Polynomdivision

Bei manchen Funktionen können die Nullstellen nicht direkt berechnet oder abgelesen werden.

Hier kann die sogenannte Polynomdivision angewendet werden.

Dabei wird eine Nullstelle durch Ausprobieren gesucht und weitere Nullstellen mit der Polynomdivison berechnet.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6x^2+3x+10.$

Eine Nullstelle ist $x=2$ (durch Ausprobieren erhalten).

Polynomdivision anzeigen

Weitere Nullstellen können jetzt mit der $pq$ -Formel oder $abc$ -Formel berechnet werden:

$x^2-4x-5=0$

$pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-(-5)}\\[5pt] x_{2,3}&=&2\pm 3\\[5pt] x_2&=&5\\[5pt] x_3&=&-1 \end{array}$

$abc$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{4 \pm 6}{2} \\[5pt] x_2&=&5\\[5pt] x_3&=&-1 \end{array}$

Polynomdivision anzeigen

$x^3+6x^2-4x-24=0$

Nullstelle durch Ausprobieren: $x=2$

Polynomdivision anzeigen

$x^2+8x+12=0$

$pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2-12} \\[5pt] x_{2,3}&=&-4\pm2\\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] x_3&=&-6 \end{array}$

$abc$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 12}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{-8 \pm 4}{2} \\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] x_3&=&-6 \end{array}$

$x^3+13x^2-33x-45=0$

Nullstelle durch Ausprobieren: $x=3$

Polynomdivision anzeigen

$x^2+16x+15=0$

$pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{16}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{16}{2}\right)^2-15} \\[5pt] x_{2,3}&=&-8\pm 7\\[5pt] x_2&=&-1\\[5pt] x_3&=&-15 \end{array}$

$abc$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-16 \pm \sqrt{16^2-4\cdot 1\cdot 15}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-16 \pm \sqrt{196}}{2} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{-16 \pm 14}{2} \\[5pt] x_2&=&-1\\[5pt] x_3&=&-15 \end{array}$

$x^3-11x^2-48x-36=0$

Nullstelle durch Ausprobieren: $x=-1$

Polynomdivision anzeigen

$x^2-12x-36=0$

$pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-12}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-12}{2}\right)^2-(-36)} \\[5pt] &=&6\pm \sqrt{72}\\[5pt] x_{2,3}&=&6\pm 3\sqrt{8}\\[5pt] x_2&=&6+ 3\sqrt{8}\\[5pt] x_3&=&6- 3\sqrt{8} \end{array}$

$abc$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=&\scriptsize\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1\cdot (-36)}}{2\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{12 \pm \sqrt{288}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{12 \pm \sqrt{36\cdot 8}}{2} \\[5pt] x_{2,3}&=& \dfrac{12 \pm 6\sqrt{8}}{2} \\[5pt] x_2&=&6+ 3\sqrt{8}\\[5pt] x_3&=&6- 3\sqrt{8} \end{array}$

$x^3-9x^2+18x+28=0$

Nullstelle durch Ausprobieren: $x=-1$

Polynomdivision anzeigen

$x^2-10x+28=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{2,3}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-28} \\[5pt] x_{2,3}&=&6\pm \sqrt{25-28}\\[5pt] x_{2,3}&=&6\pm \sqrt{-3} \end{array}$

Die Wurzel von $-3$ ist nicht definiert. Also ist $x=-1$ die einzige Lösung.

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	$(x^3$	$-$	$6x^2$	$+$	$11x$	$-$	$6)$	$:$	$(x-2)$	$=$	$x^2-4x+3$
$-$	$(x^3$	$-$	$2x^2)$
			$-4x^2$	$+$	$11x$
		$-$	$(-4x^2$	$+$	$8x)$
					$3x$	$-$	$6$
				$-$	$(3x$	$-$	$6)$
							$0$

	$(x^3$	$+$	$6x^2$	$-$	$4x$	$-$	$24)$	$:$	$(x-2)$	$=$	$x^2+8x+12$
$-$	$(x^3$	$-$	$2x^2)$
			$8x^2$	$-$	$4x$
		$-$	$(8x^2$	$-$	$16x)$
					$12x$	$-$	$24$
				$-$	$(12x$	$-$	$24)$
							$0$

	$(x^3$	$+$	$13x^2$	$-$	$33x$	$-$	$45)$	$:$	$(x-3)$	$=$	$x^2+16x+15$
$-$	$(x^3$	$-$	$3x^2)$
			$16x^2$	$-$	$33x$
		$-$	$(16x^2$	$-$	$48x)$
					$15x$	$-$	$45$
				$-$	$(15x$	$-$	$45)$
							$0$

	$(x^3$	$-$	$11x^2$	$-$	$48x$	$-$	$36)$	$:$	$(x+1)$	$=$	$x^2-12x-36$
$-$	$(x^3$	$+$	$x^2)$
			$-12x^2$	$-$	$48x$
		$-$	$(-12x^2$	$-$	$12x)$
					$-36x$	$-$	$36$
				$-$	$(-36x$	$-$	$36)$
							$0$