Aufgabe B3
In einer Packung befinden sich zehn blaue, sechs grüne und vier weiße Büroklammern. Dieser Packung werden drei Büroklammern nacheinander ohne Zurücklegen zufällig entnommen.
3.1
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.
Alle entnommenen Büroklammern sind blau.
Unter den entnommenen Büroklammern ist von jeder Farbe eine.
(4 BE)
3.2
Beurteile folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den entnommenen Büroklammern mindestens zwei blaue Büroklammern sind, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, weniger als zwei blaue zu entnehmen.
(3 BE)
3.3
Erfahrungsgemäß weisen 
aller hergestellten Büroklammern einen Mangel auf. Es wird angenommen, dass in einer zufälligen Auswahl von Büroklammern die Anzahl der Büroklammern, die einen Mangel aufweisen, binomialverteilt ist.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 100 zufällig ausgewählten Büroklammern mindestens doppelt so viele Büroklammern einen Mangel aufweisen, wie zu erwarten ist.
Bei der Herstellung von Büroklammern werden die Merkmale Breite und Länge geprüft. Beide Merkmale werden als normalverteilt angenommen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 100 zufällig ausgewählten Büroklammern mindestens doppelt so viele Büroklammern einen Mangel aufweisen, wie zu erwarten ist.
(4 BE)
3.4
Eine Büroklammer gilt als mangelhaft bezüglich ihrer Breite, wenn diese um mehr als 
vom Erwartungswert abweicht. Der Hersteller der Büroklammern gibt an, dass für den Erwartungswert 
und für die Standardabweichung 
gilt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Büroklammer mangelhaft bezüglich ihrer Breite ist.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Büroklammer mangelhaft bezüglich ihrer Breite ist.
(4 BE)
3.5
Untersuchungen der Länge ergaben, dass bei 
der Büroklammern die Länge um maximal 
vom Erwartungswert abweicht. 
der Büroklammern haben eine geringere Länge als 
Bestimme die Kenngrößen
und 
Hinweis: Für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung gilt 
Bestimme die Kenngrößen
(5 BE)
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3.1
3.2
Die Wahrscheinlichkeit drei blaue Büroklammern zu ziehen beträgt nach Aufgabenteil 3.1 genau 
Bei zwei entnommenen blauen Büroklammern gibt es drei mögliche Stellen, an denen die andersfarbige Büroklammer gezogen wird. Somit folgt für diese Wahrscheinlichkeit:
Addiert ergibt das für die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei blaue Büroklammern zu ziehen:
Da das Ereignis, weniger als zwei blaue Büroklammern zu ziehen, das Gegenereignis ist, beträgt dessen Wahrscheinlichkeit ebenfalls 
und die Aussage stimmt somit.
3.3
Die Zufallsvariable 
die Anzahl der Büroklammer angibt die einen Mangel aufweisen, ist binomialverteilt mit den Parametern 
und 
Für den Erwartungswert folgt:
Mit dem MMS ergibt sich somit für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
P_{0,05}^{100}(X\geq2\cdot5)&=&P_{0,05}^{100}(X\geq10) \\[5pt]
&\approx&0,0282 \\[5pt]
&=&2,82\,\%
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3871c9ccb8e71c8d538a067c9351929bac46a388afe654cec0cb1e4bc27a5b16?color=5a5a5a)
3.4
Die Zufallsvariable 
die die Breite einer Büroklammer angibt, ist laut normalverteilt mit den Parametern und 
Eine Abweichung von von dem Erwartungswert entspricht einer abweichenden Breite von ![\(0,1\cdot15=1,5\;[\text{mm}].\)](https://mathjax.schullv.de/42a133fc9b582a40e8eedf894ff84420a6a1f45ecffd6534944b1d73ba84d539?color=5a5a5a)
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit mit dem MMS:
3.5