Wahlteil B

Aufgabe 1

Gegeben ist die zusammengesetzte Figur (Maße in cm).

Zeige, dass der Umfang der Figur $36\,\text{cm}$ beträgt.

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(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Ludwig hat folgenden Term aufgestellt, um den Flächeninhalt der Figur zu bestimmen.

Term: $5 \cdot 7+\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8+3 \cdot 2$

Erkläre, wie Ludwig zu diesem Term gekommen ist.

Finde einen weiteren möglichen Lösungsweg, um den Flächeninhalt der Figur zu bestimmen.

Veranschauliche deinen Lösungsweg in der Skizze.
Gib dazu den passenden Term an.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Term: $\text{__________________________}$

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von $108\,\text{cm}^2.$
Die Seite $a$ ist dreimal so lang wie die Seite $b$ .

Bestimme die Seitenlängen $a$ und $b$ des Rechtecks.

(5 Pkt.)

Eine Gerade mit der Funktionsgleichung $y=-1,5 x+3$ wurde gezeichnet.

Zeichne ein vollständig beschriftetes Koordinatensystem so ein, dass der Graph der Funktionsgleichung korrekt eingetragen ist.

Gegeben ist eine Wertetabelle einer linearen Funktion.

$x$	$y$
-3	-8
-2	-5
-1	-2
0	1
1	4
2	7
3	10

Beschreibe anhand der Wertetabelle, wie die Funktionsgleichung dieser linearen Funktion bestimmt werden kann.

Luca hat sich ein Fahrradschloss gekauft. Das Schloss besitzt 4 Einstellringe mit den Ziffern von 0 bis 9. Bei der Zahlenkombination kann jede Ziffer mehrfach vorkommen.

Berechne die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten.

Leider hat Luca seine Zahlenkombination vergessen.
Er kann sich nur an Folgendes erinnern:

- Die Ziffern werden von links nach rechts immer um eins größer.

- Die letzte Ziffer ist eine ungerade Zahl.

Gib alle Kombinationsmöglichkeiten an.

Am Fahrradschloss wird blind eine Zahlenkombination eingestellt.

Bestimme die prozentuale Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Ziffern gleich sind.

(5 Pkt.)

Aufgabe 2

Auf der Oberfläche des quadratischen Prismas mit $a=3 \,\text{cm}$ und $h=2 a$ liegt der Streckenzug $RSTUV.$

Berechne die Länge des Streckenzuges $RSTUV.$
Zeichne das Netz des Prismas und trage den Streckenzug ein.

Skizze nicht maßstäblich

Emil behauptet: „Wenn man die beiden Seitenlängen der Grundfläche des Prismas verdoppelt, verdoppelt sich auch das Volumen des Prismas."

Nimm Stellung und begründe deine Entscheidung.

(5 Pkt.)

Zu einer verschobenen, nach unten geöffneten Normalparabel gehört folgende Wertetabelle:

$x$	$y$
-3	-10
-2
-1
0
1
2	-5
3	-10

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel.
Vervollständige die Wertetabelle.

Till behauptet: „Jede nach unten geöffnete Normalparabel der Form $y=-x^2+c \quad(c \neq 0)$ besitzt nur negative $y$ -Werte“. Hat Till Recht?

Begründe deine Entscheidung durch Argumentation.

$(3 x+6) \cdot(4-2 x)=0$

Löse die Gleichung.

(5 Pkt.)

Aufgabe 3

In einen Kreis mit dem Radius $8\,\text{cm}$ wurde der Mantel einer quadratischen Pyramide eingezeichnet.

Berechne die Oberfläche der Pyramide.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

In der Abbildung gilt: $\overline{AF} \,||\, \overline{BE} \,||\, \overline{CD}$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

	$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$
	$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$
	$\dfrac{\overline{CF}}{\overline{CA}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CA}}$
	$\dfrac{\overline{FE}}{\overline{CE}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{DE}}$

Kreuze die richtigen Verhältnisgleichungen an.
Stelle eine Verhältnisgleichung zur Berechnung von $\overline{AF}$ auf.
Verwende hierzu den 2. Strahlensatz.
$\dfrac{\boxed{\phantom{Text}}}{\boxed{\phantom{Text}}}=\dfrac{\boxed{\phantom{Text}}}{\boxed{\phantom{Text}}}$

(5 Pkt.)

Frau Steiner möchte sich ein neues E-Bike für $5\,200,00 \,\text €$ kaufen.

Ein Fahrradhändler wirbt mit folgender Rabattaktion:

$15 \,\%$ Rabatt bei Kauf eines E-Bikes!!!

Bei Barzahlung gibt es nochmals $2 \,\%$ Skonto.

Frau Steiner rechnet aus, wie viel sie nun für das E-Bike bezahlen muss:

$\begin{array}[t]{rll} 100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 5\,200\,\text € & \\[5pt] 1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 52\,\text € & \\[5pt] 17\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 884\,\text € \\[5pt] \end{array}$

$5\,200\,\text €-884\,\text €=4\,316\,\text €$

Beschreibe und erkläre, was Frau Steiner falsch gemacht hat.
Berechne den Kaufpreis des E-Bikes nach dem Angebot des Fahrradhändlers.

Eine Kugel hat einen Radius von $25 \,\text{cm}.$
Die Höhe des Kegels ist genauso groß wie der Durchmesser der Kugel.
Der Kegel und die Kugel haben das gleiche Volumen.

(Skizzen nicht maßstabsgetreu)

Bestimme den Neigungswinkel $\alpha$ des Kegels.

Der Neigungswinkel des Kegels wird verkleinert.
Wie verändert sich das Volumen des Kegels, wenn die Höhe gleich bleibt?

Kreuze an.

	Das Volumen des Kegels bleibt gleich.
	Das Volumen des Kegels vergrößert sich.
	Das Volumen des Kegels verkleinert sich.

(5 Pkt.)

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Lösung 1

Umfang berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras kann die Länge $x$ der fehlenden Strecke berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$x= 10\,\text{cm}$

Für den Umfang des Trapezes folgt:

Rechenweg anzeigen

$u=36\,\text{cm}$

Term erklären

Die Figur wurde in die folgenden Teilflächen zerlegt:

Mit dem Term $5 \cdot 7$ wird der Flächeninhalt $A_1$ des Rechtecks berechnet.

Mit dem Term $\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8$ wird der Flächeninhalt $A_2$ des Dreiecks berechnet.

Mit dem Term $3 \cdot 2$ wird der Flächeninhalt $A_3$ des Rechtecks berechnet.

Lösungsweg veranschaulichen und Term angeben

Term: $5 \cdot 1+6 \cdot 2+\dfrac{1}{2} \cdot(3+9) \cdot 8$

Seitenlängen des Rechtecks bestimmen

Es muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 108 \\[5pt] 3b\cdot b&=& 108 \\[5pt] 3b^2&=& 108 \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] b^2&=& 36 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] b&=& 6 \end{array}$

Daraus folgt $a=3\cdot b=3\cdot 6=18.$

Das Rechteck hat die Seitenlängen $a=18\,\text{cm}$ und $b=6\,\text{cm}.$

Koordinatensystem einzeichnen

Beschreiben, wie Funktionsgleichung bestimmt werden kann

Der $y$ -Achsenabschnitt $c$ ist gegeben durch den $y$ -Wert an der Stelle $0,$ also $c=1.$

Die Steigung $m$ lässt sich berechnen, indem die Differenz der $y$ -Werte bei einem Schritt entlang der $x$ -Achse berechnet wird:

$m=4-1=3$

Insgesamt gilt also $y=3x+1.$

Anzahl Kombinationsmöglichkeiten berechnen

Es gibt $10^4=10\,000$ Kombinationsmöglichkeiten.

Kombinationsmöglichkeiten angeben

$0123, 2345, 4567, 6789$

Wahrscheinlichkeit für vier gleiche Ziffern angeben

Es gibt insgesamt $10\,000$ Kombinationsmöglichkeiten und $10$ mögliche Kombinationen mit 4 gleichen Ziffern.

$\dfrac{10}{10\,000}=0,001=0,1\,\%$

Lösung 2

Länge des Streckenzugs berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{RS}^2&=& \left(\dfrac{2}{3}\cdot 3\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{RS}&=& \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\cdot 3\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} \\[5pt] \overline{RS}&=& 2,5 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{ST}^2&=& \left(\dfrac{3}{2}\right)^2+3^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{ST}&=& \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+3^2} \\[5pt] \overline{ST}&=& 3,35 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(20°)&=& \dfrac{2\cdot 3}{\overline{TU}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{TU} \\[5pt] \cos(20°)\cdot \overline{TU}&=& 6 \quad \scriptsize \mid\; :\cos(20°) \\[5pt] \overline{TU}&=& \dfrac{6}{\cos(20°)} \\[5pt] \overline{TU}&=& 6,39 \end{array}$

$\overline{UV}=3$

Insgesamt ergibt sich damit die Länge des Streckenzugs:

$2,5+3,35+6,39+3=15,24\,\text{[cm]}$

Netz mit Streckenzug zeichnen

Behauptung überprüfen

Emils Behauptung ist falsch. Bei einer Verdopplung der Seitenlängen der Grundfläche vervierfacht sich das Volumen $V_P$ des Prismas:

$V_2=(2a)^2\cdot h=4\cdot a^2\cdot h=4\cdot V_P$

Funktionsgleichung bestimmen

Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel der Form $y=-x^2+c.$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P(3\mid -10)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -10&=& -3^2+c \\[5pt] -10&=& -9+c \quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] -1&=& c \end{array}$

Die Parabel hat die Funktionsgleichung $y=-x^2-1.$

Wertetabelle vervollständigen

$x$	$y$
-3	-10
-2	-5
-1	-2
0	-1
1	-2
2	-5
3	-10

Behauptung überprüfen

Till hat nicht Recht.

Liegt der Scheitelpunkt bei einer solchen Normalparabel oberhalb der $x$ -Achse, gilt also $c\gt 0,$ so besitzt die Parabel auch positive $y$ -Werte.

Gleichung lösen

Das Produkt der beiden Terme ist gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.

$\begin{array}[t]{rll} 3x+6&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] 3x&=& -6 \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x_1&=& -2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 4-2x&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -2x&=& -4 \quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$

$L=\{2\mid -2\}$

Lösung 3

Oberfläche der Pyramide berechnen

Winkel $\alpha$ an der Spitze einer dreieckigen Seitenfläche berechnen:

$\alpha=\dfrac{360°-160°}{4}=50°$

Länge der Grundseite $a$ einer dreieckigen Seitenfläche mit dem Kosinussatz berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& 8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \cos(50°) \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] a&=& \sqrt{8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \cos(50°)} \\[5pt] a&=& 6,76\,\text{[cm]} \end{array}$

Für die Höhe $h_s$ einer dreieckigen Seitenfläche gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} h_s^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=& r^2 \\[5pt] h_s^2+\left(\dfrac{6,76}{2}\right)^2&=& 8^2 \quad \scriptsize \mid\; -\left(\dfrac{6,76}{2}\right)^2 \\[5pt] h_s^2&=& 8^2-\left(\dfrac{6,76}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] h_s&=& \sqrt{8^2-\left(\dfrac{6,76}{2}\right)^2} \\[5pt] h_s&=& 7,25\,\text{[cm]} \end{array}$

Damit lässt sich schließlich die Oberfläche der Pyramide berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_s+a^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6,76\cdot 7,25+6,76^2 \\[5pt] &=& 143,72\,[\text{cm}^2] \end{array}$

Richtige Verhältnisgleichungen ankreuzen

	$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}}$
	$\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$
	$\dfrac{\overline{CF}}{\overline{CA}}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CA}}$
	$\dfrac{\overline{FE}}{\overline{CE}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{DE}}$

Verhältnisgleichung aufstellen

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel $\dfrac{\overline{AF}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{EF}}{\overline{CE}}.$

Erklären, was Frau Steiner falsch gemacht hat

Frau Steiner hat beide Rabatte vom selben Grundwert abgezogen.

Der Grundwert vermindert sich jedoch nach der ersten Preissenkung. Der zweite Rabatt muss daher vom neuen Grundwert abgezogen werden.

Kaufpreis berechnen

$:100$

$\cdot 15$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 5\,200\,\text €\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 52\,\text €\\[5pt] 15\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 780\,\text € \end{array}$

$:100$

$\cdot 15$

Kaufpreis nach $15\,\%$ Rabatt:

$5\,200\,\text €-780\,\text €=4\,420\,\text €$

$:100$

$\cdot 2$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 4\,420\,\text €\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 44,20\,\text €\\[5pt] 2\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 88,40\,\text € \end{array}$

$:100$

$\cdot 2$

Kaufpreis nach weiteren $2\,\%$ Rabatt:

$4\,420\,\text €-88,40\,\text €=4\,331,60\,\text €$

Neigungswinkel des Kegels berechnen

Volumen der Kugel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_\text{Kugel}&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (25\,\text{cm})^3 \\[5pt] &=& 65\,449,85\,\text{cm}^3 \end{array}$

Da das Volumen der Kugel so groß ist wie das des Kegels, lässt sich damit der Radius des Kegels berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 65\,449,85\,\text{cm}^3&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2 \cdot 2\cdot 25\,\text{cm} \\[5pt] 65\,449,85\,\text{cm}^3&=& 52,36\,\text{cm} \cdot r^2 \quad \scriptsize \mid\; :52,36\,\text{cm} \\[5pt] 1\,250,95\,\text{cm}^2&=& r^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] 35,37\,\text{cm}&=& r_\text{Kegel} \end{array}$

Damit lässt sich der Winkel $\alpha$ mit dem Tangens berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{h}{r_\text{Kegel}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{50\,\text{cm}}{35,37\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha&=& 54,75° \end{array}$

Ankreuzen, wie sich Volumen verändert

	Das Volumen des Kegels bleibt gleich.
	Das Volumen des Kegels vergrößert sich.
	Das Volumen des Kegels verkleinert sich.

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