Vektoren

Wird ein Punkt \(A\) verschoben, so entsteht z.B. ein neuer Punkt \(B.\)
Die Verschiebung wird durch einen sogenannten Vektor angegeben. Die Verschiebung wird in \(x_1\)-Richtung, in \(x_2\)-Richtung und in \(x_3\)-Richtung vorgenommen. Daher besteht ein Vektor aus \(\vec{v}=\pmatrix{v_1\\v_2\\v_3}.\)

Beispiel für einen Vektor

Der Vektor \(\vec{v}=\pmatrix{1\\2\\2}\) verschiebt einen Punkt \(A(2\mid 3\mid 3)\) um \(1\) Längeneinheit in \(x_1\)-Richtung, um \(2\) Längeneinheiten in \(x_2\)-Richtung und um \(2\) Längeneinheiten in \(x_3\)-Richtung auf den Punkt \(B\) mit den Koordinaten \(B(2+1\mid 3+2\mid 3+2),\) also \(B(3\mid 5\mid 5).\)

Allgemeine Definition eines Vektors

Sind zwei Punkte \(A(a_1\mid a_2\mid a_3)\) und \(B(b_1\mid b_2\mid b_3)\) gegeben, verschiebt der Vektor \(\overrightarrow{AB}=\pmatrix{b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3}\) den Punkt \(A\) auf den Punkt \(B.\)

Länge eines Vektors

Soll die Länge eines Vektors bestimmt werden, so kann davon der Betrag gebildet werden:
\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left| \pmatrix{b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3}\right|\)\(=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)