Pflichtteil

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g mit Formula: g(x)=-2x+4.

(1)

Es gibt eine positive reelle Zahl Formula: k, die Lösung der Gleichung $Formula: \displaystyle\int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ $Formula: \displaystyle\int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ ist.

Veranschauliche in Abbildung 1 für diese Zahl Formula: k die geometrische Bedeutung der Gleichung.

(2)

Bestimme alle Stammfunktionen von Formula: g, die ausschließlich negative Funktionswerte haben.

Koordinatensystem mit Gitternetz und fallender Geraden, Schnittpunkte bei y≈5 und x≈2.

Abbildung 1

(2 + 3 Punkte)

Für jedes $Formula: a\in\mathbb{R}$ $Formula: a\in\mathbb{R}$ ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: p_a mit $Formula: p_a(x)=\left(2x^2+a\cdot x-a\right)\cdot\mathrm e^{-3x+3}$ $Formula: p_a(x)=\left(2x^2+a\cdot x-a\right)\cdot\mathrm e^{-3x+3}$ gegeben.

(1)

Zeige: $Formula: p_a'(x)=\left(-6x^2+(4-3a)\cdot x+4a\right)\cdot\mathrm e^{-3x+3}.$ $Formula: p_a'(x)=\left(-6x^2+(4-3a)\cdot x+4a\right)\cdot\mathrm e^{-3x+3}.$

(2)

Berechne eine Gleichung der Tangente an den Graphen von Formula: p_a im Punkt $Formula: \left(1\mid p_a(1)\right).$ $Formula: \left(1\mid p_a(1)\right).$

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Punkte $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B(0\mid1\mid0)$ $Formula: B(0\mid1\mid0)$ und $Formula: C(3\mid0\mid4).$ $Formula: C(3\mid0\mid4).$

(1)

Formula: E ist die Ebene, die die drei Punkte Formula: A, Formula: B und Formula: C enthält.

Bestimme eine Gleichung von Formula: E in Koordinatenform.

[Mögliche Lösung: Formula: E:4x_1-3x_3=0. ]

(2)

Untersuche, wie die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\\4\end{pmatrix},$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\\4\end{pmatrix},$ $Formula: s\in\mathbb{R},$ $Formula: s\in\mathbb{R},$ zur Ebene Formula: E liegt.

(3 + 2 Punkte)

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0,5.

(1)

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

(2)

Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Abbildung 2

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0,5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0,5\cdot\sigma),$ $Formula: P(\mu-0,5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0,5\cdot\sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

(1 + 4 Punkte)

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(1)

Koordinatensystem mit fallender Geraden und zwei schattierten Dreiecken A1 (links oben) und A2 (rechts unten)

(2)

Für die Stammfunktionen von Formula: g gilt:

Formula: G_c(x)=-x^2+4x+c

Da Formula: g bei Formula: x=2 eine Nullstelle hat, in der das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, haben die Stammfunktionen dort eine Hochstelle. Damit ergibt sich für den größten Funktionswert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$

Somit haben alle Stammfunktionen mit $Formula: c\lt-4$ $Formula: c\lt-4$ ausschließlich negative Funktionswerte.

(1)

Mit der Produkt- und der Kettenregel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_a'(x)&=&\left(4x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 x+3}+\left(2 x^2+a \cdot x-a\right) \cdot (-3)\cdot\mathrm{e}^{-3 x+3} \\[5pt] &=&\left(-6 x^2+(4-3 a) \cdot x+4 a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 x+3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_a'(x)&=&\left(4x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 x+3}+\left(2 x^2+a \cdot x-a\right) \cdot (-3)\cdot\mathrm{e}^{-3 x+3} \\[5pt] &=&\left(-6 x^2+(4-3 a) \cdot x+4 a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 x+3} \end{array}$

(2)

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_a(1)&=&\left(2 \cdot1^2+a \cdot 1-a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 \cdot 1+3} \\[5pt] &=&2 \cdot \mathrm{e}^{0} \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_a(1)&=&\left(2 \cdot1^2+a \cdot 1-a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3 \cdot 1+3} \\[5pt] &=&2 \cdot \mathrm{e}^{0} \\[5pt] &=&2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} p_a'(1)&=&\left(-6 \cdot1^2+(4-3 a) \cdot 1+4 a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3\cdot1+3} \\[5pt] &=&\left(-2+a\right) \cdot \mathrm{e}^{0} \\[5pt] &=&-2+a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_a'(1)&=&\left(-6 \cdot1^2+(4-3 a) \cdot 1+4 a\right) \cdot \mathrm{e}^{-3\cdot1+3} \\[5pt] &=&\left(-2+a\right) \cdot \mathrm{e}^{0} \\[5pt] &=&-2+a \end{array}$

Einsetzen des Punkts $Formula: (1\mid p_a(1))=(1\mid 2)$ $Formula: (1\mid p_a(1))=(1\mid 2)$ in die allgemeine Tangentengleichung $Formula: t(x)=(-2+a)\cdot x+b$ $Formula: t(x)=(-2+a)\cdot x+b$ liefert somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&(-2+a)\cdot 1+b &\quad\scriptsize\mid\;-(-2+a) \\[5pt] 4-a&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&(-2+a)\cdot 1+b &\quad\scriptsize\mid\;-(-2+a) \\[5pt] 4-a&=&b \end{array}$

Damit ergibt sich $Formula: t(x)=(-2+a)\cdot x+4-a$ $Formula: t(x)=(-2+a)\cdot x+4-a$ für die gesuchte Tangentengleichung.

(1)

Für zwei mögliche Spannvektoren gilt:

$Formula: \overrightarrow{AB}=\pmatrix{0\\1\\0}$ $Formula: \overrightarrow{AB}=\pmatrix{0\\1\\0}$

$Formula: \overrightarrow{AC}=\pmatrix{3\\0\\4}$ $Formula: \overrightarrow{AC}=\pmatrix{3\\0\\4}$

Mit dem Kreuzprodukt folgt somit als möglicher Normalenvektor der Ebene:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{0\\1\\0}\times\pmatrix{3\\0\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\cdot4-0\\0-0\\0-1\cdot3} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\-3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{n}&=&\pmatrix{0\\1\\0}\times\pmatrix{3\\0\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\cdot4-0\\0-0\\0-1\cdot3} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\\0\\-3} \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten von z.B. Formula: A in Formula: E:4x_1-3x_3=d liefert dann:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot0-3\cdot0&=&d \\[5pt] 0&=&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot0-3\cdot0&=&d \\[5pt] 0&=&d \end{array}$

Damit ergibt sich die Ebenengleichung Formula: E:4x_1-3x_3=0.

(2)

Einsetzen der allgemeinen Koordinaten der Geraden Formula: g in die Ebenengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot(4+3s)-3\cdot(-3+4s)&=&0 \\[5pt] 25&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4\cdot(4+3s)-3\cdot(-3+4s)&=&0 \\[5pt] 25&=&0 \end{array}$

Da diese Gleichung für alle Werte von Formula: s nicht stimmt, gibt es keinen Punkt auf der Geraden, der in der Ebene liegt. Somit verläuft die Gerade Formula: g parallel zur Ebene Formula: E.

(1)

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

(2)

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

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