Nullstellen

Eine Nullstelle einer Funktion $f$ ist der $x$ -Wert eines Schnittpunktes des Graphen von $f$ mit der $x$ -Achse.

Um Nullstellen von ganzrationalen Funktionen zu bestimmen, wird die Gleichung $f(x)=0$ nach $x$ aufgelöst.

Nullstellen einer quadratischen Funktion

$f(x)=ax^2+bx+c$

$f(x)=0,$ also $ax^2+bx+c=0$

Lösen mit der $pq$ - oder $abc$ -Formel.

Nullstellen eines Produkts von Funktionen

$f(x)=p(x)\cdot q(x)$

$f(x)=0,$ also $p(x)\cdot q(x)=0$

Lösen durch Ausklammern und anschließendem Betrachen der einzelnen Faktoren des Produkts.

Beispiel: $f(x)=x^3-4x$

$x^3-4x=0,$ also $x(x^2-4)=0.$ $x_1=0$ und $x^2-4=0,$ also $x^2=4$ und somit $x_2=2$ und $x_2=-2.$

Nullstellen einer biquadratischen Funktion

$f(x)=ax^4+bx^2+c$

$f(x)=0,$ also $ax^4+bx^2+c=0$

Lösen durch Substitution $z=x^2$ und anschließender Rücksubstitution.

Beispiel: $f(x)=x^4+2x^2-3$

$x^4+2x^2-3=0,$ durch Substitution mit $z=x^2$ folgt $z^2+2z-3=0$

Lösung mit $pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=& -1 \pm \sqrt{4} \\[5pt] &=& -1 \pm 2 \\[5pt] z_1&=&1\\[5pt] z_2&=&-3 \end{array}$

Lösung mit $abc$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} z_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}\\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm 4}{2}\\[5pt] z_1&=&1\\[5pt] z_2&=&-3 \end{array}$

Rücksubstitution:

$z_1=x^2,$ also $1=x^2$ und somit $x_1=1$ und $x_2=-1$

$z_2=x^2,$ also $-3=x^2$ (keine Lösung)

Lerninhalte in Mathe

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