Schnittpunkte von Graphen ermitteln
Um die Koordinaten der Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen 
und 
zu bestimmen, folgt man diesem Vorgehen:
und 
berechnen.
1. Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{3}{x+4}&=& \dfrac{3}{(x-2)^2} \quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+4)\cdot (x-2)^2 \\[5pt]
3(x-2)^2&=& 3(x+4) \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
(x-2)^2&=& x+4 \\[5pt]
x^2-4x+4&=& x+4 \quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt]
x^2-4x&=& x \quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt]
x^2-5x&=& 0 \\[5pt]
x(x-5)&=& 0 \\[5pt]
x_1&=& 0 \\[5pt]
x_2&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4f78faa08c2ce4e4a1bc75031950e6d477ae46c0035c2261c9f89c39d75e6c9d_light.svg)
2. 
-Werte berechnen
Schnittpunkte von und 
und zu bestimmen, folgt man diesem Vorgehen:
- Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen:
-Koordinate berechnen: 
-Koordinate eines Schnittpunkts in einen der beiden Funktionsterme einsetzen
Beispiel
Schnittpunkte der Funktionen und berechnen.
1. Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
-Werte berechnen
Schnittpunkte von und
1
Löse die Gleichung.
a)
b)
c)
d)
2
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionsgraphen und 
und
a)
b)
c)
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{x}{x+1}&=& \dfrac{x}{2x-1} \quad \scriptsize \mid\; \cdot (2x-1)\cdot (x+1) \\[5pt]
x(2x-1)&=& x(x+1) \\[5pt]
x_1&=& 0 \\[5pt]
2x-1&=& x+1 \quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt]
x-1&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
x_2&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f4db2c739d74be4b764d07dbfdbef94d53be19421e4417019db377aa4f6bc9af_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{x-1}{x-5}&=& \dfrac{x-2}{x-1} \quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1)\cdot (x-5) \\[5pt]
(x-1)(x-1)&=& (x-2)(x-5) \\[5pt]
x^2-2x+1&=& x^2-7x+10 \quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt]
-2x+1&=& -7x+10 \quad \scriptsize \mid\;+7x \\[5pt]
5x+1&=& 10 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt]
5x&=& 9 \quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt]
x&=& \dfrac{9}{5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4bf59f60e26f9133498b124a10346e770990c739ed434c809c975f856ae65cb2_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{x-1}{5-x}&=& \dfrac{2}{x-1} \quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1)\cdot (5-x) \\[5pt]
(x-1)(x-1)&=& 2\cdot (5-x) \\[5pt]
x^2-2x+1&=& 10-2x \quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt]
x^2+1&=& 10 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt]
x^2&=& 9 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt]
x_1&=& 3 \\[5pt]
x_2&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c0dd4066117e0a46043a9efed9782d730629d659407d3d0cde30572ca59dbb3a_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{-x-5}{x+3}&=&\dfrac{0,5x+2,5}{x} \quad \scriptsize \mid\;\cdot x\cdot (x+3) \\[5pt]
(-x-5)\cdot x&=& (0,5x+2,5)(x+3) \\[5pt]
-x^2-5x&=& 0,5x^2+4x+7,5 \quad \scriptsize \mid\;+x^2+5x \\[5pt]
0&=& 1,5x^2+9x+7,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e936ab82ceea651ec2f20cca2b74c00cd759b26dc3880e18b6c191b6cdb48b06_light.svg)
Mit der 
-Formel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=& \dfrac{-9\pm\sqrt{9^2-4\cdot 1,5\cdot 7,5}}{2\cdot 1,5}\\[5pt]
&=& \dfrac{-9\pm\sqrt{36}}{3} \\[5pt]
x_1&=& -1 \\[5pt]
x_2&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9e55609476a87a899cfac4b0764e4f8ced65c8cd5638e236ae2eb2cec1f29721_light.svg)
2
a)
1. Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{4}{x-2}&=& \dfrac{x}{x+4} \quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-2)\cdot (x+4) \\[5pt]
4(x+4)&=& x\cdot (x-2) \\[5pt]
4x+16&=& x^2-2x \quad \scriptsize \mid\; -x^2+2x \\[5pt]
-x^2+6x+16&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/20b43dee34304481d89874c57c9e79b8ebdbd1181649ed7fb8b4c5ffe50e4bc0_light.svg)
Mit der -Formel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=& \dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot 16}}{2\cdot (-1)} \\[5pt]
&=& \dfrac{-6\pm\sqrt{100}}{-2} \\[5pt]
x_1&=& -2 \\[5pt]
x_2&=& 8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/00eccb5cfed986b80ca59104b10457e14a48130766ebfe619c15d6b84d804a91_light.svg)
2. -Koordinaten berechnen
Schnittpunkte von und
Mit der -Formel folgt:
2. -Koordinaten berechnen
Schnittpunkte von und
b)
1. Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{x-2}&=& \dfrac{1}{x-3} \quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-2)\cdot (x-3) \\[5pt]
x-3&=& x-2 \quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt]
-3&=& -2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6bd77f6a81b69f3e2f48eb0823d2c210a072c56de714cb99251b9083ea4214bd_light.svg)
Die Aussage ist falsch. Die Graphen haben keinen Schnittpunkt.
Die Aussage ist falsch. Die Graphen haben keinen Schnittpunkt.
c)
1. Funktionsterme gleichsetzen und Gleichung lösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{4}{x-2}&=& \dfrac{x-2}{10-x} \quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-2)\cdot (10-x) \\[5pt]
4\cdot (10-x)&=& (x-2)(x-2) \\[5pt]
40-4x&=& x^2-4x+4 \quad \scriptsize \mid\; +4x \\[5pt]
40&=& x^2+4 \quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt]
36&=& x^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
x_1&=& 6 \\[5pt]
x_2&=& -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b6d900e37750b320245eea68cd72f56c22fab27f8c95d2069aff1ea01f3ba5fc_light.svg)
2. -Koordinaten berechnen
Schnittpunkte von und
2. -Koordinaten berechnen
Schnittpunkte von und