammen und der zwölfte Urlauber aus Deutschland stammt. Für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten $11$ befragten genau $4$ aus Deutschland stammen, betrachten wir die Zufallsgröße $X_{11},$ die aus den gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann, mit den Parametern $n=11$ und $p=0,28.$ Dann folgt mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X_{11} =4)\cdot P(D) \\[5pt] &=& \binom{11}{4}\cdot 0,28^4\cdot (1-0,28)^{11-4}\cdot 0,28 \\[5pt] &\approx& 0,0570 \\[5pt] &=&5,70 \,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 5,70 \,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B,$ also dafür, dass der zwölfte befragte Urlauber der fünfte ist, der aus Deutschland stammt, beträgt ca. $5,70\,\%.$
#pfadregeln#binomialverteilung
2.7
$\blacktriangleright$  Vermutung untersuchen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_{100},$ die die zufällige Anzahl der aus Deutschland stammenden Urlauber in dem Test mit $100$ zufällig ausgewählten Urlaubern beschreibt. Diese kann aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n=100$ und unbekanntem $p.$ Laut Aufgabenstellung ist die zu überprüfende Nullhypothese :
$H_0: p \leq 0,28$
Das Signifikanzniveau gibt an, dass die Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden soll. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, das folgende Ungleichung gerade noch erfüllt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X> k)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(X\leq k)&\leq& 0,05&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(X\leq k)&\leq&-0,95 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] P(X\leq k)&\geq&0,95 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X> k)&\leq& 0,05 \\[5pt] … \\[5pt] P(X\leq k)&\geq&0,95 \end{array}$
Teil B2
Abb. 3: Interaktiv $\to$ Verteilungsf.
Teil B2
Abb. 3: Interaktiv $\to$ Verteilungsf.
Von den $100$ befragten Urlaubern stammen $33$ aus Deutschland. Dies liegt noch im Annahmebereich. Es kann also auf einem Signifikanzniveau von $95\,\%$ nicht davon ausgegangen werden, dass sich der Anteil aus Deutschland stammender Urlauber erhöht hat. Die Vermutung des Reiseveranstalters kann also nicht bestätigt werden.
#hypothesentest
Bildnachweise [nach oben]
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