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Teil A

Aufgaben
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1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2\cdot \sin x$ $(x\in \mathbb{R}).$ Eine Gleichung ihrer ersten Ableitungsfunktion $f'$ lautet:
$f'(x)= 2\cdot x\cdot \sin x +x^2\cdot \cos x$ $(x\in \mathbb{R})$
$f'(x)=2\cdot x\cdot \sin x -x^2 \cdot \cos x$ $(x\in \mathbb{R})$
$f'(x)=2\cdot x\cdot \cos x$ $(x\in \mathbb{R})$
$f'(x)=-2\cdot x \cdot \cos x$ $(x\in \mathbb{R})$
$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^3\cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x$ $(x\in \mathbb{R})$
#ableitung#produktregel
1.2
Für welche Funktion $f$ mit $x\in D_f$ gilt: $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-1?$
$f(x)= \dfrac{x+1}{x-1}$
$f(x)=\dfrac{1+x}{1-x}$
$f(x)=-\dfrac{1}{x}$
$f(x)=\dfrac{1+x^2}{1-x}$
$f(x)=\dfrac{1+x}{1-x^2}$
#grenzwert
1.3
Für welchen Wert von $a$ $(a\in \mathbb{R})$ gilt: $\pmatrix{2\\0\\3}\times \pmatrix{a\\-2\\1}= \pmatrix{6\\1\\-4}$
$a= -\frac{1}{3}$
$a =\frac{1}{3}$
$a= 1$
$a=3$
$a = 9$
1.4
Welcher Punkt $C$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$ mit $A(0\mid 0\mid 0)$ und $B(6\mid -9\mid 12)?$
$C(-2\mid 3\mid -4)$
$C(2\mid -4\mid 6)$
$C(2\mid -3\mid 4)$
$C(5\mid -8\mid 11)$
$C(8\mid -12\mid 16)$
1.5
Ein idealer Würfel wird zweimal jeweils zufällig geworfen und die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen gebildet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die Augensumme ist größer als $8.$“ beträgt:
$\frac{2}{9}$
$\frac{5}{18}$
$\frac{11}{36}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{4}{9}$
(10 BE)
2
Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.
2.1
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
2.2
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#gleichschenkligesdreieck#tangente#nullstelle#zentraleraufgabenpool
3
Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3\mid 3\mid3),$ $B(6\mid 7\mid 3)$ und $C(2\mid 10\mid 3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z=3.$
3.1
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\frac{25}{2}$ besitzt.
(2 BE)
3.2
Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25$ ist.
(3 BE)
#rechtwinkligesdreieck#pyramide#zentraleraufgabenpool
4
Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt $p$.
4.1
Interpretiere den Term $(1-p)^7$ im Sachzusammenhang.
(2 BE)
4.2
Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.
(1 BE)
4.3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt $50\,\%.$ Felix hat $100$ Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als $50\,\%$ war. Er folgert: „Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten $100$ Drehungen deutlich größer als $50\,\%$ sein. “ Beurteile die Aussage von Felix.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool
5
5.1
Der Graph von $f,$ die $x$-Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche ein. Zeige, dass diese Fläche den Inhalt $20$ besitzt.
(2 BE)
5.2
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $H$ und besitzt eine negative Steigung.
Der Graph von $f,$ die $y$-Achse und die Gerade $g$ schließen im Bereich $0\leq x \leq 2$ eine Fläche mit dem Inhalt $20$ ein.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ mit der $y$-Achse.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ableitung zuordnen
Mit der Produktregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^2\cdot \sin x \\[10pt] f'(x)&=& 2x\cdot \sin x + x^2\cdot \cos x \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=… $
Die erste Antwortmöglichkeit ist also die richtige.
1.2
$\blacktriangleright$  Funktion mit dem passenden Grenzwert auswählen
Unter anderem mit der Regel von l'Hospital ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x+1}{x-1}&=& \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{1} \\[5pt] &=& 1\\[10pt] \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x}{1-x}&=&\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{-1} \\[5pt] &=& -1\\[10pt] \lim\limits_{x\to+\infty} -\dfrac{1}{x}&=&0 \\[10pt] \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x^2}{1-x}&=&\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2x}{-1} \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to+\infty} -2x \\[5pt] &=& -\infty \\[10pt] \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x}{1-x^2}&=& \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{-2x} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x+1}{x-1}\\[5pt] =& \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{1} \\[5pt] =& 1\\[10pt] &\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x}{1-x}\\[5pt] =&\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{-1} \\[5pt] =& -1\\[10pt] &\lim\limits_{x\to+\infty} -\dfrac{1}{x}\\[5pt] =&0 \\[10pt] &\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x^2}{1-x}\\[5pt] =&\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2x}{-1} \\[5pt] =& \lim\limits_{x\to+\infty} -2x \\[5pt] =& -\infty \\[10pt] &\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1+x}{1-x^2}\\[5pt] =& \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{-2x} \\[5pt] =& 0 \end{array}$
Die richtige Antwortmöglichkeit ist also die zweite.
#l'hospital
1.3
$\blacktriangleright$  Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\0\\3}\times \pmatrix{a\\-2\\1}&=& \pmatrix{6\\1\\-4} \\[5pt] \pmatrix{0\cdot 1 -3\cdot (-2)\\ 3\cdot a-2\cdot 1\\ 2\cdot(-2)-0\cdot a}&=&\pmatrix{6\\1\\-4} \\[5pt] \pmatrix{6\\ 3a-2\\ -4}&=&\pmatrix{6\\1\\-4} \\[5pt] 3a-2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 3a&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] a&=&1 \end{array}$
$ a=1 $
Die dritte Möglichkeit ist die richtige Antwort.
#kreuzprodukt
1.4
$\blacktriangleright$  Punkt auswählen
Für $C(2\mid -3 \mid 4)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=& \pmatrix{2\\-3\\4} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\pmatrix{6\\-9\\12} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\[5pt] \end{array}$
Die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{AB}$ sind linear abhängig, wobei der Faktor nicht negativ ist und sie daher nicht entgegengesetzt verlaufen. Außerdem ist der Faktor kleiner als $1$, wodurch $C$ näher an $A$ liegt, als $B.$
Der Punkt $C(2\mid -3\mid 4)$ liegt also zwischen $A$ und $B$. Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Für eine Augenzahl, die größer als $8$ ist, gibt es für die beiden einzelnen Würfe folgende Kombinationen:
  • $3+6$
  • $4+5$
  • $4+6$
  • $5+4$
  • $5+5$
  • $5+6$
  • $6+3$
  • $6+4$
  • $6+5$
  • $6+6$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $P(>8) = 10\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}.$ Die zweite Antwortmöglichkeit ist die richtige.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right).$
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0).$
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $S$ in die Tangentengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.
3.1
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt nachweisen
Das Dreieck hat bei $B$ einen rechten Winkel, der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$A = \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|$
Die Seitenlängen können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overline{AB}\right| \cdot \left|\overline{BC} \right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{3\\4\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-4\\3\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3^2+4^2+0^2}\cdot \sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5 \\[5pt] &=& \frac{25}{2} \end{array}$
$ A=\frac{25}{2} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $\frac{25}{2}.$
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Das Volumen einer Pyramide kann mit folgender Formel berechnet werden:
$V= \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h$
Betrachtet man das Dreieck $ABC$ als Grundfläche, gilt nach Teilaufgabe 3.1 $A_G = \frac{25}{2}.$
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] 25&=&\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{2} \cdot h \\[5pt] 6&=&h \end{array}$
$D$ muss also so gewählt werden, dass die Höhe $h=6$ ist. Die Höhe $h$ entspricht dem Abstand von $D$ zur Ebene, in der die Grundfläche liegt. Diese besitzt die Gleichung $z=3.$ Alle Punkte mit einer $z$-Koordinate, die um $6$ von $z=3$ abweicht, haben einen Abstand von $6$ von dieser Ebene.
Beispielsweise für $D(3\mid 3\mid 9)$ hat die Pyramide $ABCD$ eine Höhe von $6$ und damit ein Volumen von $25.$
4.1
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang interpretieren
$p$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der blaue Sektor getroffen wird. $1-p$ ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen nicht der blaue Sektor getroffen wird.
Mit der Pfadmultiplikationsregel ist demnach $(1-p)^7$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei sieben Drehungen kein einziges Mal der blaue Sektor getroffen wird.
4.2
$\blacktriangleright$  Term angeben
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Drehungen unter $10$ Drehungen beschreibt, bei denen der blaue Sektor getroffen wird.
Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=10$ und unbekanntem $p$ angenommen werden, da bei jedem Dreh nur die Möglichkeiten „blau“ oder „nicht blau“ unterschieden werden und die Wahrscheinlichkeit dafür, den blauen Sektor zu treffen bei jedem Dreh gleich bleibt.
Gesucht ist $P(X=2):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& \binom{10}{2}\cdot p^2 \cdot(1-p)^{10-2} \\[5pt] &=& 45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 \end{array}$
$ P(X=2)$
$=45 \cdot p^2\cdot (1-p)^8 $
4.3
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Wahrscheinlichkeitsangabe von $50\,\%$ gibt nur einen Richtwert dafür an, wie oft im Schnitt das Treffen des gelben Sektors erwartet werden kann. Dies ist aber keine Vorhersage, da es sich bei dem Drehen eines Glücksrades um ein Zufallsexperiment handelt, dessen Ausgang zufällig ist.
Zudem sind die Drehungen von einander unabhängig. Es muss also jeder Dreh einzeln betrachtet werden. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ für den gelben Sektor. Das Ergebnis des vorherigen oder der $10$, $100$, $200$,… Drehungen davor spielen keine Rolle für den nächsten Dreh.
#pfadregeln#binomialverteilung
5.1
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt zeigen
Da die betrachtete Fläche vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt, lässt sich der Inhalt der Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0$ und $b =2$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A &=&\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(-x^3+12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}\cdot 12x^2\right]_0^2\\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2^2 - \left( -\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 0^2\right)\\[5pt] &=& -4+24-0\\[5pt] &=& 20 \end{array}$
$ A=20 $
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f,$ der $x$-Achse und der Gerade $x=2$ im Bereich $0\leq x\leq 2$ eingeschlossen wird, beträgt $20.$
5.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Die Gerade $g$ mit $g(x)=m\cdot x+b$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid y_S)$ und verläuft durch den Punkt $H(2\mid 16).$ Die Steigung von $g$ ergibt sich daher zu:
$m= \dfrac{16-y_S}{2-0} = \dfrac{16-y_S}{2}$
Da $b$ den $y$-Achsenabschnitt beschreibt, ist $b=y_S.$ Die Gleichung der Geraden in Abhängigkeit von $y_S$ lautet daher:
$g:\, y = \dfrac{16-y_S}{2}x+y_S$
Die beschriebene Fläche ist die Fläche zwischen der Geraden $g$ und dem Graphen von $f$ im Bereich mit den Grenzen $a=0$ und $b=2.$
Der Inhalt dieser Fläche kann durch ein Integral über die Differenz von $f$ und $g$ berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{2}\left(g(x)-f(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{16-y_S}{2}x+y_S+x^3-12x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\left(\dfrac{16-y_S}{2}-12\right)x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx\\[5pt] 20&=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\dfrac{-8-y_S}{2}x+y_S+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] 20&=& \left[\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}x^2+y_Sx+\dfrac{1}{4}x^4\right]^2_0\\[5pt] 20&=& \left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}2^2+y_S2+\dfrac{1}{4}2^4 \right)-\left(\dfrac{-8-y_S}{2\cdot 2}0^2+y_S\cdot 0+\dfrac{1}{4}0^4\right)\\[5pt] 20&=& -8-y_S+2y_S+4-0 \\[5pt] 20&=& -4+y_S &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] 24&=&y_S \end{array}$
$ 24 = y_S $
$g$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 24).$
#integral
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