Teil B2
Die Abbildung zeigt ein Modell eines Obelisken. Im verwendeten kartesischen Koordinatensystem 
Längeneinheit entspricht 
Meter
beschreibt die 
-Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht.
Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern.
Der untere Teilkörper
mit 
ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Dieser Stumpf entsteht, indem man von einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche parallel zur Grundfläche eine kleinere Pyramide abschneidet.
Die Grundfläche
des unteren Teilkörpers liegt in der -Ebene, der Mittelpunkt des Quadrats ist der Koordinatenursprung.
Der obere Teilkörper
mit 
ist eine gerade Pyramide mit der Spitze 
mit 
und 
Längeneinheit entspricht Meter beschreibt die -Ebene den ebenen Untergrund, auf dem der Obelisk steht.
Das Modell des Obelisken besteht aus zwei Teilkörpern.
Der untere Teilkörper
mit ist ein Stumpf einer geraden Pyramide. Dieser Stumpf entsteht, indem man von einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche parallel zur Grundfläche eine kleinere Pyramide abschneidet.
Die Grundfläche
des unteren Teilkörpers liegt in der -Ebene, der Mittelpunkt des Quadrats ist der Koordinatenursprung.
Der obere Teilkörper
mit ist eine gerade Pyramide mit der Spitze mit und
Abb. 1: nicht maßstäblich
2.1
Ermittle die Länge einer Diagonalen der Grundfläche des unteren Teilkörpers.
Begründe, dass der Punkt 
die Koordinaten 
hat.
Berechne die Größe des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der-Ebene.
die Koordinaten hat.
Berechne die Größe des Neigungswinkels einer Seitenkante des unteren Teilkörpers gegenüber der
-Ebene.
Erreichbare BE-Anzahl: 9
2.2
Es gibt Ebenen, zu denen das Modell des Obelisken symmetrisch ist.
Entscheide für jede der folgenden Gleichungen
bis 
ob sie eine derartige Ebene beschreibt.
![\( \begin{array}{lrll}
\text{I}\quad& x &=& 0,45 \\[10pt]
\text{II}\quad& y &=& 0 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ae26655091d25d232d4b749ad16a278ac8983929034dc8c69b757c1439cc9729_light.svg)
![\( \begin{array}{lrll}
\text{III}\quad&x-y&=& 0 \\[10pt]
\text{IV}\quad&x-z&=& 0 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/536e265c35858dc73ac4d41fa38e4403438fdc189b24a5822586bcbc6ebf207c_light.svg)
Begründe für eine der Gleichungen bis dass sie keine derartige Ebene beschreibt.
Entscheide für jede der folgenden Gleichungen
bis ob sie eine derartige Ebene beschreibt.
bis dass sie keine derartige Ebene beschreibt.
Erreichbare BE-Anzahl: 5
2.3
Zeige, dass die Seitenfläche 
in der Ebene 
mit der Gleichung
liegt.
Die Seitenfläche
liegt in der Ebene 
mit der Gleichung
Bestimme den Wert 
für welchen die Ebenen und einen Winkel von 
einschließen.
in der Ebene mit der Gleichung
liegt.
Gleichung anzeigen
Die Seitenfläche
liegt in der Ebene mit der Gleichung
Bestimme den Wert 
für welchen die Ebenen und einen Winkel von einschließen.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
2.4
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers in Abhängigkeit von 
in Abhängigkeit von
Erreichbare BE-Anzahl: 6
2.5
Die Schattenbildung des Obelisken wird am Modell untersucht.
Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
dargestellt.
Für diesen Fall gibt es Werte von sodass die Spitze 
des Obelisken einen Schatten auf die -Ebene wirft.
Es gibt einen Wert für den dieser Schatten 
vom Punkt 
entfernt ist.
Ermittle diesen Wert
Dabei wird auftreffendes Sonnenlicht durch zueinander parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
dargestellt.
Für diesen Fall gibt es Werte von
sodass die Spitze des Obelisken einen Schatten auf die -Ebene wirft.
Es gibt einen Wert
für den dieser Schatten vom Punkt entfernt ist.
Ermittle diesen Wert
Erreichbare BE-Anzahl: 5
2.6
Ein Miniaturmodell des Obelisken befindet sich in der Eingangshalle einer Kunstausstellung. Der Anteil der Kunstexperten unter den Besuchern dieser Kunstausstellung sei 
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte. Ermittle den Wert
für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.
Betrachtet wird folgendes Ereignis:
Unter fünf zufällig ausgewählten Besuchern des Kunstausstellung befindet sich genau ein Kunstexperte. Ermittle den Wert
für den die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis maximal ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
2.7
Die Kunstausstellung ist in der Nacht mit einer Alarmanlage gesichert. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Nacht ein Einbruch versucht wird, liegt bei 
Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von
Alarm. Findet in einer Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 
zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse
und 
und 
stochastisch abhängig sind.
In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.
Bildnachweise [nach oben]
Bei einem Einbruchsversuch in der Nacht schlägt die Anlage mit einer Wahrscheinlichkeit von
Alarm. Findet in einer Nacht kein Einbruchsversuch statt, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von zu einem Alarm.
Betrachtet werden folgende Ereignisse
und
In einer Nacht wird ein Einbruch versucht.
In einer Nacht wird ein Alarm ausgelöst.
Weise nach, dass und stochastisch abhängig sind.
In einer Nacht wurde ein Alarm ausgelöst.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Alarm durch einen Einbruchsversuch ausgelöst wurde.
Erreichbare BE-Anzahl: 6
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2.1
Länge einer Diagonalen ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BD}&=& 2\cdot \overline{BO} \\[5pt]
&=& 2\cdot \left| \pmatrix{0,45\\0,45\\0,00}\right|\\[5pt]
&=& 2\cdot \sqrt{0,45^2+0,45^2 +0,00^2} \\[5pt]
&\approx& 1,27\,[\text{LE}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5d2c0880b10c84f90d21a5e443426e159b3f5685e2db4e014a84abc7d9c6e443_light.svg)
Die Länge der Diagonalen 
beträgt ca. 
Koordinaten begründen
Da der untere Teilkörper ein Teil einer geraden Pyramide ist und die Grundfläche in der 
-Ebene liegt, ist das Quadrat 
parallel zur -Ebene. Außerdem haben alle Eckpunkte den gleichen Abstand zur 
-Achse.
Damit folgt, dass der Punkt 
die gleiche 
- und -Koordinate hat wie 
und die umgekehrte -Koordinate, also 
Neigungswinkel berechnen
Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der -Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte 
und mit der -Ebene.
Ein Normalenvektor der-Ebene ist 
ein Richtungsvektor der Geraden BF ist 
Mit der Formel für den Schnittwinkel 
ergibt sich dann:
Der Neigungswinkel der Seitenkante 
gegenüber der -Ebene beträgt ca. 
Die Länge der Diagonalen beträgt ca.
Koordinaten begründen
Da der untere Teilkörper ein Teil einer geraden Pyramide ist und die Grundfläche in der -Ebene liegt, ist das Quadrat parallel zur -Ebene. Außerdem haben alle Eckpunkte den gleichen Abstand zur -Achse.
Damit folgt, dass der Punkt die gleiche - und -Koordinate hat wie und die umgekehrte -Koordinate, also
Neigungswinkel berechnen
Der Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der -Ebene entspricht beispielsweise dem Schnittwinkel der Geraden durch die Punkte und mit der -Ebene.
Ein Normalenvektor der
-Ebene ist ein Richtungsvektor der Geraden BF ist
Mit der Formel für den Schnittwinkel ergibt sich dann:
Der Neigungswinkel der Seitenkante 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \phi &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}\circ\overrightarrow{r} \right|}{\left| \overrightarrow{n}\right|\cdot \left| \overrightarrow{r}\right|} \\[5pt]
\sin \phi &=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\circ\pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16} \right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left| \pmatrix{-0,1\\-0,1\\7,16}\right|} \\[5pt]
\sin \phi &=& \dfrac{\left| 7,16 \right|}{1 \cdot \sqrt{(-0,1)^2+(-0,1)^2+7,16^2}} \\[5pt]
\sin \phi&=& \dfrac{7,16}{\sqrt{51,2856}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt]
\phi &\approx& 89^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/53b9d6b440caa7e3d5cd003dd8be5703eb51be7f1923cec4c828c9e860176d7e_light.svg)
gegenüber der -Ebene beträgt ca.
2.2
Der Obelisk ist nicht symmetrisch zu dieser Ebene, da sie den Obelisken nicht schneidet, sondern lediglich an der Kante 
berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.
berührt. Diese Ebene teilt den Obelisken also nicht in zwei Teilkörper, sodass er auch nicht symmetrisch zu ihr sein kann.
Diese Gleichung beschreibt die 
-Ebene, die den Obelisken symmetrisch (senkrecht) halbiert.
-Ebene, die den Obelisken symmetrisch (senkrecht) halbiert.
Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die -Achse sowie die Punkte 
und 
enthält. Die Ebene halbiert den Obelisken also symmetrisch (diagonal).
-Achse sowie die Punkte und enthält. Die Ebene halbiert den Obelisken also symmetrisch (diagonal).
Diese Gleichung beschreibt eine Ebene, die die 
_Achse enthält und die Winkelhalbierende zur -Ebene darstellt. Nur ein kleiner Teil des Obelsiken liegt unterhalb dieser Ebene, die diesen also nicht symmetrisch teilt.
_Achse enthält und die Winkelhalbierende zur -Ebene darstellt. Nur ein kleiner Teil des Obelsiken liegt unterhalb dieser Ebene, die diesen also nicht symmetrisch teilt.
2.3
Zeigen, dass die Seitenfläche in der Ebene liegt
Die Seitenfläche 
liegt in der Ebene 
wenn alle drei Eckpunkte in dieser Ebene liegen, also die Ebenengleichung erfüllen.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von liefert:
Die Koordinaten von erfüllen also die Ebenengleichung, sodass in der Ebene 
liegt. Für folgt analog:
Die Koordinaten von erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass in der Ebene liegt. Für 
folgt analog:
Die Koordinaten von erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass insgesamt alle drei Eckpunkte und damit die gesamte Seitenfläche in der Ebene liegt.
Parameterwert bestimmen
Aus den angegebenen Ebenengleichungen lassen sich zugehörige Normalenvektoren ablesen:
und 
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
Diese Gleichung kann mit solve-Befehl des CAS gelöst werden.
Der Taschenrechner liefert 
und 
In der Aufgabenstellung wird 
gefordert. Für 
schließen die Ebenen und 
also einen Winkel von 
ein.
liegt in der Ebene wenn alle drei Eckpunkte in dieser Ebene liegen, also die Ebenengleichung erfüllen.
Eine Punktprobe mit den Koordinaten von
liefert:
Die Koordinaten von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; E(0,35\mid -0,35\mid 7,16) \\[5pt]
t\cdot 0,35 +0,35\cdot 7,16 &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt]
0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/19d816f057ae719453e1efd791aee4adff2acf4acd0c9d208098b37362005e41_light.svg)
erfüllen also die Ebenengleichung, sodass in der Ebene liegt. Für folgt analog:
Die Koordinaten von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; F(0,35\mid 0,35\mid 7,16) \\[5pt]
t\cdot 0,35 +0,35\cdot 7,16 &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt]
0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3ff4ad420ac8964b11572f95b18f2f6425c81b281805eb9d52037bd88803d5b3_light.svg)
erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass in der Ebene liegt. Für folgt analog:
Die Koordinaten von ![\(\begin{array}[t]{rll}
\epsilon:\quad t\cdot x +0,35\cdot z &=& 0,35\cdot t +2,506 &\quad \scriptsize \mid\; S_t(0,00\mid 0,00\mid 7,16+t) \\[5pt]
t\cdot 0,00 +0,35\cdot (7,16+t) &=& 0,35\cdot t +2,506 \\[5pt]
0,35\cdot t +2,506 &=& 0,35\cdot t +2,506
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/64c71eb5de2774bbe8437592a403403abeba365f3a44eaaeec61af1194c3f64d_light.svg)
erfüllen also ebenfalls die Ebenengleichung, sodass insgesamt alle drei Eckpunkte und damit die gesamte Seitenfläche in der Ebene liegt.
Parameterwert bestimmen
Aus den angegebenen Ebenengleichungen lassen sich zugehörige Normalenvektoren ablesen:
und
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:
Diese Gleichung kann mit solve-Befehl des CAS gelöst werden.
Der Taschenrechner liefert 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos 80^{\circ}&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_{\epsilon}\circ \overrightarrow{n}_{\eta} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_{\epsilon}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_{\eta} \right|} \\[5pt]
\cos 80^{\circ}&=& \dfrac{\left|\pmatrix{t\\0\\0,35}\circ \pmatrix{0\\t\\0,35} \right|}{\left| \pmatrix{t\\0\\0,35}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\t\\0,35} \right|} \\[5pt]
\cos 80^{\circ}&=& \dfrac{0,35^2}{\sqrt{t^2+0^2+0,35^2}\cdot \sqrt{0^2+t^2+0,35^2}} \\[5pt]
\cos 80^{\circ}&=& \dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2} \quad \scriptsize \mid\; -\cos 80^{\circ} \\[5pt]
0 &=& \dfrac{0,35^2}{t^2+0,35^2}-\cos 80^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/67504fb62f079d8a7c3933b59ccab68d7a8f3f92eab63f9a2e731ac174b544ba_light.svg)
und In der Aufgabenstellung wird gefordert. Für schließen die Ebenen und also einen Winkel von ein.
2.4
Da es sich beim oberen Teilkörper um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche handelt, sind alle vier Seitenflächen gleich groß. Es genügt also den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen.
Der Mittelpunt 
der Strecke 
lässt sich wie folgt berechnen:
Die Höhe von kann damit folgendermaßen berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{EFS_t} &=& \mid \overrightarrow{MS_t} \mid \\[5pt]
&=& \,\bigg \vert \, \pmatrix{-0,35\\0\\t} \,\bigg \vert \,\\[5pt]
&=&\sqrt{0,35^2+t^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d6256b824f574c4a1108fc7304b70f3fea4b263e2993653eeff01ed9d153f40b_light.svg)
Die Grundfläche ist gegeben durch 
Der Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers ist damit gegeben durch:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& 4\cdot \dfrac{h_{EFS_t}\cdot g_{EFS_t}}{2} \\[5pt]
&=& 2\cdot 0,7 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2} \\[5pt]
&=& 1,4 \cdot \sqrt{0,35^2+t^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cf57a6fe010ce0d130ab7c14b19771aac4cd22921f68b31762dc1ca3c4abb925_light.svg)
Der gesuchte Flächeninhalt in Abhängigkeit von 
ist 
zu bestimmen.
Der Mittelpunt der Strecke lässt sich wie folgt berechnen:
Die Höhe von kann damit folgendermaßen berechnet werden:
Die Grundfläche ist gegeben durch
Der Flächeninhalt der Mantelfläche des oberen Teilkörpers ist damit gegeben durch:
Der gesuchte Flächeninhalt in Abhängigkeit von ist
2.5
Der Schattenpunkt 
muss drei Bedingungen erfüllen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& 7,16+t-2r &\quad \scriptsize \mid\;+2r \\[5pt]
2r&=& 7,16+t &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
r&=& 3,58+0,5t \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8562580955a916fa95cca67a3e077fa8b919d63ee241c473808eaefa2ed1e61f_light.svg)
Dies kann nun in die dritte Bedingung eingesetzt werden:
Für 
ist der Schatten der Spitze 
vom Punkt entfernt.
muss drei Bedingungen erfüllen:
- Er liegt in der -Ebene, es ist also
- Er liegt auf der Geraden durch mit dem Richtungsvektor
- liegt von entfernt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OS](https://www.schullv.de/resources/formulas/d01ddcc0f9003c16eaae55ca5b06472a01ea8a288c9db21931e8cc9dc6645776_light.svg)
Dies kann nun in die dritte Bedingung eingesetzt werden:
Für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{BS](https://www.schullv.de/resources/formulas/ab4e561e513fdf9ae31b310cb9edbbaf4141385fd82b831f6f1ac23edf034e17_light.svg)
ist der Schatten der Spitze vom Punkt entfernt.
2.6
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Kunstexperten. ist 
-verteilt.
Mithilfe der Binomialformel ergibt sich folgende Funktionsgleichung für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Kunstexperten in Abhängigkeit von
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(X=1)&=& \pmatrix{5\\1}\cdot a^1\cdot (1-a)^4 \\[5pt]
&=& 5\cdot a\cdot (1-a)^4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3e75ec2afe918173655ed491712509d0e4bedf3ec3f14f71c2272e4098538858_light.svg)
Mit dem CAS kann nun das Maximum der Funktion 
bestimmt werden.
TI nspire CAS
Casio Classpad II
Der Taschenrechner liefert den einzigen Hochpunkt 
Der Funktionswert an den Intervallrändern 
und 
beträgt 
Für 
ist also die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis maximal.
beschreibt die Anzahl der Kunstexperten. ist -verteilt.
Mithilfe der Binomialformel ergibt sich folgende Funktionsgleichung für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Kunstexperten in Abhängigkeit von
Mit dem CAS kann nun das Maximum der Funktion bestimmt werden.
TI nspire CAS
menu 
6: Graph analysieren 3: Maximum
6: Graph analysieren 3: Maximum
Casio Classpad II
Analyse Grafische Lösung Maximum
Grafische Lösung Maximum
Der Funktionswert an den Intervallrändern und beträgt Für ist also die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis maximal.
2.7
Stochastische Abhängigkeit zeigen
Die beiden Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn gilt: 
Mit den Pfadregeln ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten.
Es ist also 
sodass die Ereignisse 
und 
stochastisch abhängig sind.
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(E_2)&=& P(E_1)\cdot P_{E_1}(E_2) + P(\overline{E_1})\cdot P_{\overline{E_1}}(E_2) \\[5pt]
&=& 0,001\cdot 0,98 +0,999\cdot 0,004 \\[5pt]
&=& 0,004976 \\[10pt]
P(E_1)\cdot P(E_2)&=& 0,001\cdot 0,004976 \\[5pt]
&=& 0,000004976 \\[10pt]
P(E_1\cap E_2)&=& P(E_1)\cdot P_{E_1}(E_2) \\[5pt]
&=& 0,001\cdot 0,98 \\[5pt]
&=& 0,00098
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/923892ce9066c00ff596a0ff9b5eebbb1ac8a312159cd0e15980bc1d8070841e_light.svg)
sodass die Ereignisse und stochastisch abhängig sind.
Wahrscheinlichkeit für einen Einbruchsversuch berechnen
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich mithilfe des Satzes von Bayes berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P_{E_2}(E_1)&=& \dfrac{P_{E_1}(E_2)\cdot P(E_1)}{P(E_2)} \\[5pt]
&=& \dfrac{0,98\cdot 0,001}{0,004976} \\[5pt]
&\approx& 0,1969 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/22d07042aa4220544669e0a8277a8a81bc4d404294236ea2ada158af77b9c96d_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem Alarm wirklich um einen Einbruchsversuch handelt, beträgt ca. 
Bildnachweise [nach oben]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem Alarm wirklich um einen Einbruchsversuch handelt, beträgt ca.
© - SchulLV.