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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

a)
Die Kuppel des Berliner Reichstages hat etwa die Form einer Halbkugel.
Berechne die Bodenfläche in der Kuppel möglichst genau.
Wie viele Quadratmeter hat die vollständig geschlossene Oberfläche?
(2 Punkte)
b)
Laura möchte sich einen neuen Computer kaufen. Dieser kostet $1840\,€.$ Sie hat $280\,€$ gespart. Für den Rest muss sie einen Ratenkredit aufnehmen.
Die Bank macht ihr ein Angebot: Zinssatz $4,6\,\%\,\text{p.a.}$
Wie hoch ist ihre Restschuld nach fünf Monaten, wenn sie eine monatliche Rate in Höhe von $90\,€$ bezahlt?
Wie viel Euro Zinsen hat sie bis zu diesem Zeitpunkt bezahlt?
Stelle den Verlauf der Restschuld für jeden Monat in einem aussagekräftigen Diagramm dar.
(2 Punkte)
c)
(2 Punkte)
#parabel#maßstab#schätzen

Aufgabe 2

a)
Ermittle mit welcher Wahrscheinlichkeit genau die Summe $17$ gezogen wird. Die Reihenfolge muss beachtet werden.
(2 Punkte)
b)
Direkt nach dem Melken enthält ein Liter Milch durchschnittlich $500$ Keime. Wird die Milch nach dem Melken nicht gekühlt, verdoppelt sich die Anzahl der Keime stündlich.
Wie viele Keime enthält ein Liter ungekühlte Milch nach fünf Stunden?
Wird die Milch sofort gekühlt, ändert sich der Wachstumsprozess der Keime. Ein Liter gekühlte Milch enthält nach fünf Stunden nur $1000$ Keime.
Bestimme die Wachstumsrate der Keime.
Wachstumsrate = Prozentsatz des Wachstums
Wachstumsrate = Prozentsatz des Wachstums
(2 Punkte)
c)
Abb. 4: Skizze nicht maßstabsgetreu
Abb. 4: Skizze nicht maßstabsgetreu
(2 Punkte)
#wahrscheinlichkeit#wachstum

Aufgabe 3

a)
In einem Behälter liegen $30$ Kugeln. Sie sind mit den Zahlen $A,$ $B$ und $C$ beschriftet.
Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Übertrage und vervollständige das Baumdiagramm (Abb. 5).
Aus einem anderen Behälter (Abb. 6) werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen blind gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Zahl größer als die zweite gezogene Zahl ist?
(2 Punkte)
b)
Ein gebrauchtes Auto kostet $14\,799\,€.$ Im ersten Jahr beträgt der Wertverlust $8,75\,\%,$ ab dem zweiten Jahr durchschnittlich $7,1\,\%.$
Bestimme die Restwerte jeweils zum Jahresende der ersten fünf Jahre nach dem Kauf.
Erstelle für diese Restwerte ein aussagekräftiges Diagramm.
(2 Punkte)
c)
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
#diagramm#dreieck#baumdiagramm

Aufgabe 4

a)
$550$ Personen wurden gefragt, wie viele Kilometer sie jährlich mit dem Fahrrad zurücklegen. Das Diagramm zeigt das Ergebnis der Umfrage.
Berechne die fehlenden Prozentwerte.
Zwei Aussagen lassen sich eindeutig belegen. Nenne und begründe diese Aussagen.
Mehr als die Hälfte der Befragten fährt bis zu $2500$ Kilometer pro Jahr.
Jährlich fahren genau $220$ Radfahrer mehr als $2000$ Kilometer.
Mindestens $190$ Radfahrer fahren weniger als $1501$ Kilometer pro Jahr.
Genau einer von $100$ Befragten fährt über $5000$ Kilometer pro Jahr.
Junge Menschen fahren mehr Fahrrad als ältere Menschen.
(2 Punkte)
b)
Bettina gewinnt einen Hubschrauberflug zu den bayrischen Könisschlössern Herrenchiemsee, Neuschwanstein und Linderhof.
Abb. 10: Skizze nicht maßstabsgetreu
Abb. 10: Skizze nicht maßstabsgetreu
Berechne die gesamte Flugstrecke.
Überprüfe die Behauptung: Der Winkel bei Schloss Linderhof ist ungefähr doppelt so groß wie die beiden anderen Winkel zusammen!
(2 Punkte)
c)
Am Rande unseres Sonnensystems wird ein neuer Planet vermutet. Seine Masse kann man bereits mit $5,971\cdot 10^{25}\,\text{kg}$ angeben.
Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Die Maßzahlen sind gerundet. Betrachte beide Planeten als Kugeln.
Masse = Volumen $\cdot$ Dichte
Die Maßzahlen sind gerundet. Betrachte beide Planeten als Kugeln.
Bestimme den Radius des neuen Planeten anhand des Schaubilds.
(2 Punkte)
#kugel#diagramm#dichte
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/5AaijF – Berlin - Reichstags Kuppel, Reinhard Link, CC BY-SA.
[2]-[11]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Bodenfläche berechnen
Da die Kuppel etwa die Form einer Halbkugel hat, ist die Bodenfläche kreisförmig. Der Durchmesser entspricht dem Durchmesser der Kuppel. Dieser kann mithilfe des eingezeichneten Maßstabs abgeschätzt werden.
Die Länge, die für $3,60\,\text{m}$ angegeben ist, passt ca. $11$-mal in die Breite der Kuppel. Der Durchmesser der Kuppel beträgt also ca.:
$11\cdot 3,60\,\text{m} = 39,6\,\text{m}$
Der Radius der Bodenfläche ist also ca. $r = 39,6\,\text{m}: 2 = 19,8\,\text{m}$
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \pi \cdot (19,8\,\text{m})^2 \\[5pt] &\approx& \pi \cdot (19,8\,\text{m})^2 \\[5pt] &\approx& 1231,63\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 1231,63\,\text{m}^2 $
Die Bodenfläche ist ca. $1231,63\,\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Oberfläche der Kuppel berechnen
Mit dem oben bestimmten Radius $r = 19,8\,\text{m}$ und der Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel kannst du die Oberfläche der gesamten Kugel berechnen. Da die Kuppel aber nur eine Halbkugel ist, musst du dies noch durch zwei teilen:
$\begin{array}[t]{rll} O_K&=& \frac{1}{2}\cdot4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot r^2\\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot (19,8\,\text{m})^2\\[5pt] &\approx& 2463,26 \,\text{m}^2 \end{array}$
$ O_K \approx 2463,26 \,\text{m}^2 $
Die Oberfläche der Kuppel ist ca. $2463,26 \,\text{m}^2.$
b)
$\blacktriangleright$  Restschuld berechnen
Laura hat von den $1840\,€$ für den Computer bereits $280\,€$ gespart.
Im ersten Monat hat Laura noch eine Restschuld von $1840\,€-280\,€ = 1560\,€.$ Sie zahlt $4,6\,\%$ Zinsen pro Jahr. Im ersten Monat zahlt sie also folgenden Betrag an Zinsen:
$\begin{array}[t]{rll} 1560\,€ \cdot \dfrac{4,6\,\%}{12}&=& 1560\,€ \cdot \dfrac{0,046}{12} \\[5pt] &\approx&5,98\,€ \end{array}$
$ … \approx 5,98\,€ $
Von den $90\,€,$ die sie im Monat zahlt, werden $90\,€-5,98\,€ = 84,02\,€$ von der Restschuld getilgt. Nach einem Monat ist also noch eine Restschuld von $1560\,€ -84,02\,€ = 1475,98\,€$ übrig.
So kannst du für die weiteren vier Monate vorgehen und die Werte in eine Tabelle eintragen:
MonatRestschuld zu BeginnZinsenTilgungRestschuld am Ende
$1$$1560\,€$$5,98\,€$$84,02\,€$$ 1475,98\,€$
$2$$ 1475,98\,€$$5,66\,€$$84,34\,€$$1391,64\,€$
$3$$1391,64\,€$$5,33\,€$$84,67\,€$$1306,97\,€$
$4$$1306,97\,€$$5,01\,€$$84,99\,€$$1221,98\,€$
$5$$1221,98\,€$$4,68\,€$$85,32\,€$$1136,66\,€$
Nach fünf Monaten beträgt die Restschuld noch $1136,66\,€.$
$\blacktriangleright$  Zinsen berechnen
Addiere alle Werte für die Zinsen aus der obigen Tabelle:
$5,98\,€ +5,66\,€ + 5,33\,€ + 5,01\,€ + 4,68\,€ = 26,66\,€$
$ … = 26,66\,€ $
Nach dem fünften Monat hat Laura bereits $26,66\,€$ Zinsen gezahlt.
$\blacktriangleright$  Verlauf der Restschuld darstellen
Eine Möglichkeit ist beispielsweise ein Balkendiagramm:
Abb. 1: Balkendiagramm
Abb. 1: Balkendiagramm
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
Die mittlere Parabel entspricht einer Normalparabel, die an der $x$-Achse gespiegelt wurde und hat daher die Funktionsgleichung $y_3 = -x^2.$
Die übrigen Parabeln entstehen durch Strecken oder Stauchen der gespiegelten Normalparabel. Dies geschieht durch einen Faktor $a:\quad$ $ y = -a\cdot x^2.$ Die Lösungen sind:
  • $y_1 = -0,25x^2$
  • $y_2 = -0,5x^2$
  • $y_3= -x^2$
  • $y_4= -2x^2$
  • $y_5 = -4x^2$
Hinweis: Du musst nicht alle Gleichungen angeben! Es genügen zwei.
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
1. Schritt: Geradengleichung bestimmen
Anhand der Kästchen kannst du erkennen, dass die Gerade die Steigung $m=-1$ ist. Sie schneidet die $y$-Achse bei $y= 5$ und hat daher den $y$-Achsenabschnitt $b=5.$ Die Geradengleichung ist also:
$g: y = -x+5$
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich und forme die Gleichung soweit um, bis du die $pq$-Formel verwenden kannst.
$\begin{array}[t]{rll} (x-2)^2+1 &=& -x + 5 \\[5pt] x^2-2\cdot 2\cdot x +1 &=& -x +5 \\[5pt] x^2-4x + 1&=& -x+5 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] x^2-3x +1&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] x^2-3x-4 &=&0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2 -(-4)} \\[5pt] &=& \frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+4} \\[5pt] &=& \frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\[5pt] &=& \frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\[5pt] x_1 &=& \frac{3}{2}-\frac{5}{2}\\[5pt] &=& \frac{-2}{2}\\[5pt] &=& -1\\[5pt] x_2 &=& \frac{3}{2}+\frac{5}{2}\\[5pt] &=& \frac{8}{2}\\[5pt] &=& 4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -1\\[5pt] x_2 &=& 4\\[5pt] \end{array}$
Die beiden Schnittpunkte befinden sich also an den Stellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 4.$ Einsetzen in die Geradengleichung liefert die zugehörigen $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& - (-1) +5\\[5pt] &=&1+5 \\[5pt] &=& 6\\[10pt] y_2&=& -4 +5 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Die Schnittpunkte der Gerade mit der Parabel sind $S_1(-1\mid 6)$ und $S_2(4\mid 1).$
#gleichungssystem#diagramm#kugel#pq-formel#kreis

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Kombinationsmöglichkeiten angeben
Es gibt folgende Kombinationsmöglichkeiten:
  • $7,8$
  • $7,9$
  • $7,10$
  • $8,8$
  • $8,9$
  • $8,10$
  • $9,9$
  • $9,10$
  • $10,10$
Es gibt also $9$ verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Verwende die Pfadadditions- und die Pfadmultiplikationsregel. Unter Beachtung der Reihenfolge führen folgende Pfade auf das Ergebnis $17:$
  • $7,10$
  • $10,7$
  • $8,9$
  • $9,8$
Für die Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(17)&=& P(7,10) +P(10,7)+P(8,9)+P(9,8) \\[5pt] &=&\frac{1}{7}\cdot \frac{2}{6} +\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6} + \frac{2}{7}\cdot \frac{2}{6} +\frac{2}{7}\cdot \frac{2}{6} \\[5pt] &=& \frac{2}{7} \\[5pt] \end{array}$
$ P(17)=\frac{2}{7} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{7}$ ist die Summe der zwei Karten genau $17.$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Keime nach fünf Stunden berechnen
Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Da sich die Anzahl der Keime pro Stunde verdoppelt und es zu Beginn $500$ sind, kann die Anzahl der Keime nach $t$ Stunden wie folgt berechnet werden:
$A(t)= 500 \cdot 2^t$
Die Anzahl nach fünf Stunden ist also:
$\begin{array}[t]{rll} A(5) &=& 500\cdot 2^5\\[5pt] &=& 16\,000 \end{array}$
$ A(5)=16\,000 $
Nach fünf Stunden enthält ein ungekühlter Liter Milch bereits $16\,000$ Keime.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate bestimmen
Wie oben handelt es sich bei der gekühlten Milch ebenfalls um einen exponentiellen Wachstumsprozess. Du kennst den Anfangswert der Keime mit $A_2(0)=500$ und weißt aus der Aufgabe, dass $A_2(5)= 1\,000$ ist. Gesucht ist diesmal die Wachstumsrate $p.$ Mit der Formel für das exponentielle Wachstum ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} A_2(t)&=& A_2(0) \cdot (1+p\,\%)^t \\[5pt] A_2(5)&=& A_2(0)\cdot (1+p\,\%)^5 \\[5pt] 1\,000&=& 500\cdot (1+p\,\%)^5&\quad \scriptsize \mid\;:500 \\[5pt] 2&=& (1+p\,\%)^5 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,} \\[5pt] 1,149 &\approx& 1+p\,\%&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 0,149&\approx& p\,\% \\[5pt] 14,9\,\%&\approx& p\,\% \end{array}$
$ 14,9\,\%\approx p\,\% $
Die Wachstumsrate der Keime beträgt bei gekühlter Milch ca. $14,9\,\%.$
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungen aufstellen
Der Abbildung kann man entnehmen, dass die ursprünglichen Seitenlängen $x$ und $y$ einen Flächeninhalt von $360\,\text{cm}^2$ ergeben:
$\text{I}\quad 360= x\cdot y$
Dem Aufgabentext kann man entnehmen: Der Umfang des neuen Rechtecks mit den Seitenlängen $a = x+5\,\text{cm}$ und $b= y+3\,\text{cm}$ beträgt $92\,\text{cm}:$
$\text{II}\quad 92 = 2\cdot (x+5) +2\cdot (y+3)$
$\blacktriangleright$  Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks berechnen
Um die Seitenlängen $x$ und $y$ zu berechnen, kannst du das Gleichungssystem lösen, das aus den obigen beiden Gleichungen besteht. Forme dazu zunächst die zweite Gleichung nach $x$ um:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 92&=& 2\cdot (x+5) +2\cdot (y+3) \\[5pt] 92&=& 2x+10 +2y+6 \\[5pt] 92&=& 2x+2y + 16 &\quad \scriptsize \mid\;-16 \\[5pt] 76&=& 2x+2y &\quad \scriptsize \mid\;-2y \\[5pt] 76 -2y&=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 38-y&=& x \end{array}$
$ 38-y= x $
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 360&=&x\cdot y \\[5pt] 360&=&(38-y)\cdot y \\[5pt] 360&=& 38y-y^2 &\quad \scriptsize \mid\; +y^2 \\[5pt] y^2+360\,\text{cm}^2&=&38y &\quad \scriptsize \mid\; -38y\\[5pt] y^2-38y+360&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] y_{1/2}&=& -\frac{-38}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{38}{2}\right)^2 -360} \\[5pt] &=& 19\pm \sqrt{19^2-360}\\[5pt] &=&19\pm \sqrt{361-360} \\[5pt] &=&19\pm 1\\[5pt] y_1&=& 19-1 \\[5pt] &=& 18\\[5pt] y_2&=& 19+1 \\[5pt] &=& 20 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& 20 \\[5pt] \end{array}$
Für $x$ ergibt sich durch Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 38-y_1 \\[5pt] &=& 38 - 18 \\[5pt] &=& 20 \\[10pt] x_2&=& 38-20 \\[5pt] &=& 18 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&20 \\[10pt] x_2&=& 18 \\[5pt] \end{array}$
$x$ ist die lange Seite des Rechtecks und muss daher länger als $y$ sein. Das ursprüngliche Rechteck ist $x= 20\,\text{cm}$ lang und $y= 18\,\text{cm}$ breit.
#pfadregeln#exponentielleswachstum

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm vervollständigen
Beachte, dass die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden. Im zweiten Schritt ist daher eine Kugel weniger in dem Behälter.
Abb. 2: Baumdiagramm
Abb. 2: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Das Ereignis, dass die erste gezogene Zahl größer als die zweite ist, tritt in folgenden Fällen ein:
  • Erst wird eine $2$ gezogen, dann eine $1.$
  • Erst wird eine $3$ gezogen, dann eine $2$ oder eine $1.$
Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} &P(2,1) +P(3,2) +P(3,1) \\[5pt] =& \frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11} + \frac{4}{12}\cdot \frac{5}{11}+\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}\\[5pt] =& \frac{47}{132} \\[5pt] \approx& 0,356 \\[5pt] =& 35,6\,\% \end{array}$
$ …\approx 35,6\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $35,6\,\%$ ist die erste gezogene Zahl größer als die zweite.
b)
$\blacktriangleright$  Restwerte bestimmen
Beim Kauf ist das Auto noch $W_0= 14\, 799\,€$ Wert. Im ersten Jahr verliert es $8,75\,\%$ seines Werts. Der Wert nach dem ersten Jahr ist also:
$\begin{array}[t]{rll} W_1&=& W_0 \cdot (1- 8,75\,\%) \\[5pt] &=& 14\, 799\,€\cdot (1- 0,0875) \\[5pt] &\approx& 13\,504,09\,€ \end{array}$
$ W_1 \approx 13\,504,09\,€ $
In den darauffolgenden Jahren verliert es $7,1\,\%$ seines Werts:
$\begin{array}[t]{rll} W_2&=& W_1 \cdot (1- 7,1\,\%) \\[5pt] &=& 13\,504,09\,€\,€\cdot (1- 0,071) \\[5pt] &\approx& 12\,545,30\,€ \\[10pt] W_3&=& W_2 \cdot (1- 7,1\,\%) \\[5pt] &=& 12\,545,30\,€\cdot (1- 0,071) \\[5pt] &\approx& 11\,654,58\,€ \\[10pt] W_4&=& W_3 \cdot (1- 7,1\,\%) \\[5pt] &=& 11\,654,58\,€\cdot (1- 0,071) \\[5pt] &\approx& 10\,827,10\,€ \\[10pt] W_5&=& W_4 \cdot (1- 7,1\,\%) \\[5pt] &=& 10\,827,10\,€\,€\cdot (1- 0,071) \\[5pt] &\approx& 10\,058,38\,€ \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} W_2&\approx& 12\,545,30\,€ \\[10pt] W_3&\approx& 11\,654,58\,€ \\[10pt] W_4&\approx& 10\,827,10\,€ \\[10pt] W_5&\approx& 10\,058,38\,€ \\[10pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Restwerte in Diagramm darstellen
Eine Möglichkeit ist die Darstellung als Balkendiagramm.
Abb. 3: Balkendiagramm
Abb. 3: Balkendiagramm
c)
$\blacktriangleright$  Fläche des Dreiecks berechnen
Abb. 4: Skizze
Abb. 4: Skizze
2. Schritt: Seitenlänge $\boldsymbol{a}$ berechnen
Die Höhe $h_c$ teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Mithilfe des rechten Dreiecks und des Sinus kannst du die Seitenlänge $a$ berechnen. Du kennst die Größe des Winkels $\beta = 59^{\circ}$ und die Länge der Gegenkathete $h_c= 5,2\,\text{cm}.$ Berechne die Hypotenuse $a:$
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta&=& \dfrac{h_c}{a} \\[5pt] \sin 59^{\circ}&=& \dfrac{5,2\,\text{cm}}{a}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a\cdot \sin 59^{\circ}&=& 5,2\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; :\sin 59^{\circ}\\[5pt] a&=& \dfrac{5,2\,\text{cm}}{\sin 59^{\circ}} \\[5pt] a&\approx& 6,1\,\text{cm} \end{array}$
$ a \approx 6,1\,\text{cm}$
3. Schritt: Länge der Grundseite $\boldsymbol{c}$ berechnen
Mit dem Sinussatz kannst du nun die Länge der Grundseite $c$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{\sin \alpha}&=& \dfrac{c}{\sin \gamma} \\[5pt] \dfrac{6,1\,\text{cm}}{\sin 50^{\circ}}&=& \dfrac{c}{\sin 71^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 71^{\circ} \\[5pt] \dfrac{6,1\,\text{cm}}{\sin 50^{\circ}}\cdot \sin 71^{\circ}&=& c \\[5pt] 7,5\,\text{cm}&\approx& c \end{array}$
$ 7,5\,\text{cm}\approx c$
4. Schritt: Fläche berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich mit $c$ als Grundseite:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 7,5\,\text{cm} \cdot 5,2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 19,5\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A =19,5\,\text{cm}^2 $
Die Fläche des Dreiecks beträgt ca. $19,5\,\text{cm}^2.$
$\blacktriangleright$  Umfang des neuen Dreiecks berechnen
Abb. 5: Skizze
Abb. 5: Skizze
#sinussatz#sinus

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Prozentwerte berechnen
Insgesamt wurden $550$ Personen befragt, von denen $127$ angegeben haben, dass sie zwischen $1501\,\text{km}$ und $2500\,\text{km}$ pro Jahr fahren:
$\frac{127}{550} \approx 0,2309 = 23,09\,\%$
$23,09\,\%$ der befragten Radfahrer fahren zwischen $1501\,\text{km}$ und $2500\,\text{km}$ pro Jahr.
Du weißt, dass alle Prozentwerte zusammen $100\,\%$ ergeben müssen:
$x\,\% = 100\,\% -30,00\,\% -8,80\,\% -10,50\,\% -23,09\,\% = 27,61\,\%$
$ x\,\% = 27,61\,\%$
$ 27,61\,\%$ der befragten Radfahrer fahren zwischen $501\,\text{km}$ und $1500\,\text{km}$ pro Jahr.
$\blacktriangleright$  Aussagen nennen und begründen
$8,80\,\% + 27,61\,\% +23,09\,\% = 59,50\,\%$
$ …= 59,50\,\% $

Die Aussage stimmt also, da alle Prozentwerte, die zu den Befragten mit bis zu $2500\,\text{km}$ pro Jahr gehören, mehr als $50\,\%$ ergibt.
Da die Bereiche so gewählt sind, dass $2000$ keine Grenze ist, kann man nicht genau sagen, wie viele der Befragten im Bereich $1501$ bis $2500$ oberhalb von $2000$ oder unterhalb von $2000$ liegen.
Die Aussage kann also anhand des Diagramms nicht eindeutig belegt werden.
$8,80\,\% + 27,61\,\% = 36,41\,\%$ der Radfahrer gaben an, weniger als $1501\,\text{km}$ pro Jahr zu fahren.
$550\cdot \frac{36,41\,\%}{100\,\%} = 200,255$
Die Aussage stimmt also.
Wenn genau einer von $100$ Befragten über $5000\,\text{km}$ pro Jahr fahren würde, wäre das $1\,\%.$ Das Diagramm gibt aber einen Wert von $10,50\,\%$ an.
Diese Aussage kann also nicht stimmen.
Das Diagramm sagt nichts über das Alter der Radfahrer aus. Diese Aussage kann also anhand des Diagramms nicht belegt werden.
b)
$\blacktriangleright$  Flugstrecke berechnen
Zwei der Teilstrecken sind bereits bekannt. Mit dem Kosinussatz kannst du nun noch die Länge der Strecke $c$ zwischen Linderhof und Herrenchiemsee berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (128,13\,\text{km})^2 +(15,54\,\text{km})^2 -2\cdot 15,54\,\text{km}\cdot 128,13\,\text{km} \cdot \cos 12,4^{\circ} \\[5pt] c^2&=& 12\,769,40563\,\text{km}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] c&\approx& 113,00\,\text{km} \\[5pt] \end{array}$
$ c\approx 113,00\,\text{km} $
Die gesamte Flugstrecke beträgt also:
$128,13\,\text{km} +15,54\,\text{km} +113,00\,\text{km}= 256,67\,\text{km} $
$ …= 256,67\,\text{km} $
$\blacktriangleright$  Winkelverhältnis überprüfen
Mithilfe des Sinussatzes kannst du den Winkel $\beta$ bei Herrenchiemsee berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{15,54\,\text{km}}{\sin \beta}&=& \dfrac{113,00\,\text{km}}{\sin 12,4^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin \beta \\[5pt] 15,54\,\text{km} &=& \dfrac{113,00\,\text{km}}{\sin 12,4^{\circ}}\cdot \sin \beta &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{113,00\,\text{km}}{\sin 12,4^{\circ}} \\[5pt] 15,54\,\text{km}:\dfrac{113,00\,\text{km}}{\sin 12,4^{\circ}}&=&\sin \beta \\[5pt] 0,029531&\approx&\sin \beta&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] 1,7^{\circ}&\approx& \beta \end{array}$
$ 1,7^{\circ}\approx \beta $
Beide Winkel zusammen ergeben $1,7^{\circ}+ 12,4^{\circ}= 14,1^{\circ}.$
Mit der Winkelsumme ergibt sich für $\alpha:$
$\alpha = 180^{\circ} - 1,7^{\circ} - 12,4^{\circ} = 165,9^{\circ}$
$ \alpha = 165,9^{\circ} $
Ohne weitere Rechnung lässt sich nun erkennen, dass der Winkel bei Schloss Linderhof deutlich mehr als doppelt so groß ist wie die anderen beiden Winkel zusammen.
c)
$\blacktriangleright$  Massen der Planeten vergleichen
1. Schritt: Volumen der Erde berechnen
Mit dem Radius und der Formel für das Volumen einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Erde}}&=& \frac{4}{3}\pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\pi \cdot (6370\,\text{km})^3 \\[5pt] &\approx& 1,083\cdot 10^{12}\,\text{km}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Erde}}\approx 1,083\cdot 10^{12}\,\text{km}^3 $
2. Schritt: Masse der Erde berechnen
Mithilfe der Formel für die Masse und der Dichteangabe ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} m_{\text{Erde}}&=& 1,083\cdot 10^{12}\,\text{km}^3 \cdot 5,515\cdot 10^{12} \dfrac{\text{kg}}{\text{km}^3} \\[5pt] &\approx& 5,973\cdot 10^{24}\,\text{kg} \\[5pt] \end{array}$
$ m_{\text{Erde}}\approx 5,973\cdot 10^{24}\,\text{kg} $
Die Masse des neuen Planeten ist etwa zehnmal so groß wie die der Erde.
$\blacktriangleright$  Radius des neuen Planeten bestimmen
1. Schritt: Oberfläche der Erde berechnen
Mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} O_{Erde}&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi \cdot (6370\,\text{km})^2 \\[5pt] &\approx& 5,099\cdot 10^{8} \,\text{km}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ O_{Erde}\approx 5,099\cdot 10^{8} \,\text{km}^2 $
2. Schritt: Oberfläche des neuen Planeten berechnen
Dem Schaubild kannst du entnehmen, dass die Oberfläche der Erde $7,3\,\%$ der Oberfläche des neuen Planeten entspricht. Mit dem Dreisatz erhältst du:
$:7,3$
$\begin{array}{rrcll} &7,3\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&5,099\cdot 10^{8} \,\text{km}^2 \\[5pt] &1\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&7,182\cdot 10^{7}\,\text{km}^2\\[5pt] &100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2& \end{array}$
$:7,3$
$\cdot 100$
$\cdot 100$
$ 100\,\%\mathrel{\widehat{=}}7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2 $
Die Oberfläche des neuen Planeten beträgt ca. $7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2.$
3. Schritt: Radius des neuen Planeten berechnen
Der Radius des neuen Planeten ergibt sich mithilfe der Formel für die Oberfläche einer Kugel:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] 7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\;:(4\cdot \pi) \\[5pt] \dfrac{7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2}{4\cdot \pi}&=& r^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{7,182\cdot 10^{9}\,\text{km}^2}{4\cdot \pi}}&=&r \\[5pt] 23\,907\,\text{km} &\approx& r \\[5pt] \end{array}$
$ r \approx 23\,907\,\text{km} $
Der Radius des neuen Planeten beträgt ca. $23\,907\,\text{km}.$
#sinussatz#kosinussatz#dreisatz
Bildnachweise [nach oben]
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