Analysis 1

Für eine gute Entwicklung von Tomatenpflanzen ist insbesondere im Boden gelöster Stickstoff $Formula: (\text{N})$ $Formula: (\text{N})$ von Bedeutung.

Der Stickstoffbedarf ist abhängig vom Entwicklungsstadium der Pflanzen. Die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: n mit

$Formula: n(t)=3,2\cdot\mathrm e^{-0,00075t^2+0,08t-2}$ $Formula: n(t)=3,2\cdot\mathrm e^{-0,00075t^2+0,08t-2}$

modelliert für $Formula: 0\leq t\leq120$ $Formula: 0\leq t\leq120$ die Rate, mit der Tomatenpflanzen auf einer Anbaufläche von der Größe eines Hektars Stickstoff aufnehmen. Dabei ist Formula: t die Zeit in Tagen ab dem Pflanzzeitpunkt und Formula: n(t) die Stickstoffaufnahmerate in Kilogramm pro Tag $Formula: \left(\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}\right).$ $Formula: \left(\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{Tag}}\right).$

Der Lebenszyklus einer Tomatenpflanze im Landbau wird in sechs Phasen eingeteilt (vgl. Abbildung 1).

Lebenszyklus einer Tomatenpflanze von der Keimung bis zur Haupternte in sechs Phasen.

Abbildung 1

Es gilt $Formula: n'(t)=3,2\cdot(-0,0015t+0,08)\cdot\mathrm e^{-0,00075t^2+0,08t-2}.$ $Formula: n'(t)=3,2\cdot(-0,0015t+0,08)\cdot\mathrm e^{-0,00075t^2+0,08t-2}.$

Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die Stickstoffaufnahmerate am größten ist.

(5 Punkte)

(1)

Ermittle unter Zuhilfenahme von Abbildung 2 näherungsweise die Menge an Stickstoff, die vom Beginn der dritten bis zum Ende der vierten Phase des Lebenszyklus durch die Pflanzen aufgenommen wird.

Graph einer Funktion n(t) mit glockenförmigem Verlauf und einem Maximum bei etwa t=55.

Abbildung 2

(2)

Die Funktion Formula: N ordnet der Zeit Formula: t seit Pflanzbeginn in Tagen die bis dahin aufgenommene Menge Stickstoff (in $Formula: \mathrm{kg}$ $Formula: \mathrm{kg}$ ) zu.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion Formula: N für $Formula: t\in[0;120].$ $Formula: t\in[0;120].$

Veranschauliche den in (1) ermittelten Wert in Abbildung 3.

Graph einer S-förmigen Wachstumskurve N(t) über der Zeit t.

Abbildung 3

(3)

Im Folgenden siehst du Notizen zur Lösung einer Aufgabe.

$Formula: g(t)=\displaystyle\int_t^{t+30}n(x)\,\mathrm dx.$ $Formula: g(t)=\displaystyle\int_t^{t+30}n(x)\,\mathrm dx.$

$Formula: g'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{115}{3}.$ $Formula: g'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{115}{3}.$

$Formula: g(0)\approx38,73\qquad g\left(\dfrac{115}{3}\right)\approx103,82\qquad g(90)\approx17,25.$ $Formula: g(0)\approx38,73\qquad g\left(\dfrac{115}{3}\right)\approx103,82\qquad g(90)\approx17,25.$

$Formula: \dfrac{115}{3}\approx38.$ $Formula: \dfrac{115}{3}\approx38.$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung im Sachzusammenhang und gib das zugehörige Ergebnis an.

(3 + 2 + 3 Punkte)

Betrachtet wird die Schar von Funktionen Formula: g_k mit

$Formula: g_k(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k},$ $Formula: g_k(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k},$ $Formula: \quad t\in\mathbb{R},\;k\in\mathbb{R}.$ $Formula: \quad t\in\mathbb{R},\;k\in\mathbb{R}.$

(1)

Für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}$ $Formula: k\in\mathbb{R}$ gilt: Der Graph von Formula: g_k entsteht durch Streckung in Formula: y -Richtung aus dem Graphen von Formula: g_0.

Ermittle den von Formula: k abhängigen Streckfaktor.

(2)

(i)

Zeige: $Formula: g_k'(t)=(0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}.$ $Formula: g_k'(t)=(0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}.$

(ii)

Zeige, dass jede Funktion der Schar an der Stelle Formula: t=21 eine lokale Maximalstelle besitzt, und begründe, dass das lokale Maximum gleichzeitig das globale Maximum ist.

(2 + 6 Punkte)

In Deutschland wurde im Jahr 2023 etwa ein Fünftel der Anbaufläche für Tomaten ökologisch bewirtschaftet. Im Unterschied zum konventionellen Anbau beziehen die Tomatenpflanzen hier sämtliche Nährstoffe aus dem Boden. Um den Stickstoffgehalt im Boden zu erhöhen und damit die Entwicklung der Tomatenpflanzen positiv zu beeinflussen, fügt man der Erde geeignetes Pflanzenmaterial, Kompost oder Stalldung zu (im Folgenden: Gründüngung).

In einem Versuch wurde getestet, welchen Einfluss eine solche Gründüngung auf die Stickstoffkonzentration im Boden hat.

Die Funktion Formula: g_5 mit $Formula: g_5(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+5}$ $Formula: g_5(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+5}$ gehört zu obiger Funktionenschar. Sie modelliert für das Testfeld für $Formula: 0\leq t\leq120$ $Formula: 0\leq t\leq120$ die Stickstoffkonzentration im Boden in Milligramm pro Gramm trockener Erde $Formula: \left[\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}\right]$ $Formula: \left[\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}\right]$ in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t in Tagen nach der Gründüngung.

Bestimme mithilfe der Abbildung 4, in welchem Zeitraum die Stickstoffkonzentration im Boden nach der Gründüngung mindestens $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}$ $Formula: 130\;\tfrac{\mathrm{mg}}{\mathrm g}$ beträgt.

Graph der Funktion g₅(t) mit Maximum bei etwa t=20 und anschließend fallendem Verlauf.

Abbildung 4

(2 Punkte)

Es gibt einen Zeitraum, in dem die Tomatenpflanzen einen besonders hohen Stickstoffbedarf haben. Jedoch erfolgt die Freisetzung des Stickstoffs durch den Gründünger nicht passend zu diesem Zeitraum. Um dieses Problem zu lösen, wird der Gründünger vorbehandelt. Die Freisetzung des Stickstoffs erfolgt dadurch langsamer.

Die Stickstoffkonzentration im Boden kann dann durch Funktionen $Formula: g_{5,a,b}$ $Formula: g_{5,a,b}$ der Form $Formula: g_{5,a,b}(t)=a\cdot g_5(b\cdot t)$ $Formula: g_{5,a,b}(t)=a\cdot g_5(b\cdot t)$ mit $Formula: 0<a\leq1$ $Formula: 0<a\leq1$ und $Formula: 0<b\leq1$ $Formula: 0<b\leq1$ modelliert werden.

(1)

Ermittle, für welchen Wert Formula: b die maximale Stickstoffkonzentration nach Formula: 50 Tagen erreicht wird.

Formula: G_5 mit $Formula: G_5(t)=-2,5\cdot(t+29)\cdot\mathrm e^{-0,04t+5}$ $Formula: G_5(t)=-2,5\cdot(t+29)\cdot\mathrm e^{-0,04t+5}$ ist eine Stammfunktion der Funktion und $Formula: G_{5,a,b}$ $Formula: G_{5,a,b}$ mit $Formula: G_{5,a,b}(t)=-2,5\cdot a\cdot\left(t+\tfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0,04bt+5}$ $Formula: G_{5,a,b}(t)=-2,5\cdot a\cdot\left(t+\tfrac{1}{b}\cdot29\right)\cdot\mathrm e^{-0,04bt+5}$ eine Stammfunktion der Funktion $g_{5,a,b}.$

Zur Berechnung der Stickstoffverfügbarkeit im Boden benötigt man u. a. das Integral $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$

(2)

Zeige: $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt=-G_{5,a,b}(0).$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt=-G_{5,a,b}(0).$

(3)

Bestimme Formula: b in Abhängigkeit von Formula: a so, dass gilt: $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_5(t)\,\mathrm dt=\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$ $Formula: \displaystyle\int_0^\infty g_5(t)\,\mathrm dt=\int_0^\infty g_{5,a,b}(t)\,\mathrm dt.$

(2 + 3 + 2 Punkte)

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Für die zweite Ableitung von Formula: n gilt mit der Produkt- und Kettenregel:

$Formula: \begin{array}{rlll} n''(t)&=&3,2\cdot(-0,0015) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}+3,2\cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot(-0,0015 t+0,08)\cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2} \\[5pt] &=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 t+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n''(t)&=&3,2\cdot(-0,0015) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}+3,2\cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot(-0,0015 t+0,08)\cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2} \\[5pt] &=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 t+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 t^2+0,08 t-2} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: n'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} n'(t)&=&0 \\[5pt] 3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm e^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n'(t)&=&0 \\[5pt] 3,2 \cdot(-0,0015 t+0,08) \cdot \mathrm e^{-0,00075 t^2+0,08 t-2}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}{rlll} -0,0015 t+0,08&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0,08 \\[5pt] -0,0015 t&=&-0,08 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0,0015) \\[5pt] t&\approx&53,33 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -0,0015 t+0,08&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0,08 \\[5pt] -0,0015 t&=&-0,08 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0,0015) \\[5pt] t&\approx&53,33 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n''(53,33)&=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 \cdot53,33+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&-0,00548\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n''(53,33)&=&3,2\cdot\left((-0,0015)+(-0,0015 \cdot53,33+0,08)^2\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&-0,00548\lt0 \end{array}$

Somit handelt es sich um eine Maximalstelle. Für die momentane Stickstoffaufnahmerate an der Maximalstelle und an den Randwerten gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n(53,33)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&3,66 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(53,33)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot53,33^2+0,08 \cdot53,33-2} \\[5pt] &\approx&3,66 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} n(0)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot0^2+0,08 \cdot0-2} \\[5pt] &\approx&0,43 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(0)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot0^2+0,08 \cdot0-2} \\[5pt] &\approx&0,43 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} n(120)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot120^2+0,08 \cdot120-2} \\[5pt] &\approx&0,13 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n(120)&=&3,2 \cdot \mathrm{e}^{-0,00075 \cdot120^2+0,08 \cdot120-2} \\[5pt] &\approx&0,13 \end{array}$

Die Stickstoffaufnahmerate ist somit ca. Formula: 53,33 Tage nach dem Pflanzzeitpunkt am größten.

(1)

Die gesuchte Menge an Stickstoff wird durch die Fläche unter dem Graphen zwischen Formula: t=30 und Formula: t=63 beschrieben. Durch Zählen der Kästchen ergeben sich ca. Formula: 11 Kästchen, wobei ein Kästchen $Formula: 10\;\mathrm{kg}$ $Formula: 10\;\mathrm{kg}$ entspricht. Somit beträgt die gesuchte Menge Stickstoff $Formula: 11\cdot10=110\;\mathrm{kg}.$ $Formula: 11\cdot10=110\;\mathrm{kg}.$

(2)

Diagramm einer Wachstumskurve mit markierten Werten N(30) ≈ 39 und N(63) ≈ 149. ΔN ≈ 110.

(3)

Der Term in der ersten Zeile beschreibt die Menge an Stickstoff, die in einem betrachteten Zeitraum von Formula: 30 Tagen aufgenommen wird. Eine passende Aufgabenstellung ergibt sich somit wie folgt:

„Bestimme den Zeitpunkt, bei dem die Menge an Stickstoff, die die Pflanze in den nächsten Tagen aufnimmt, maximal ist.“

Die weitere Rechnung in der Aufgabenstellung zeigt, dass die Lösung dieser Aufgabe durch $Formula: t\approx38$ $Formula: t\approx38$ gegeben ist. Somit ergibt sich der gesuchte Zeitpunkt als ca. Formula: 38 Tage nach dem Pflanzzeitpunkt.

(1)

Es gilt $Formula: g_0(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}.$ $Formula: g_0(t)=(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}.$ Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k(t)&=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}\cdot\mathrm e^k \\[5pt] &=&g_0(t)\cdot\mathrm e^k \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k(t)&=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,1t+0,4)\cdot\mathrm e^{-0,04t}\cdot\mathrm e^k \\[5pt] &=&g_0(t)\cdot\mathrm e^k \end{array}$

Der gesuchte Faktor beträgt somit $Formula: \mathrm e^k.$ $Formula: \mathrm e^k.$

(2)

(i)

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0,1\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}+(0,1t+0,4)\cdot(-0,04)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0,1\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}+(0,1t+0,4)\cdot(-0,04)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \end{array}$

(ii)

Für die zweite Ableitung von Formula: g_k ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(t)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}+(0,084-0,004t)\cdot(-0,04)\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,00016t-0,00736)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(t)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}+(0,084-0,004t)\cdot(-0,04)\mathrm e^{-0,04t+k} \\[5pt] &=&(0,00016t-0,00736)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k} \end{array}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: g_k'(t)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0 \\[5pt] (0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k'(t)&=&0 \\[5pt] (0,084-0,004t)\cdot\mathrm e^{-0,04t+k}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,084-0,004t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0,084 \\[5pt] -0,004t&=&-0,084 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0,004) \\[5pt] t&=&21 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,084-0,004t&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-0,084 \\[5pt] -0,004t&=&-0,084 &\quad\scriptsize\mid\;:(-0,004) \\[5pt] t&=&21 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(21)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k}+(0,084-0,004\cdot21)\cdot(-0,04)\mathrm e^{-0,04\cdot21+k} \\[5pt] &=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,84+k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g_k''(21)&=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,04\cdot21+k}+(0,084-0,004\cdot21)\cdot(-0,04)\mathrm e^{-0,04\cdot21+k} \\[5pt] &=&(-0,004)\cdot\mathrm e^{-0,84+k} \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets größer als Null ist, ist dieser Wert für alle Werte von Formula: k negativ. Somit liegt hier ein lokales Maximum vor. Außerdem gilt $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=0$ $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=0$ und $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=\infty.$ $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty}\mathrm e^{-0,04t+k}=\infty.$ Da der Vorfaktor im Funktionsterm von Formula: g_k für negative Werte von Formula: t ebenfalls negativ ist und nur linear wächst bzw. fällt, folgt insgesamt:

$Formula: \lim\limits_{t\to+\infty} g_k(t)=0$ $Formula: \lim\limits_{t\to+\infty} g_k(t)=0$

$Formula: \lim\limits_{t\to-\infty} g_k(t)=-\infty$ $Formula: \lim\limits_{t\to-\infty} g_k(t)=-\infty$

Da Formula: t=21 die einzige Extremstelle ist, ist das lokale Maximum an dieser Stelle somit auch das globale Maximum.

Aus der Abbildung folgt, dass der gesuchte Zeitraum von ca. Formula: 8 Tagen nach der Grunddüngung bis Formula: 40 Tage nach der Grunddüngung gegeben ist.

(1)

Mit der Kettenregel folgt:

$Formula: g_{5, a,b}'(t)=a\cdot b\cdot g_5'(b\cdot t)$ $Formula: g_{5, a,b}'(t)=a\cdot b\cdot g_5'(b\cdot t)$

Da das lokale Maximum von Formula: g_5 bei Formula: t=21 liegt, wird die maximale Stickstoffkonzentration genau dann nach Formula: 50 Tagen maximal, wenn $Formula: b\cdot 50=21$ $Formula: b\cdot 50=21$ gilt. Damit ergibt sich $Formula: b=\tfrac{21}{50}.$ $Formula: b=\tfrac{21}{50}.$

(2)

Mit dem Integral aus der Aufgabenstellung folgt:

$Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5, a, b}(t)\;\mathrm{d} t=\lim\limits_{t\to\infty} G_{5, a, b}(t)-G_{5, a, b}(0)$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5, a, b}(t)\;\mathrm{d} t=\lim\limits_{t\to\infty} G_{5, a, b}(t)-G_{5, a, b}(0)$

Es gilt $Formula: \lim\limits_{t\to\infty}\mathrm e^{-0,04bt+5}=0.$ $Formula: \lim\limits_{t\to\infty}\mathrm e^{-0,04bt+5}=0.$ Da der Vorfaktor des Funktionsterms von $Formula: G_{5,a,b}(t)$ $Formula: G_{5,a,b}(t)$ nur linear wächst bzw. fällt, gilt insgesamt $Formula: \lim\limits_{t\to\infty}G_{5,a,b}(t)=0.$ $Formula: \lim\limits_{t\to\infty}G_{5,a,b}(t)=0.$ Damit ergibt sich:

$Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5, a, b}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5, a, b}(0)$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5, a, b}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5, a, b}(0)$

(3)

Die gleiche Argumentation wie in Aufgabenteil (2) liefert:

$Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5}(0)$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t=-G_{5}(0)$

Damit folgt für Formula: b in Abhängigkeit von Formula: a:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t&=&\displaystyle\int_0^{\infty} g_{5,a,b}(t)\;\mathrm{d} t \\[5pt] -G_{5}(0)&=&-G_{5, a, b}(0) \\[5pt] -2,5 \cdot(0+29) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 \cdot0+5}&=&-2,5 \cdot a \cdot\left(0+\frac{1}{b} \cdot 29\right) \cdot \mathrm e^{-0,04 b \cdot0+5} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot b \\[5pt] -72,5b \cdot \mathrm{e}^{5}&=&-72,5a \cdot \mathrm e^{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-72,5\mathrm e^5) \\[5pt] b&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^{\infty} g_{5}(t)\;\mathrm{d} t&=&\displaystyle\int_0^{\infty} g_{5,a,b}(t)\;\mathrm{d} t \\[5pt] -G_{5}(0)&=&-G_{5, a, b}(0) \\[5pt] -2,5 \cdot(0+29) \cdot \mathrm{e}^{-0,04 \cdot0+5}&=&-2,5 \cdot a \cdot\left(0+\frac{1}{b} \cdot 29\right) \cdot \mathrm e^{-0,04 b \cdot0+5} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot b \\[5pt] -72,5b \cdot \mathrm{e}^{5}&=&-72,5a \cdot \mathrm e^{5} &\quad\scriptsize\mid\;:(-72,5\mathrm e^5) \\[5pt] b&=&a \end{array}$

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