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Teil B1

Aufgaben
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Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B1
Abb. 1: nicht maßstäblich
Dabei gilt:
  • $f(x)= 2,0\cdot x +2,60\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; -\frac{13}{10}\leq x\leq 0,00\right)$
  • $g(x)= 2,8\cdot x +2,20\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; -\frac{11}{14}\leq x\leq 0,00\right)$
  • $h(x)= 0,05\cdot x^2-0,05\cdot x +2,60\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 0,00\leq x\leq 7,11\right)$
  • $j(x)= 0,05\cdot x^2-0,07\cdot x +2,20\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 0,00\leq x\leq 7,90\right)$
  • $k(x)= 4,77 \quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 7,11\leq x\leq 7,90\right)$
  • $f(x)=$ $2,0\cdot x +2,60\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; -\frac{13}{10}\leq x\leq 0,00\right)$
  • $g(x)=$ $2,8\cdot x +2,20\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; -\frac{11}{14}\leq x\leq 0,00\right)$
  • $h(x)=$ $0,05\cdot x^2-0,05\cdot x +2,60\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 0,00\leq x\leq 7,11\right)$
  • $j(x)=$ $0,05\cdot x^2-0,07\cdot x +2,20\quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 0,00\leq x\leq 7,90\right)$
  • $k(x)=$ $4,77 \quad$ $\left(x\in \mathbb{R}; 7,11\leq x\leq 7,90\right)$
1.1
Im Punkt $P(0,00\mid g(0,00))$ gehen zwei Begrenzungslinien der Querschnittsfläche der Glocke ineinander über und schließen einen stumpfen Winkel $\alpha$ ein.
Zeige, dass $P$ auf dem Graphen von $j$ liegt.
Berechne die Größe von $\alpha.$
(6 BE)
1.2
Die Materialdicke der Glockenhaube entspricht der Dicke der Querschnittsfläche der Glockenhaube. Die Dicke der Querschnittsfläche der Glockenhaube wird jeweils ausgehend von einem Punkt des Graphen von $g$ und senkrecht zum Graphen von $f$ gemessen.
Weise nach, dass die Glockenhaube ausgehend vom Punkt $Q(-0,50\mid g(-0,50))$ eine Materialdicke von $3,6\,\text{cm}$ besitzt.
(6 BE)
1.3
Ermittle den Flächeninhalt der Querschnittsfläche der Glocke in Quadratdezimetern.
(5 BE)
1.4
Die Glocke besteht aus einem Material mit der Dichte $\rho = 8,5\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}.$
Berechne die Gesamtmasse von Glockenkörper und Glockenhaube in Kilogramm.
(7 BE)
1.5
Es gilt:
Wenn eine Funktion $p$ im Intervall $a\leq x\leq b$ mit $a,b\in \mathbb{R}$ stetig ist, dann lässt sich der Mittelwert aller Funktionswerte von $p$ in diesem Intervall mit dem Term $\dfrac{1}{b-a}\cdot \displaystyle\int_{a}^{b}p(x)\;\mathrm dx$ berechnen.
An jeder Stelle $x$ $(x\in \mathbb{R}; 0,00\leq x\leq 7,90)$ besitzt der Glockenkörper einen Innendurchmesser.
Zeige, dass der Mittelwert aller Innendurchmesser des Glockenkörpers nicht mit dem Innendurchmesser des Glockenkörpers an der Stelle $x=3,95$ übereinstimmt.
Untersuche, oob der Mittelwert aller Innendurchmesser des Glockenkörpers mit dem arithmetischen Mittel des kleinsten und größten Innendurchmessers des Glockenkörpers übereinstimmt.
(8 BE)
#mittelwertvonfunktionen
1.6
Beim Läuten schlägt ein Klöppel in einem Anshclagpunkt am Glockenkörper an (siehe Abbildung). Der geradelinige Klöppel ist $100,0\,\text{cm}$ lang und ist mit einem seiner Endpunkte im Punkt $O$ beweglich gelagert. Zur vereinfachten Berechnung wird die Dicke des Klöppels vernachlässigt.
Berechne, in welchem Verhältnis der Anschlagpunkt die Länge des Klöppels teilt.
(6 BE)
1.7
Eine Gießerei weiß, dass nach dem Gießen genau $10\,\%$ der Glocken einen optischen Fehler und $20\,\%$ der Glocken einen Klangfehler besitzen.
Die Gießerei ist der Auffassung, dass damit nach dem Gießen genau $70\,\%$ aller Glocken keinen optischen Fehler und keinen Klangfehler besitzen.
Gib an, unter welcher Bedingung die Auffassung der Gießerei falsch ist.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)
1.8
Für die Aufhängung der Klöppel werden Bolzen verwendet. Die Länge dieser Bolzen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu = 10,0\,\text{cm}$ und der Standardabweichung $\sigma= 0,1\,\text{cm}.$
Zeige, dass ein Bolzen mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,8186$ eine Länge zwischen $9,9\,\text{cm}$ und $10,2\,\text{cm}$ besitzt.
Einem Lager werden $12$ Bolze zufällig entnommen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens $10$ Bolzen eine Länge zwischen $9,9\,\text{cm}$ und $10,2\,\text{cm}$ besitzen.
Es werden $10$ Bolzen mit einer Länge zwischen $9,9\,\text{cm}$ und $10,2\,\text{cm}$ benötigt.
Bestimme, wie viele Bolzen dem Lager mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ die $10$ benötigten Bolzen enthalten sind.
(7 BE)
#normalverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts zeigenTeil B1
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} g(0,00)&=& 2,8\cdot 0,00 +2,20 \\[5pt] &=& 2,20\\[10pt] \end{array}$
$ g(0,00) = 2,20 $
Der Punkt $P$ hat also die Koordinaten $P(0,00\mid 2,20).$ Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} j(0,00)&=& 0,05\cdot 0,00^2 -0,07\cdot 0,00 +2,20 \\[5pt] &=& 2,20 \end{array}$
$ j(0,00)=2,20 $
Die Koordinaten von $P$ erfüllen also auch die Funktionsgleichung von $j.$ $P$ liegt demnach auf dem Graphen von $j.$
$\blacktriangleright$  Winkelgröße berechnen
Der Winkel $\alpha$ entspricht dem größeren der beiden Winkel, die die beiden Graphen von $g$ und $j$ im Schnittpunkt $P$ einschließen.
Der Schnittwinkel der beiden Graphen kann mit der entsprechenden Formel berechnet werden. Die Steigung von $g$ kann aus der Funktionsgleichung abgelesen werden: $m_g = 2,8.$
Die Steigung des Graphen von $j$ an der Stelle $x=0,00$ ergibt sich mithilfe der ersten Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} j'(x)&=&0,1\cdot x -0,07 \\[5pt] j'(0,00)&=& -0,07 \end{array}$
Der Schnittwinkel beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \phi &=& \dfrac{2,8+0,07}{1-0,07\cdot 2,8} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \phi&\approx& 74,4^{\circ} \end{array}$
$ \phi \approx 74,4^{\circ} $
Da dies aber kein stumpfer Winkel ist, ist der Gegenwinkel zu $\phi$ gesucht:
$\alpha = 180^{\circ}- 74,4^{\circ} = 105,6^{\circ}$
$ alpha =105,6^{\circ} $
Der Winkel $\alpha$ ist ca. $105,6^{\circ}$ groß.
#schnittwinkel
1.2
$\blacktriangleright$  Materialdicke zeigen
Die Materialdicke ausgehend vom Punkt $Q$ wird entlang der Geraden $n$ gemessen, die senkrecht zum Graphen von $f$ durch den Punkt $Q$ verläuft.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Damit $n$ senkrecht zu $f$ verläuft, muss für ihre Steigung gelten:
$\begin{array}[t]{rll} m_n\cdot m_f&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:m_f \\[5pt] m_n&=& -\frac{1}{m_f} &\quad \scriptsize \mid\; m_f = 2,0\\[5pt] m_n &=& -\frac{1}{2,0 } \\[5pt] &=& -0,5 \end{array}$
$ m_n = -0,5 $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $Q$ erhält man:
$\begin{array}[t]{rll} n: \quad y &=& m_n \dot x + b \\[5pt] g(-0,50)&=& -0,5\cdot (-0,50)+b \\[5pt] 2,8\cdot (-0,50)+2,20 &=& 0,25 +b \\[5pt] 0,8 &=& 0,25 + b &\quad \scriptsize \mid\; -0,25 \\[5pt] 0,55 &=& b \end{array}$
$ b = 0,55 $
Eine Gleichung von $n$ lautet also $n:\quad y = -0,50x +0,55.$
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Die Materialdicke entspricht dem Abstand des Schnittpunkts von $n$ und $f$ zum Punkt $Q.$ Die Gleichung kannst du auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& n(x) \\[5pt] 2,0\cdot x +2,60&=& -0,50x +0,55 &\quad \scriptsize \mid\; -0,55\\[5pt] 2,0\cdot x +2,05&=& -0,50x &\quad \scriptsize \mid\;-2,0\cdot x \\[5pt] 2,05&=&-2,50\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:(-2,50) \\[5pt] -0,82 &=& x \end{array}$
$ x = -0,82 $
Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert die zugehörige $y$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} f(-0,82)&=& 2,0\cdot (-0,82) +2,60 \\[5pt] &=& 0,96 \\[5pt] \end{array}$
$ f(-0,82) = 0,96 $
Die Geraden zu $f$ und $n$ schneiden sich also im Punkt $S(-0,82\mid 0,96).$
3. Schritt: Abstand berechnen
$\begin{array}[t]{rll} d(S,Q)&=& \sqrt{ (0,96-0,8)^2+ (-0,82-(-0,50))^2 } \\[5pt] &\approx& 0,36\,\text{LE} \\[5pt] &=& 3,6\,\text{cm} \end{array}$
$ d(S,Q)\approx 3,6\,\text{cm} $
Die Materialdicke beträgt ausgehend vom Punkt $Q$ ca. $3,6\,\text{cm}.$
#abstand
1.3
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Querschnittsfläche berechnen
Beachte die Achsensymmetrie des Glockenquerschnitts.
1. Schritt: Inhalt der Querschnittsfläche der Glockenhaube bestimmen
Da $f$ und $g$ Geraden sind, ergibt sich der Flächeninhalt $A_1$ der von ihnen begrenzten Querschnittsfläche durch die Differenz der Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke, die die Geraden mit den Koordinatenachsen bilden. Die Kathetenlängen ergeben sich jeweils über die Schnittstellen mit den Koordinatenachsen:
  • $A_f:$ Die Gerade $f$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $\left(-\frac{13}{10}\mid 0\right)$ und die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 2,60).$
    Das Dreieck hat also den Flächeninhalt:
    $\begin{array}[t]{rll} A_f&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{10} \cdot 2,60 \\[5pt] &=& 1,69 \end{array}$
    $ A_f = 1,69 $
  • $A_g:$ Die Gerade $g$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $\left(-\frac{11}{14}\mid 0\right)$ und die $y$-Achse im Punkt $(0\mid 2,20).$
    Das Dreieck hat also den Flächeninhalt:
    $\begin{array}[t]{rll} A_g&=&\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{14} \cdot 2,20 \\[5pt] &=& \frac{121}{140} \end{array}$
    $ A_g = \frac{121}{140} $
Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche der Glockenhaube ergibt sich aufgrund der Achsensymmetrie daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Haube}}&=& 2\cdot \left(A_f-A_g\right) \\[5pt] &=& 2\cdot \left( 1,69 -\frac{121}{140} \right) \\[5pt] &=& \frac{289}{175} \end{array}$
$ A_{\text{Haube}} = \frac{289}{175} $
2. Schritt: Inhalt der Querschnittsfläche des Glockenkörpers bestimmen
Die Hälfte der Querschnittsfläche des Glockenkörpers, die im Koordinatensystem oberhalb der $x$-Achse liegt, kann ebenfalls in zwei Teilflächen aufgeteilt werden. Diese können jeweils mithilfe eines Integrals berechnet werden. Dazu kannst du dein CAS verwenden.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Körper}}&=& 2\cdot \left(\displaystyle\int_{0}^{7,11}(h(x)-j(x))\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{7,11}^{7,90}(k(x)-j(x))\;\mathrm dx\right)&\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 2\cdot \left(3,35 + 0,22 \right) \\[5pt] &=& 7,14 \end{array}$
$ A_{\text{Körper}} \approx 7,14 $
3. Schritt: Gesamtflächeninhalt bestimmen
Insgesamt ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Haube}}+ A_{\text{Körper}} \\[5pt] &\approx& \frac{289}{175}+7,14 \\[5pt] &\approx& 8,79\,\text{[FE]} \end{array}$
Da eine Längeneinheit $10\,\text{cm}$ entspricht, beträgt der Flächeninhalt der Querschnittsfläche der Glocke ca. $8,79\,\text{dm}^2.$
#integral#dreieck
1.4
$\blacktriangleright$  Gesamtmasse berechnen
1. Schritt: Volumen der Glockenhaube berechnen
Die Glockenhaube bildet einen Kegel, aus dem ein kleinerer Kegel herausgelöst wird.
  • Der größere Kegel entsteht im Modell durch Rotation der Geraden $f$ und besitzt daher den Radius $r_f=2,6$ und die Höhe $h_f = \frac{13}{10}.$ Das Volumen ergibt sich daher zu:
    $\begin{array}[t]{rll} V_f&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_f^2 \cdot h_f \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,6^2 \cdot \frac{13}{10} \\[5pt] &=& \frac{2.197}{750}\pi \\[5pt] \end{array}$
    $ V_f =\frac{2.197}{750}\pi $
  • Der kleinere Kegel entsteht im Modell durch Rotation der Geraden $g$ und besitzt daher den Radius $r_g=2,2$ und die Höhe $h_g = \frac{11}{14}.$ Das Volumen ergibt sich daher zu:
    $\begin{array}[t]{rll} V_g&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_g^2 \cdot h_g \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,2^2 \cdot \frac{11}{14} \\[5pt] &=& \frac{1.331}{1.050}\pi \\[5pt] \end{array}$
    $ V_g =\frac{1.331}{1.050}\pi$
Das Volumen der Glockenhaube beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Haube}}&=& V_f -V_g \\[5pt] &=& \frac{2.197}{750}\pi- \frac{1.331}{1.050}\pi \\[5pt] &=&\frac{1.454}{875}\pi \end{array}$
$ V_{\text{Haube}} =\frac{1.454}{875}\pi $
2. Schritt: Volumen des Glockenkörpers berechnen
Der Glockenkörper besteht im Modell ebenfalls aus einem größeren Rotationskörper, aus dem ein kleinerer Rotationskörper herausgelöst wird.
  • Der äußere Rotationskörper entsteht durch Rotation von $h$ und $k.$ Das Volumen kann mit der entsprechenden Formel für das Rotationsvolumen berechnet werden. Zur Berechnung der Integrale kannst du ähnlich wie in 1.3 deinen GTR verwenden:
    $\begin{array}[t]{rll} V_{h,k}&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{7,11}\left(h(x)\right)^2\;\mathrm dx + \pi\cdot \displaystyle\int_{7,11}^{7,9}\left(k(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& \pi\cdot \left( 78,832+ 17,975\right) \\[5pt] &=& 96,807\pi \\[5pt] \end{array}$
    $ V_{h,k}\approx 96,807\pi $
  • Der innere Rotationskörper entsteht durch Rotation von $j,$ sodass sein Volumen wie oben berechnet werden kann:
    $\begin{array}[t]{rll} V_{j}&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{7,90}\left(j(x)\right)^2\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 74,155 \pi \\[5pt] \end{array}$
    $ V_j \approx 74,155 \pi $
Das Volumen des Glockenkörpers beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Körper}}&=& V_{h,k} -V_j \\[5pt] &=& 96,807\pi- 74,155 \pi \\[5pt] &=& 22,652\pi \end{array}$
3. Schritt: Masse berechnen
Das Gesamtvolumen der Glocke beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Gesamt}}&=& V_{\text{Haube}} + V_{\text{Körper}} \\[5pt] &=& \frac{1.454}{875}\pi \,\text{[VE]} + 22,652\pi \,\text{[VE]} \\[5pt] &\approx& 24,314\pi\,\text{[VE]} \\[5pt] &=& 24,314\pi\,\left[\text{dm}^3\right] \\[5pt] &=& 24.314\pi\,\left[\text{cm}^3\right] \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Gesamt}} \approx 24.314\pi\,\left[\text{cm}^3\right] $
Mit der Dichte ergibt sich dann die Masse der Glocke:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& 24.314\pi\,\left[\text{cm}^3\right] \cdot 8,5 \,\left[\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\right] \\[5pt] &=& 206.669\pi \left[\text{g}\right] \\[5pt] &\approx& 649.270\,\left[\text{g}\right] \\[5pt] &\approx& 649\,\left[\text{kg}\right] \end{array}$
$ m \approx 649\,\left[\text{kg}\right] $
Die Gesamtmasse der Glocke beträgt ca. $649\,\text{kg}.$
#rotationsvolumen
1.5
$\blacktriangleright$  Mittelwert aller Innendurchmesser vergleichen
1. Schritt: Mittelwert aller Innendurchmesser berechnen
Der Innendurchmesser des Glockenkörpers an der Stelle $x$ wird durch die Funktion $d(x)=2\cdot j(x)$ beschrieben. Mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel und dem CAS ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{d} &=& \dfrac{1}{7,90-0,00}\cdot \displaystyle\int_{0,00}^{7,90}2\cdot j(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{2}{7,90}\cdot \displaystyle\int_{0,00}^{7,90}j(x)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& \dfrac{2}{7,90}\cdot 23,41\\[5pt] &\approx& 5,93\,\left[\text{dm}\right] \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{d} \approx 5,93\,\left[\text{dm}\right] $
2. Schritt: Innendurchmesser bestimmen
Der Innendurchmesser an der Stelle $x=3,95$ ergibt sich mithilfe des CAS zu:
$\begin{array}[t]{rll} d(3,95)&=& 2\cdot j(3,95) \\[5pt] &=& 5,40 \,\left[\text{dm}\right] \end{array}$
3. Schritt: Vergleichen
Es ist $5,40\,\text{dm}\neq 5,93\,\text{dm}$ und damit $\overline{d}\neq d(3,95).$ Der Mittelwert aller Innendurchmesser des Glockenkörpers entspricht also nicht dem Innendurchmesser an der Stelle $x=3,95.$
$\blacktriangleright$  Mittelwert mit dem arithmetischen Mittel vergleichen
1. Schritt: Kleinsten und Größten Innendurchmesser bestimmen
Du kannst dein CAS verwenden: $\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du die Stelle $x\in[0;7,9],$ an der der Funktionswert von $d$ am kleinsten bzw. größten ist.
$\text{fMin(d(x),x,0,7.9)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(d(x),x,0,7.9)}$
$\text{fMin(d(x),x,0,7.9)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(d(x),x,0,7.9)}$
$x_{\text{min}} \approx 0,7$
$x_{\text{max}} \approx 7,90$
Die zugehörigen Funktionswerte lassen sich ebenfalls mit dem CAS berechnen:
$\begin{array}[t]{lll} d(0,7)&\approx& 4,351 \\[5pt] d(7,90)&\approx& 9,54 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMin- bzw. fMax-Befehl erhältst du den kleinsten bzw. größten Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $x_{\text{min}}$ bzw. $x_{\text{max}}$.
$\text{fMin(d(x),x,0,7.90)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(d(x),x,0,7.90)}$
$\text{fMin(d(x),x,0,7.90)}\quad \text{bzw.}\quad \text{fMax(d(x),x,0,7.90)}$
$\begin{array}[t]{rll} d(x_{\text{min}})&\approx& 4,351\\[5pt] d(x_{\text{max}})&\approx& 9,54 \end{array}$
Der kleinste Innendurchmesser des Glockenkörpers beträgt also $d_{min} \approx 4,35\,\text{dm}.$ Der größte Innendurchmesser des Glockenkörpers beträgt $d_{max}\approx 9,54 \,\text{dm}.$
2. Schritt: Arithmetisches Mittel berechnen und vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9,54+4,35}{2}&=& 6,95 \end{array}$
Das arithmetische Mittel aus kleinstem und größtem Innendurchmesser beträgt ca. $6,95\,\text{dm}$ und stimmt daher nicht mit dem Mittelwert aller Innendurchmesser von $5,93\,\text{dm}$ überein.
1.6
$\blacktriangleright$  Teilverhältnis berechnen
1. Schritt: Koordinaten des Anschlagpunkts bestimmen
Der Klöppel kann durch ein Geradenstück beschrieben werden. Die Gerade ist eine Tangente $t$ an den Graphen von $j$ im Anschlagpunkt $A$ und verläuft durch den Koordinatenursprung $O.$
Die Tangente hat die Steigung $m_t = j'(x_a)$ und als $y$-Achsenabschnitt Null, da sie durch den Koordinatenursprung verläuft. Außerdem verläuft sie durch den Punkt $A(x_a\mid j(x_a)).$ Es gilt also folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& j'(x_a)\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;A(x_a\mid j(x_a)) \\[5pt] j(x_a)&=& j'(x_a)\cdot x_a \\[5pt] \end{array}$
$ t:\quad j(x_a)= j'(x_a)\cdot x_a $
Diese kannst du mithilfe des Ableitungs- und des solve-Befehel deines CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} j(x_a)&=& j'(x_a)\cdot x_a &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \pm 6,63&\approx& x_a\\[5pt] \end{array}$
$ x_a \approx \pm 6,63 $
Die zugehörige $y$-Koordinate ist $j(6,63) \approx 3,94.$
2. Schritt: Abstand und Teilverhältnis berechnen
Die Strecke von der Befestigung bis zum Anschlagpunkt entspricht dem Abstand von $A$ und $O.$
$\begin{array}[t]{rll} d(O,A)&=& \sqrt{(3,94-0)^2 + (6,63-0)^2} \\[5pt] &\approx& 7,71\,\left[\text{dm} \right] \\[5pt] \end{array}$
$ d(O,A)\approx 7,71\,\left[\text{dm} \right] $
Der Klöppel ist insgesamt $100\,\text{cm}$ also $10\,\text{dm}$ lang. Der Anschlagpunkt teilt den Klöppel also ungefähr im Verhältnis $77:23.$
#tangente
1.7
$\blacktriangleright$  Bedingung nennen und begründen
Für jede Glocke muss eine der folgenden Möglichkeiten gelten:
  1. Die Glocke hat einen Klangfehler.
  2. Die Glocke hat einen optischen Fehler.
  3. Die Glocke hat einen Klangfehler und einen optischen Fehler.
  4. Die Glocke hat keinen optischen Fehler und keinen Klangfehler.
Die Summe der jeweiligen Anteile muss daher $100\,\%$ betragen. Wenn für 4. ein Anteil von $70\,\%$ gilt, müssen sich die restlichen $30\,\%$ auf 1. -3. verteilen.
Gibt es aber Glocken, die beide Fehler haben, so überschneidet sich der Anteil von $10\,%$ der optischen Fehler mit dem Anteil von $20\,\%$ der Klangfehler, sodass die Summe nicht $100\,\%$ ergibt.
Die Auffassung der Gießerei ist also falsch, wenn beide Fehler auf derselben Glocke auftreten können.
1.8
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit nachweisen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $L,$ die die zufällige Länge eines Bolzens beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung normalverteilt mit $\mu = 10,0\,\text{cm}$ und $\sigma = 0,1\,\text{cm}.$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des CAS bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf
$\begin{array}[t]{rll} P(9,9\leq L \leq 10,2)&\approx& 0,8186 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bolzen eine Länge zwischen $9,9\,\text{cm}$ und $10,2\,\text{cm}$ besitzt, beträgt $0,8186.$ Betrachte nun die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Bolzen mit dieser Länge unter $12$ Bolzen beschreibt. Geht man davon aus, dass die Längen der Bolzen unabhängig voneinander sind, kann $X$ als binomialverteilt mit $n=12$ und $p= 0,8186$ angenommen werden.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kannst du mithilfe deines CAS berechnen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 10)&=& 1- P(X\leq 9)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 1- 0,3752 \\[5pt] &=& 0,6248 \\[5pt] \end{array}$
$ P(X\geq 10) \approx 0,6248 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $62,48\,\%$ besitzen unter $12$ Bolzen mindestens $10$ die gewünschte Länge.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Bolzen berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X_n,$ die unter $n$ Bolzen die zufällige Anzahl der Bolzen mit der benötigten Länge beschreibt. Diese ist wie $X$ binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,8186.$
$n$ soll nun so bestimmt werden, dass folgende Gleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 10)&\geq& 0,98 \\[5pt] 1-P(X\leq 9)&\geq& 0,98 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(X\leq 9)&\geq& -0,02 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X\leq 9)&\leq& 0,02 \end{array}$
$ P(X\leq 9)\leq 0,02 $
Mit dem CAS kannst du für verschiedene Werte von $n$ diese Wahrscheinlichkeit berechnen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} n=15& P(X\leq 9) &\approx& 0,0400 \\[5pt] n=20& P(X\leq 9) &\approx& 0,0002 \\[5pt] n=17& P(X\leq 9) &\approx& 0,0060 \\[5pt] n=16& P(X\leq 9) &\approx& 0,0160 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} n=15& … \\[5pt] n=20& … \\[5pt] n=17& … \\[5pt] n=16& … \\[5pt] \end{array}$
Es müssen also mindestens $16$ Bolzen aus dem Lager entnommen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens $10$ Bolzen mit der richtigen Länge dabei sind.
#binomialverteilung
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