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Ableitung einer Funktion

Die Ableitung einer Funktion betrachtest du, wenn du Aussagen über die momentane Änderungsrate der Funktion oder über die Steigung des zugehörigen Graphen treffen willst. Du benötigst die Ableitung z.B. bei Kurvendiskussionen, um Extrem- und Wendepunkte zu bestimmen oder um die Monotonie einer Funktion zu untersuchen.
Um eine Funktion abzuleiten, kannst du verschiedene Ableitungsregeln anwenden, unter anderem die Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel oder bestimmte Ableitungsregeln für spezielle Funktionstypen wie die $\mathrm e$-Funktion, $\ln$-Funktion oder gebrochenrationale Funktionen.
Im Folgenden findest du einen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften und Regeln.

Potenzregel

Die Potenzregel gibt an, wie du die Ableitung von Potenzfunktionen (z.B. eine ganzrationale Funktion oder eine einfache Wurzelfunktion) bilden kannst.

Für die Ableitung $f'$ einer Potenzfunktion $f$ gilt:

$f(x)=x^b\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'(x)=b\cdot x^{b-1}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^2 &\\ f'(x)&=& 2\cdot x^{2-1}\\ &=& 2x\\[5pt] f(x)&=& x^5 &\\ f'(x)&=& 5\cdot x^{5-1}\\ &=& 5x^4 \end{array}$

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Im Lernvideo: Potenzregel


Im Lernvideo: Beispiele zur Potenzregel

Summenregel

Besteht ein Funktionsterm aus mehreren Summanden, so leitest du den ganzen Funktionsterm ab, indem du die Summanden einzelnen ableitest.

Für die Ableitung $h'$ einer Funktion $h = f+g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&f(x)+g(x)\\[5pt] \Rightarrow h'(x)&=&f'(x)+g'(x) \end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&x^2 + x^3&\\ h'(x)&=&2x+3x^2\\[5pt] h(x)&=&x^5+x^2\\ h'(x)&=&5x^4+2x \end{array}$
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Im Lernvideo: Summenregel


Im Lernvideo: Beispiele zur Summenregel

Faktorregel

Wenn ein Funktionsterm einen konstanten Faktor enthält (z.B. eine Zahl, oder einen Parameter), so bleibt dieser Faktor in der Ableitung erhalten.

Für die Ableitung $g'$ einer Funktion $g = a\cdot f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&a\cdot f(x)\\[5pt] \Rightarrow g(x)&=&a\cdot f'(x) \end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&2x^3\\ g'(x)&=&2\cdot 3x^2\\ &=&6x^2\\[5pt] g(x)&=&5x^4\\ g'(x)&=&5\cdot 4x^3\\ &=&20x^3 \end{array}$

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Im Lernvideo: Faktorregel


Im Lernvideo: Beispiele zur Faktorregel

Kettenregel

Die Kettenregel beschreibt wie du die Ableitung einer verketteten Funktion bilden kannst. Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist $f(x)=(x+1)^3$, hier findest du ein innere Funktion $g$ mit $g(x)=x+1$ sowie eine äußere Funktion $h$ mit $h(x)=x^3.$ Du kannst die Funktion $f$ deshalb auch schreiben als $f(x)=h(g(x)).$

Für die Ableitung $f'$ einer verketteten Funktion $f$ mit $f(x)= h(g(x))$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&h(g(x))\\[5pt] \Rightarrow f'(x)&=&h'(g(x))\cdot g'(x) \end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x^2+1)^3\\ f'(x)&=&3\cdot(x^2+1)^2\cdot2x\\ &=&6x\cdot(x^2+1)^2\\[5pt] f(x)&=&(x^2+x)^2\\ f'(x)&=&2\cdot(x^2+x)\cdot(2x+1) \end{array}$

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Im Lernvideo: Kettenregel

Produktregel

Einige Funktionsterme sind Produkte, d.h. sie bestehen aus einzelnen Funktionstermen, die miteinander multipliziert werden. Die Ableitung einer solchen Funktion kannst du unter Anwendung der Produktregel bestimmen.

Für die Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ mit $f=g \cdot h$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) \cdot h(x)\\[5pt] \Rightarrow f'(x)&=&\scriptsize{g'(x)\cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)} \end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x^2+2)\cdot x^3\\ f'(x)&=&(2x)\cdot x^3 + (x^2+2)\cdot 3x^2\\ &=&2x^4+3x^4+6x^2\\ &=&5x^4+6x^2\\[5pt] f(x)&=&2x\cdot x^4\\ f'(x)&=&2\cdot x^4 + 2x\cdot 4x^3\\ &=&2x^4+8x^4\\ &=&10x^4 \end{array}$
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Im Lernvideo: Produktregel

Quotientenregel

Einige Funktionsterme sind Quotienten, d.h. sie bestehen aus einzelnen Funktionstermen, die durcheinander dividiert werden. Die Ableitung einer solchen Funktion kannst du unter Anwendung der Quotientenregel bestimmen.

Für die Ableitung $f'$ einer Funktion $f$ mit $f=\dfrac{f}{g}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{f(x)}{g(x)}\\[5pt] \Rightarrow f'(x)&=&\scriptsize{\dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}} \end{array}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{2x}{x+3}\\[5pt] f'(x)&=&\dfrac{2\cdot(x+3)-2x\cdot(1)}{(x+3)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{2x+6-2x}{(x+3)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{6}{(x+3)^2}\\[10pt] f(x)&=&\dfrac{x^2+1}{4x-1}\\[5pt] f'(x)&=&\dfrac{2x\cdot(4x-1)-(x^2+1)\cdot4}{(4x-1)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{8x^2-2x-4x^2-4}{(4x-1)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{4x^2-2x-4}{(4x-1)^2} \end{array}$
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Im Lernvideo: Quotientenregel

Ableitung der $\mathrm e$-Funktion und von Exponentialfunktionen

Das Besondere an der Funktion $f(x) = \mathrm e^x$ ist, dass die Funktion gleichzeitig auch ihre Ableitung ist:

Für die Ableitung $f'$ der Funktion $f(x)=\mathrm e^x$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\mathrm e^x\\[5pt] \Rightarrow f'(x)&=&\mathrm e^x \end{array}$

Selbstverständlich kann eine Funktion auch einen Term wie $f(x)=\mathrm e^{2x+1}$ besitzen, oder allgemein formuliert: $f(x) = \mathrm e^{g(x)}$. Ihre Ableitung lässt sich mit der Kettenregel bestimmen:
Für die Ableitung $f'$ der Funktion $f(x)=\mathrm e^{g(x)}$ gilt:

$f(x) = \mathrm e^{g(x)} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; f'(x)=g'(x)\cdot e^{g(x)}$

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&2\mathrm e^x\\ f'(x)&=&2\mathrm e^x\\[5pt] f(x)&=&\mathrm e^{x^2}\\ f'(x)&=&2x\cdot\mathrm e^{x^2} \end{array}$
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Im Lernvideo: Ableitung von Exponentialfunktionen

Ableitung von Sinus, Kosinus und Tangens

Für die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens gelten die folgenden Ableitungsregeln:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\sin(x)\\ \Rightarrow f'(x)&=&\cos(x)\\[5pt] f(x)&=&\cos(x)\\ \Rightarrow f'(x)&=&-\sin(x)\\[5pt] f(x)&=&\tan(x)\\ \Rightarrow f'(x)&=&\dfrac{1}{(\sin(x))^2} \end{array}$

Wie bei der $\mathrm e$-Funktion treten auch diese Funktionen als verkettete Funktionen auf, z.B. $f(x)=\sin(2x)$, oder allgemein $f(x)=\sin(g(x))$. Die Ableitung einer solchen Funktion kannst du unter Anwendung der Kettenregel bestimmen:

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\sin(x)+\cos(x)\\ f'(x)&=&\cos(x)-\sin(x)\\[5pt] f(x)&=&\cos(x^2)\\ f'(x)&=&-2x\cdot\sin(x^2) \end{array}$
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Im Lernvideo: Ableitung von Trigonometrischen Funktionen

Wurzelfunktionen ableiten

Eine Wurzelfunktion kannst du immer in Exponentenschreibweise umschreiben, und dann mit der Potenz- und Kettenregel ableiten:
$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$, z.B. $f(x)=\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

Für die Ableitung $f'$ einer Wurzelfunktion $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\sqrt[n]{x}\\[5pt] &=&x^{\frac{1}{n}}\\[5pt] \Rightarrow f'(x)&=&\dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{n\cdot\sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{array}$

Wie bei der $\mathrm e$-Funktion treten auch Wurzelfunktionen als verkettete Funktionen auf, z.B. $f(x)=\sqrt{2x}$, oder allgemein $f(x)=\sqrt{g(x)}$. Die Ableitung einer solchen Funktion kannst du unter Anwendung der Kettenregel bestimmen:

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\sqrt{x}\\ f'(x)&=&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\[10pt] f(x)&=&\sqrt{x^2+1}\\ f'(x)&=&\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}\cdot 2x}\\ &=&\dfrac{1}{4x\sqrt{x^2+1}} \end{array}$
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Im Lernvideo: Ableitung von Wurzelfunktionen

Ableitung von Logarithmus- und der $\ln$-Funktion

Die $\ln$-Funktion hat den Funktionsterm $f(x)=\ln(x)$.

Für die Ableitung $f'$ der $\ln$-Funktion $f$ gilt:

$f(x) = \ln(x) \;\;\;\Rightarrow\;\;\; f'(x)=\dfrac{1}{x}$

Wie bei der $\mathrm e$-Funktion treten auch $\ln$-Funktionen als verkettete Funktionen auf, z.B. $f(x)=\ln(2x)$, oder allgemein $f(x)=\ln(g(x))$. Die Ableitung einer solchen Funktion kannst du unter Anwendung der Kettenregel bestimmen:

Beispiele:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\ln(2x)\\ f'(x)&=&2\cdot\dfrac{1}{2x}\\ &=&\dfrac{1}{x}\\[10pt] f(x)&=&\ln(x^2+1)\\ f'(x)&=&2x\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\\ &=&\dfrac{2x}{x^2+1} \end{array}$
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Im Lernvideo: Ableitung von Logarithmus-Funktionen

Anwendung der Ableitung

Die Ableitung spielt unter anderem in folgenden Themen eine wichtige Rolle:

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