Vektorielle Geometrie

Abbildung 1 zeigt den Körper Formula: ABCDEF mit den Eckpunkten $Formula: A(2\mid0\mid-0,5),$ $Formula: A(2\mid0\mid-0,5),$ $B(3\mid5\mid-0,5),$ $Formula: C(-3\mid5\mid-0,5),$ $Formula: C(-3\mid5\mid-0,5),$ $Formula: D(-2\mid0\mid-0,5),$ $Formula: D(-2\mid0\mid-0,5),$ $Formula: E(2\mid5\mid1)$ $Formula: E(2\mid5\mid1)$ und $Formula: F(-2\mid5\mid1).$ $Formula: F(-2\mid5\mid1).$ Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck Formula: AEFD beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die Formula: xy -Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Schwarz-weißes 3D-Diagramm: schräges Prisma über Ebene, Koordinatenachsen x, y, z und markierte Punkte A–F

Abbildung 1

(1)

Das Viereck Formula: AEFD ist ein Parallelogramm.

Zeige, dass es auch ein Rechteck ist.

(2)

Begründe, dass die Formula: yz -Ebene eine Symmetrieebene des Körpers Formula: ABCDEF ist.

(3)

Für eine reelle Zahl Formula: k ist der Vektor $Formula: \begin{pmatrix}k\\3\\-10\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}k\\3\\-10\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck Formula: AEFD liegt.

Begründe ohne Rechnung, dass Formula: k=0 ist.

(4)

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.

(5)

Der Teil des Schanzentischs Formula: AEFD, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:

Mit $Formula: \begin{pmatrix}2\\0\\-0,5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\1,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}2\\0\\-0,5\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\1,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}$ ergibt sich $Formula: r=\dfrac{1}{3}.$ $Formula: r=\dfrac{1}{3}.$

Gib die Bedeutung dieses Wertes $Formula: \tfrac{1}{3}$ $Formula: \tfrac{1}{3}$ für Formula: r im Sachzusammenhang an und berechne den Flächeninhalt dieser Werbefläche.

(2 + 2 + 2 + 3 + 4 Punkte)

Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke $Formula: \overline{EF}$ $Formula: \overline{EF}$ entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche.

Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene Formula: L beschrieben werden kann, die senkrecht zur Formula: xy -Ebene liegt. Die Ebene kann durch die Gleichung Formula: 10x-3y=0 dargestellt werden.

(1)

Beurteile, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers Formula: ABCDEF verläuft.

(2)

In Abbildung 2 ist die Kurve dargestellt, die die Füße des Wasserskifahrers in der Ebene Formula: L zurücklegen. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte Formula: V bzw. Formula: W beschrieben.

Skizze eines Wasserstrahls mit den Punkten V und W, der Wasseroberfläche und der horizontalen Entfernung h.

Abbildung 2

Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte $Formula: \left(0,3a\mid a\mid-0,05\cdot(a-2,61)\cdot(a-13,39)\right)$ $Formula: \left(0,3a\mid a\mid-0,05\cdot(a-2,61)\cdot(a-13,39)\right)$ mit geeigneten Werten von Formula: a dargestellt. Durch die Punkte Formula: V und Formula: W ist auf der Wasseroberfläche eine Strecke der Länge Formula: h festgelegt (siehe Abbildung 2). Diese Strecke befindet sich im Modell in der Ebene Formula: L.

Bestimme Formula: h auf zehntel Meter gerundet.

(2 + 5 Punkte)

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(1)

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{EF}\circ\overrightarrow{EA}&=&\pmatrix{-2-2 \\ 5-5 \\ 1-1}\circ \pmatrix{2-2 \\ 0-5 \\ -0,5-1} \\[5pt] &=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{EF}\circ\overrightarrow{EA}&=&\pmatrix{-2-2 \\ 5-5 \\ 1-1}\circ \pmatrix{2-2 \\ 0-5 \\ -0,5-1} \\[5pt] &=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

(2)

Die Koordinaten der Punkte Formula: A und Formula: D unterscheiden sich nur im Vorzeichen der Formula: x -Koordinate. Dies gilt ebenso für die Punktepaare Formula: E und Formula: F sowie Formula: B und Formula: C.

(3)

Die Ebene, in der das Rechteck Formula: AEFD liegt, steht senkrecht zur Formula: yz -Ebene. Damit ist jeder Normalenvektor dieser Ebene ein Richtungsvektor der -Ebene.

(4)

Ein Normalenvektor der Formula: xy -Ebene ist gegeben durch $Formula: \overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ $Formula: \overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}.$ Zusammen mit dem Normalenvektor $Formula: \overrightarrow{n_1}$ $Formula: \overrightarrow{n_1}$ der Ebene aus Teilaufgabe 3.3 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&16,7^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&16,7^\circ \end{array}$

(5)

Bedeutung des Wertes angeben

Für $Formula: r=\tfrac{1}{3}$ $Formula: r=\tfrac{1}{3}$ ergibt sich, dass ein Drittel der Kante des Schanzentischs, die durch die Strecke $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ beschrieben wird, sich im Wasser befindet.

Flächeninhalt berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt] &\approx&13,92\;[\text{m}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt] &\approx&13,92\;[\text{m}^2] \end{array}$

(1)

Da Formula: L nicht mit der Formula: yz -Ebene übereinstimmt, ist dies nicht der Fall.

(2)

Nullsetzen der Formula: z -Koordinate der Punkte liefert mit dem Satz des Nullprodukts:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a_1&=&2,61 \\[5pt] a_2&=&13,39 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a_1&=&2,61 \\[5pt] a_2&=&13,39 \end{array}$

Da beim Sprung die Formula: y -Koordinate wächst, gehört Formula: a_2=13,39 zum Endpunkt Formula: W des Sprungs. Damit ergibt sich $Formula: W(4,017\mid13,39\mid0).$ $Formula: W(4,017\mid13,39\mid0).$ Der Absprungpunkt Formula: V liegt auf der Kante $Formula: \overline{EF}$ $Formula: \overline{EF}$ und besitzt somit die Formula: y -Koordinate Formula: y=a=5. Der darunterliegende Punkt auf der Wasseroberfläche hat somit die folgenden Koordinaten:

$Formula: V'(1,5\mid5\mid0)$ $Formula: V'(1,5\mid5\mid0)$

Für den Wert von Formula: h ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt] &\approx&8,8\;[\text{m}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt] &\approx&8,8\;[\text{m}] \end{array}$

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