Analysis 2
Gegeben sind die in 
definierten Funktionen 
und 
mit 
und 
In Abbildung 1 sind die Graphen der Funktionen und dargestellt. Die drei Schnittstellen von und werden mit 
und 
bezeichnet.
Es gilt: 
und 
Abbildung 1
Für alle 
gilt: 
Interpretiere diese Aussage geometrisch.
Berechne die beiden lokalen Extremstellen von sowie die Art der lokalen Extremstellen.
Ermittle rechnerisch das Intervall, in dem der Graph der Funktion eine Linkskrümmung aufweist.
Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion und der 
-Achse eingeschlossen wird.
[Zur Kontrolle: Der Flächeninhalt beträgt 
]
Gesucht ist derjenige Wert von 
für den die Gerade 
mit der Gleichung 
die Fläche halbiert, die im Intervall ![Formula: [0;3]](https://www.schullv.de/resources/formulas/989ef35ddb608f4befc7b703f6465b5cf517e676c006489beb40101fdaaecf76_light.svg)
![Formula: [0;3]](https://www.schullv.de/resources/formulas/989ef35ddb608f4befc7b703f6465b5cf517e676c006489beb40101fdaaecf76_dark.svg)
vom Graphen der Funktion und der -Achse eingeschlossen wird.
Bei der Berechnung des gesuchten Wertes von 
ergibt sich die Gleichung 
Leite diese Gleichung her.
Es gilt:
Entscheide begründet, durch welche der vier Lösungen der gesuchte Wert von gegeben ist.
Der Graph der Funktion 
ist die Tangente an den Graphen von im Punkt 
Ermittle rechnerisch eine Funktionsgleichung von 
Es gibt eine Gerade, die durch den Punkt 
verläuft und Tangente an den Graphen von in einem von 
verschiedenen Punkt 
ist. Diese Gerade ist der Graph der Funktion 
In der folgenden Abbildung 2 sind die Graphen von 
und 
dargestellt.
Abbildung 2
Um 
zu bestimmen, wird folgender Ansatz gewählt:
Erläutere diesen Ansatz.
Der folgende Term dient zur Berechnung des Inhalts eines Flächenstücks 
Schraffiere dieses Flächenstück 
in Abbildung 2.
Gegeben ist die in definierte Schar von Funktionen 
durch 
ist die Funktion aus den Aufgabenteilen a) und b).
Gib diejenigen Werte von 
an, für die für alle gilt: 
Gib an, wie diese Werte von am Graphen von (siehe Abbildung 1) abgelesen werden können.
Es soll untersucht werden, ob 
lokale Extremstellen besitzt und welche Art von Extremstellen vorliegen, wenn diese existieren.
Die folgenden Schritte 
bis 
sind Teil dieser Untersuchung:
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|
Fallunterscheidung:
|
und 
Erläutere, weshalb in Schritt zwischen dem 1. Fall und dem 2. Fall unterschieden wird, und gib diejenigen Werte von an, für die der 2. Fall zutrifft.
Wenn eine lokale Extremstelle besitzt, dann handelt es sich, unabhängig vom Wert von 
immer um eine lokale Maximalstelle.
Begründe diese Tatsache.
Beurteile mithilfe von Abbildung 1, ob die folgende Aussage zutrifft:
Wenn 
eine Extremstelle einer Funktion mit 
ist, dann gilt: 
Weiter lernen mit SchulLV Plus!
monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Für die ersten beiden Ableitungen von gilt:
Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen 
liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(x)&=&0 \\[5pt]
-x^2+3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt]
-x^2&=&-3 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt]
x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
x_{1;2}&=&\pm\sqrt{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/309f2db93dcc6639bd185e79706bd20b037152973e88415a44f7dfa91320efd6_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(x)&=&0 \\[5pt]
-x^2+3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt]
-x^2&=&-3 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1) \\[5pt]
x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
x_{1;2}&=&\pm\sqrt{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/309f2db93dcc6639bd185e79706bd20b037152973e88415a44f7dfa91320efd6_dark.svg)
Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Extremstellen liefert:
Somit handelt es sich bei 
um eine Maximalstelle und bei 
um eine Minimalstelle.
Überprüfung der Bedingung für Linkskrümmung 
liefert:![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(x)&\gt&0 \\[5pt]
-2x&\gt&0 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
x&\lt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0add60ff690c2a2b153fbdb3e0bd93b6f2a1297fcdd0f57ecb3a212536d86999_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f''(x)&\gt&0 \\[5pt]
-2x&\gt&0 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt]
x&\lt&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/0add60ff690c2a2b153fbdb3e0bd93b6f2a1297fcdd0f57ecb3a212536d86999_dark.svg)
Das gesuchte Intervall sind somit die gesamten negativen reellen Zahlen.
Die Nullstellen von können direkt als 
und 
abgelesen werden. Da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt für die gesuchte Fläche:
![Formula: \begin{array}{rlll}
2\cdot\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x &=&2\cdot\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right) \;\mathrm{d}x \\[5pt]
&=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 \\[5pt]
&=&2\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2\right)-\left(-\dfrac{1}{12}\cdot0^4+\dfrac{3}{2}\cdot0^2\right)\right) \\[5pt]
&=&\dfrac{27}{2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/761118d217cb6116d708721c5e011fa8a02afd6da2dbe77090571b309b1fa1d1_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
2\cdot\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x &=&2\cdot\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right) \;\mathrm{d}x \\[5pt]
&=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3 \\[5pt]
&=&2\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2\right)-\left(-\dfrac{1}{12}\cdot0^4+\dfrac{3}{2}\cdot0^2\right)\right) \\[5pt]
&=&\dfrac{27}{2}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/761118d217cb6116d708721c5e011fa8a02afd6da2dbe77090571b309b1fa1d1_dark.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x&=&2\cdot\displaystyle\int_0^u f(x)\;\mathrm{d}x \\[5pt]
\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right)\;\mathrm{d}x&=&2\cdot\displaystyle\int_0^u \left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right)\;\mathrm{d}x \\[5pt]
\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3&=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^u \\[5pt]
-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2-0&=&2\cdot\left(-\dfrac{1}{12}\cdot u^4+\dfrac{3}{2}\cdot u^2-0\right) \\[5pt]
\dfrac{27}{4}&=&-\dfrac{1}{6}u^4+3u^2 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{6}u^4-3u^2 \\[5pt]
\dfrac{1}{6}u^4-3u^2+\dfrac{27}{4}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot6 \\[5pt]
u^4-18u^2+\dfrac{81}{2}&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cdd025c44ad2508eb640aa7e1af43a846c909bde213204fc72dfb29e05ae7e90_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\displaystyle\int_0^3 f(x)\;\mathrm{d}x&=&2\cdot\displaystyle\int_0^u f(x)\;\mathrm{d}x \\[5pt]
\displaystyle\int_0^3\left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right)\;\mathrm{d}x&=&2\cdot\displaystyle\int_0^u \left( -\dfrac{1}{3} x^3+3 x\right)\;\mathrm{d}x \\[5pt]
\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^3&=&2\cdot\left[-\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{3}{2}x^2\right]_0^u \\[5pt]
-\dfrac{1}{12}\cdot3^4+\dfrac{3}{2}\cdot3^2-0&=&2\cdot\left(-\dfrac{1}{12}\cdot u^4+\dfrac{3}{2}\cdot u^2-0\right) \\[5pt]
\dfrac{27}{4}&=&-\dfrac{1}{6}u^4+3u^2 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{6}u^4-3u^2 \\[5pt]
\dfrac{1}{6}u^4-3u^2+\dfrac{27}{4}&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot6 \\[5pt]
u^4-18u^2+\dfrac{81}{2}&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cdd025c44ad2508eb640aa7e1af43a846c909bde213204fc72dfb29e05ae7e90_dark.svg)
Die Wurzelfunktion ist monoton steigend und es gilt 
Da der gesuchte Wert von positiv und kleiner als 
sein muss ist die gesuchte Lösung durch den zweiten Wert von gegeben.
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(3)&=&-3^2+3 \\[5pt]
&=&-6
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e1a9bc2084fb9678b4b58f408faab9064da857a260ba01bd86620a457955aae9_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
f'(3)&=&-3^2+3 \\[5pt]
&=&-6
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/e1a9bc2084fb9678b4b58f408faab9064da857a260ba01bd86620a457955aae9_dark.svg)
Einsetzen der Koordinaten 
in die allgemeine Tangentengleichung 
liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
0&=&-6\cdot3+b &\quad\scriptsize\mid\;+18 \\[5pt]
18&=&b
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/60068a3de4137ab8d4e7b52e8a0e102144c7c3427075c2fbef3034ab6f61a706_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
0&=&-6\cdot3+b &\quad\scriptsize\mid\;+18 \\[5pt]
18&=&b
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/60068a3de4137ab8d4e7b52e8a0e102144c7c3427075c2fbef3034ab6f61a706_dark.svg)
Damit ergibt sich 
Die linke Seite gibt die Steigung der Geraden mit dem Differenzenquotienten durch die beiden gegebenen Punkte an. Da die Tangente an den Graphen von bei ist, entspricht die Steigung exakt 
Damit 
gilt, muss 
für alle gelten, d.h. 
Somit ergeben sich für genau die Nullstellen von 
![Formula: \begin{array}{rlll}
a_1&=&-3 \\[5pt]
a_2&=&0 \\[5pt]
a_3&=&3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/80b0344e6ffea58a19f72d30c8b4906bbc4983155b000a4c5a332f0617fdd5ac_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
a_1&=&-3 \\[5pt]
a_2&=&0 \\[5pt]
a_3&=&3
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/80b0344e6ffea58a19f72d30c8b4906bbc4983155b000a4c5a332f0617fdd5ac_dark.svg)
Die Werte von können als die Nullstellen von direkt aus der Abbildung abgelesen werden.
Die Definitionsmenge des Logarithmus sind die positiven reellen Zahlen, deshalb ist es wichtig zu unterscheiden ob der Term 
welcher im Logarithmus steht, positiv ist oder nicht. Für die Werte von für die der 2. Fall eintritt, folgt mit Hilfe von Abbildung 1:
oder 
Da die 
-Funktion stets größer als Null ist gilt für alle Werte von und 
Somit ist jede lokale Extremstelle nach der hinreichenden Bedingung für Extremstellen eine lokale Maximalstelle.
Eine Extremstelle von hat laut den Schritten bis die Form 
Anhand von Abbildung 1 lässt sich erkennen, dass für 
die Ungleichung 
erfüllt. Da der Logarithmus für die Werte zwischen 
und 
negativ ist, gilt somit 
und die Aussage ist richtig.