Wahlpflichtteil

Für eine Zahl Formula: k>0 sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit $Formula: f(x)=2\mathrm e^{k\cdot x}$ $Formula: f(x)=2\mathrm e^{k\cdot x}$ und $Formula: g(x)=2\mathrm e^{-k\cdot x}$ $Formula: g(x)=2\mathrm e^{-k\cdot x}$ gegeben.

(1)

Gib an, wie der Graph von Formula: f aus dem Graphen von Formula: g erzeugt werden kann.

(2)

Die Graphen von Formula: f und Formula: g schneiden sich senkrecht.

Bestimme Formula: k.

(1 + 4 Punkte)

Betrachtet werden die Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\ln(x+5)+1$ $Formula: f(x)=\ln(x+5)+1$ und die Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=\ln(x-a)+b,$ $Formula: g(x)=\ln(x-a)+b,$ wobei Formula: a und Formula: b ganzzahlig sind. Die Definitionsmengen von und sind jeweils so groß wie möglich gewählt.

(1)

Berechne die Nullstelle von Formula: f.

(2)

Der Graph von Formula: g verläuft durch den Punkt $Formula: (-1\mid-1).$ $Formula: (-1\mid-1).$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von Formula: g.

Graph der Funktion g in einem Koordinatensystem mit logarithmisch ansteigendem Kurvenverlauf.

Abbildung 1

Ermittle Formula: a und Formula: b.

(2 + 3 Punkte)

Gegeben sind die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t\in\mathbb{R}$ $Formula: t\in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2x_1-x_2+2x_3-2=0.

(1)

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

(2)

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand $Formula: 12\;\mathrm{LE}$ $Formula: 12\;\mathrm{LE}$ hat.

(2 + 3 Punkte)

In Abbildung 2 ist das gerade Prisma Formula: ABCDEF mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B(6\mid0\mid0),$ $Formula: B(6\mid0\mid0),$ $Formula: C(0\mid4\mid0)$ $Formula: C(0\mid4\mid0)$ und $Formula: D(0\mid0\mid3)$ $Formula: D(0\mid0\mid3)$ dargestellt.

(1)

Gib die Koordinaten des Punktes Formula: F an.

(2)

Ermittle die Koordinaten des Punktes Formula: P auf der Kante $Formula: \overline{DE},$ $Formula: \overline{DE},$ für den das Dreieck Formula: ACP den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck Formula: ACFD hat.

Schräg dargestellter Quader ABCDEF mit eingezeichneten Raumdiagonalen und Koordinatenachsen x, y und z.

Abbildung 2

(1 + 4 Punkte)

Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren unterteilt, von denen genau einer grün eingefärbt ist. Bei einem Spiel drehen Person Formula: A und Person Formula: B abwechselnd das Glücksrad. Diejenige Person, die zuerst die Farbe „Grün“ erzielt, gewinnt und das Spiel ist beendet. Hat jede der beiden Personen zweimal das Glücksrad gedreht, ohne dabei zu gewinnen, so endet das Spiel unentschieden. Person dreht das Glücksrad zuerst.

(1)

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass das Spiel unentschieden endet.

(2)

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person Formula: A gewinnt, beträgt das Formula: 1,5 -Fache der Wahrscheinlichkeit dafür, dass Person Formula: B gewinnt.

(1 + 4 Punkte)

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

(1)

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

(2)

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16.

Bestimme Formula: a und Formula: b.

(1 + 4 Punkte)

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(1)

Der Graph von Formula: f kann aus dem Graphen von Formula: g durch Spiegelung an der Formula: y -Achse erzeugt werden.

(2)

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] 2 \mathrm e^{k\cdot x}&=&2 \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \;: 2 \\[5pt] \mathrm e^{k \cdot x} &=& \mathrm e^{-k\cdot x} &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] k \cdot x &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize\mid \;+ kx \\[5pt] 2kx &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:2k \\[5pt] x&=& 0\end{array}$

Für die ersten Ableitungen von Formula: f und Formula: g gilt:

$Formula: f'(x) = 2k \mathrm e^{k \cdot x}$ $Formula: f'(x) = 2k \mathrm e^{k \cdot x}$

$Formula: g'(x) = -2k\mathrm e^{-kx}$ $Formula: g'(x) = -2k\mathrm e^{-kx}$

Einsetzen von Formula: x=0 liefert jeweils:

$Formula: f' (0) = 2k\mathrm e^{k \cdot 0} = 2k$ $Formula: f' (0) = 2k\mathrm e^{k \cdot 0} = 2k$

$Formula: g'(0) = -2k\mathrm e^{-k \cdot 0} = -2k$ $Formula: g'(0) = -2k\mathrm e^{-k \cdot 0} = -2k$

Da sich die Graphen senkrecht schneiden, muss $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$ $Formula: f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0) = -1$ gelten. Für $Formula: k\gt0$ $Formula: k\gt0$ folgt damit:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) \cdot g^{\prime}(0)&=&-1\\[5pt] 2k\cdot\left(-2k\right)&=&-1\\[5pt] -4k^2&=&-1&\quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\[5pt] k^2&=&\dfrac{1}{4}&\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

(1)

$Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] \ln(x+5)+1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] \ln(x+5)&=&-1 \\[5pt] x+5&=&\mathrm e^{-1} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] x&=&\mathrm e^{-1}-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(x)&=&0 \\[5pt] \ln(x+5)+1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-1 \\[5pt] \ln(x+5)&=&-1 \\[5pt] x+5&=&\mathrm e^{-1} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] x&=&\mathrm e^{-1}-5 \end{array}$

(2)

Der Definitionsbereich des Logarithmus sind die positiven reellen Zahlen. Aus der Abbildung geht hervor, dass der Definitionsbereich von Formula: g durch alle reellen Zahlen gegeben ist, die größer als Formula: -2 sind. Aus der Funktionsgleichung von ergibt sich somit Formula: -2-a=0, d.h. Formula: a=-2. Einsetzen der Koordinaten $Formula: (-1\mid-1)$ $Formula: (-1\mid-1)$ in Formula: g(x) liefert weiter:

$Formula: \begin{array}{rlll} -1&=&\ln(-1+2)+b \\[5pt] -1&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -1&=&\ln(-1+2)+b \\[5pt] -1&=&b \end{array}$

Somit gilt Formula: a=-2 und Formula: b=-1.

(1)

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

(2)

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe (1) in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

(1)

$Formula: F(0\mid4\mid 3)$ $Formula: F(0\mid4\mid 3)$

(2)

Der Punkt Formula: P hat die allgemeinen Koordinaten $Formula: P(k\mid0\mid3).$ $Formula: P(k\mid0\mid3).$ Damit ergibt sich für Formula: k:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A C}| \cdot|\overline{A P}|&=&|\overline{A C}| \cdot|\overline{A D}| \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot4\cdot\sqrt{k^2+3^2}&=&4\cdot3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \sqrt{k^2+9}&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] k^2+9&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] k^2&=&27 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\sqrt{27} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A C}| \cdot|\overline{A P}|&=&|\overline{A C}| \cdot|\overline{A D}| \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot4\cdot\sqrt{k^2+3^2}&=&4\cdot3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \sqrt{k^2+9}&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] k^2+9&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] k^2&=&27 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\sqrt{27} \end{array}$

Die Koordinaten von Formula: P ergeben sich somit als $Formula: P(\sqrt{27}\mid0\mid3).$ $Formula: P(\sqrt{27}\mid0\mid3).$

(1)

$Formula: \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$ $Formula: \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$

(2)

Da Person Formula: A beginnt, beträgt für diese die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{13}{27}.$ Für Person Formula: B ergibt sich die folgende Gewinnwahrscheinlichkeit:

$Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$ $Formula: \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{26}{81}$

Da $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ $Formula: 1,5=\tfrac{3}{2}$ ist und $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ $Formula: \tfrac{26}{81}\cdot\tfrac{3}{2}=\tfrac{13}{27}$ gilt, ist die Aussage aus der Aufgabenstellung richtig.

(1)

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

(2)

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

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