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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 1

a)
In einer Kiste befinden sich sechs blaue, vier grüne und eine schwarze Kugel. Es wird zweimal ohne Hinschauen und ohne Zurücklegen gezogen.
  • Erstelle dazu ein Baumdiagramm
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine grüne Kugel zu ziehen?
  • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kuglen zu ziehen?
2 P.
b)
$200$ Millionen Menschen nutzten im April 2013 einen Messaging-Dienst (z.B. WhatsApp, Skype, …).
Die Zahl der Nutzer stieg anschließend um $6~\%$ pro Monat.
  • Wie viele Menschen nutzten nach $24$ Monaten den Messaging-Dienst?
  • Nach wie vielen Monaten hatte der Messaging-Dienst bei gleichem Wachstum erstmals mehr als $300$ Millionen Nutzer?
  • Berechne die jeweilige monatliche Zunahme der Nutzer für die Monate Mai bis Oktober 2013 und stelle diese in einem aussagekräftigen Diagramm dar.
2 P.
c)
Ein Metalllwürfel wird in ein mit Wasser gefülltes zylinderförmiges Gefäß gegeben. Der Wasserspiegel steigt dadurch um $0,5~\text{cm}$ an.
Tipp

Volumen der verdrängten Flüssigkeit
=
Volumen des Würfels
Tipp
Volumen der verdrängten Flüssigkeit
=
Volumen des Würfels
  • Berechne die Kantenlänge des Metallwürfels.
Die Kantenlänge eines Würfels $A$ ist doppelt so lang wie die eines Würfels $B$.
  • Vergleiche das Volumen der beiden Würfel prozentual.
2 P.
#wahrscheinlichkeit#baumdiagramm#volumen#wachstum

Wahlaufgabe 2

a)
2 P
b)
Anzahlung: $2~000,00~€$
monatliche Rate: $100,00~€$
Zins: $3,6~\%$ p.a.
  • Welcher Betrag der Kredites ist nach $6$ Monaten getilgt.
2 P.
c)
Der Bogen der abgebildeten Talbrücke kann durch die Funktionsgleichung $y=-0,05\cdot(x-20)^2+45$ beschrieben werden. $1$ Längeneinheit entsprichr $1~\text{m}$.
Skizze
Abb. 4: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 4: Skizze nicht maßstabsgetreu
  • Berechne den Abstand zwischen Punkt A und B
  • Berechne die Strecke $a$ auf der $y$-Achse.
2 P.
#zinssatz#parabel#volumen#kugel

Wahlaufgabe 3

a)
Im Dachbereich eines Hauses ist ein Zimmer eingebaut.
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 5: Skizze nicht maßstabsgetreu
  • Berechne $\overline{EF}$
Um das Zimmer zu vergrößern soll die Strecke $\overline{EF}$ genau $2,2~\text{m}$ betragen.
  • Berechne nun die maximale Länge der Strecke $\overline{DE}$.
(2 P.)
b)
Im Jahr 2010 wurden für Kaffeemaschinen $6~600~\text{t}$ Kaffee in Kapseln verkauft. 2015 waren es $20~900~\text{t}$ Kaffee.
  • Berechne das durchschnittliche jährliche Wachstum für die Zeit von 2010 bis 2015 in Prozent.
Für die Jahre 2016,2017 und 2018 wird mit einem durchschnittlichen jährlichen Wachstum von $23~\%$ gerechnet.
  • Wie viele Kapseln werden im Jahr 2018 verkauft, wenn jede Kaffeekapsel $7~\text{g}$ Kaffee enthält?
2 P.
c)
Skizze
Abb. 6: Parabel $y_1$
Skizze
Abb. 6: Parabel $y_1$
2 P.
#trigonometrie#schnittpunkt#wachstum#parabel

Wahlaufgabe 4

a)
Im 17. Jahrhundert besiedelten Holländer das Gebiet des heutigen New Yorks. 1626 kauften sie die Insel Manhattan von den Indianern. Sie bezahlten mit Waren im Wert von $24$ Dollar.
  • Bestimme den Wert der Insel im Jahr 2018 bei einer angenommenen jährlichen Wertsteigerung von $5~\%$.
Die folgende Tabelle zeigt die EInwohnerzahlen von New York City.
Jahr$1800 $$1850 $$ 1900$$1950 $$2000 $
Einwohner$60~515 $$515~547 $$3~437~202 $$7~891~957 $$8~008~278 $
JahrEinwohner
$1800 $$60~515 $
$1850 $$515~547 $
$1900 $$3~437~202 $
$1950 $$7~891~957 $
$2000 $$8~008~278 $
(QUelle: NYC Government)
  • In welchem Zeitabschnitt war die prozentuale Zunahme der Bevölkerung am größten? Berechne den entsprechenden Prozentsatz.
2 P.
b)
Patrick kauft sich einen Spielzeugsafe. Dieser hat $2$ Tasten, die mit $1$, $2$ und $3$ beschriftet sind.
Es können damit $3$-stellige Kombinationen gebildet werden.
  • Wie viele unterschiedlichen Kombinationen gibt es, bei denen eine Zahl genau zweimal vorkommt? Die Zahlenfolge muss beachtet werden.
Der „Innenraum“ des Safes hat ein Volumen von $1~755~\text{cm}^3$.
Eine quatratische Pyramide hat das gleiche Volumen.
BEi dieser Pyramide ist die Seitenlänge $a$ der Grundfläche doppelt so lang wie die Körperhöhe $h$.
  • Berechne die Höhe $h$ der quadratischen Pyramide.
2 P.
c)
Eine Bergbahn fährt von der Talstation über die Mittelstation zur Bergstation.
$\alpha=25^{\circ}$
Skizze
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
Skizze
Abb. 7: Skizze nicht maßstabsgetreu
  • Berechne die Strecknelänge zwischen der Tal- und der Mittelstation
Die Strecke zwischen Mittel- und Bergstation beträgt $2~188\text{m}$.
  • Berechne den Winkel $\beta$.
  • Berechne den Abstand $\overline{AB}$.
2 P.
#pyramide#wachstum#prozentrechnen#trigonometrie
Bildnachweise [nach oben]
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Wahlaufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Insgesamt sind in der Kiste $6+4+1=11$ Kugeln. Nach dem ersten Zug reduziert sich diese Anzahl auf $10$, da ohne Zurücklegen gezogen wird.
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit „schwarz-grün“ berechnen
Mithilfe der Pfadmultiplikationsregel erhältst du für die Wahrscheinlichkeit:
$P(\text{schwarz; grün})=\dfrac{1}{11}\cdot \dfrac{4}{10}=\dfrac{4}{110}=\dfrac{2}{55}\approx 0,0363 =3,63~\%$
$P(\text{schwarz; grün})\approx 3,63~\%$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit „gleichfarbig“ berechnen
Da sich in der Kiste nur eine schwarze Kugel befindet, können keine zwei schwarze Kugeln gezogen werden.
Berechne zuerst die Wahrschienlichkeit für zwei blaue und für zwei grüne Kugeln mithilfe der Pfadmultiplikationsregel:
$P(2 \times \text{grün})=\dfrac{4}{11}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{12}{110}\\ P(2\times \text{blau})=\dfrac{6}{11}\cdot \dfrac{5}{10}=\dfrac{30}{110}$
Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugel erhältst du mit der Pfadadditionsregel, indem du die beiden Ergebnisse addierst:
$P(2 \text{ gleichfarbige Kugeln})=\dfrac{12}{110}+\dfrac{30}{110}=\dfrac{42}{110}\approx 0,3818=38,18~\%$
$ P(2 \text{ gleiche})\approx 38,18~\% $
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nutzer berechnen
Benutze die Wachstumsformel:
$N_n=N_0\cdot (1+p)^n$
Wobei der Wachstumsfaktor $p=6~\%=0,06$, der Anfangsbestand $N_0=200~\text{Millionen}$ und $n=24$ ist. Damit ergibt sich:
$N_{24}=200~\text{Mio}\cdot 1,06^{24}=809,79~\text{Mio}$
$ N_{24}=809,79~\text{Mio} $
Nach $24$ Monaten nutzen also etwa $809,79$ Millionen den Messaging-Dienst.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Monate bestimmen
Berechne die Nutzerzahl mit der gleichen Formel für die Monate $n=1, 2,3,…$, bis du $300$ Millionen erreichst:
Monat$n$Nutzer $N_n$ in Mio
April$0$$200$
Mai$1$$212$
Juni$2$$\approx 224,7$
Juli$3$$\approx238,2$
August$4$$\approx252,4$
September$5$$\approx267,6$
Oktober$6$$\approx283,7$
November$7$$\approx300,7$
Nach $7$ Monaten hatte der Messaging-Dienst erstmals mehr als $300$ Millionen Nutzer.
$\blacktriangleright$  Monatliche Zunahme Berechnen
Die Zunahme der Nutzer ist die Differenz zum Vormonat. Berechne zunächst diese Diffenzen:
MonatRechnungNutzerzunahme in Mio
Mai$212-200$$12$
Juni$224,7-212$$12,7$
Juli$238,2-224,7$$13,5$
August$252,4-238,2$$14,3$
September$267,6-252,4$$15,1$
Oktober$183,7-267,6$$16,1$
MonatNutzerzunahme in Mio
Mai$12$
Juni$12,7$
Juli$13,5$
August$14,3$
September$15,1$
Oktober$16,1$
Trage zu Schluss diese Werte in ein Balkendiagramm ein:
Diagramm
Abb. 2: Balkendiagramm
Diagramm
Abb. 2: Balkendiagramm
c)
$\blacktriangleright$  Kantenlänge berechnen
Das Volumen des Würfels entspricht dem verdrängten Wasser. Berechne daher zuerst das Volumen, um welches das Wasser angestiegen ist. Dieses hat die Form eines Zylinders mit Durchmesser $d=6~\text{cm}$ und Höhe $h=0,5~\text{cm}$:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2\cdot h \\[5pt] &=&\pi \cdot \left(\dfrac{6~\text{cm}}{2}\right)^2 \cdot 0,5~\text{cm} \\[5pt] &\approx&14,14~\text{cm}^3 \end{array}$
Setze dieses Volumen in die Formel für das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge $a$ ein und löse nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&a^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 14,14~\text{cm}^3&=& a^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\color{#ffffff}{x}}\\[5pt] 2,42~\text{cm}&\approx&a \end{array}$
Der Würfel hat eine Kantenlänge von etwa $2,4~\text{cm}$.
$\blacktriangleright$  Volumen vergleichen
Nehme an, dass der Würfel $A$ die Kantenlänge $a$ und der Würfel $B$ die Kantenlänge $b$ besitzt. Aus der Aufgabe kannst du $a=2\cdot b$ entnehmen, da die Kantenlänge des Würfels $A$ doppelt so groß, wie die des Würfels $B$ ist.
Für das Volumen des Würfel $A$ erhältst du:
$V_A=a^3=(2\cdot b)^3=8\cdot b^3$
Für den Würfel $B$ gilt:
$V_B=b^3$
Das Volumen von Würfel $A$ ist also $8$ mal so groß wie das Volumen von Würfel $B$. Es beträgt $800~\%$ des Volumens von $B$.
#zylinder#pfadregeln#würfel#diagramm

Wahlaufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Volumen und Oberfläche ermitteln
Mit deinem Geodreieck oder Lineal kannst du die Größe des Menschen ausmessen. Dafür solltest du in etwa $1,5~\text{cm}$ erhalten. Messe jetzt noch den Durchmesser der Halbkugel aus, wofür du ungefähr $6,6~\text{cm}$ erhältst. Mit der Angabe über die tatsächliche Größe des Menschen kannst du mithilfe eines Dreisatzes den tatsächlichen Durchmessers berechnen:
$:1,5$
$\begin{array}{rrcll} &1,5~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}&1,45~\text{m}\\[5pt] &1~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&0,93~\text{m}\\[5pt] &6,6~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&6,14~\text{m}& \end{array}$
$:1,5$
$\cdot 6,6$
$\cdot 6,6$
$ \begin{array}{rrcll} &1,5~\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}&1,45~\text{m}\\[5pt] &6,6~\text{cm}&\mathrel{\widehat{\approx}}&6,14~\text{m}& \end{array}$
Der Durchmesser ist in Wirklichkeit also ca. $6,14~\text{m}$. Für den Radius gilt damit:
$r=\dfrac{6,14~\text{m}}{2}=3,07~\text{m}$
Benutze die Formeln für die Oberfläche und das Volumen einer Kugel. Damit gilt für das Volumen der Halbkugel:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\frac{1}{2} \cdot V_{Kugel} \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot (3,07~\text{m})^3 \\[5pt] &\approx&60,6~\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
Und für die Oberfläche:
$\begin{array}[t]{rll} O&=&\dfrac{1}{2}\cdot O_{Kugel} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot \pi \cdot (3,07~\text{m})^2 \\[5pt] &\approx&59,22~\text{m}^2 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt eines Fünfecks bestimmen
Skizze
Abb. 3: Skizze des Fünfecks
Skizze
Abb. 3: Skizze des Fünfecks
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Julian fehlen noch $6~500~€-2~000~€=4~500~€$ um sich den Gebrauchtwagen kaufen zu können. Der Kredit beträgt zu Beginn also $4~500~€$.
Die Monatsrate ist kostant bei $100,00~€$ pro Monat.
Der Zins liegt bei $3,6~\%$ im Jahr, also bei $\dfrac{3,6~\%}{12}=0,3~\%$ im Monat.
Den Betrag der Zinsen die Julian zahlen muss, kannst du wie folgt berechnen:
$\text{Zins}=\text{Kredit Monatsanfang}\cdot 0,003$
$ \text{Zins}=\text{Kredit}_A\cdot 0,003 $
Die Tilgung erhältst du durch:
$\text{Tilgung}=100,00~€-\text{Zins}$
Den Kredit am Monatsende erhältst du mit:
$\text{Kredit Monatsende}=\text{Kredit Monatsanfang}-\text{Tilgung}$
$ \text{Kredit}_E=\text{Kredit}_A-\text{Tilgung} $
Dieser entspricht dem Kredit am Monatsanfang für den darauffolgenden Monat.
Den ersten Monat kannst du dann folgendermaßen berechnen:
MonatKredit in €
Monatsanfang
Rate in €Zins in €Tilgung in €Kredit in €
Monatsende
$1$$4500,00$$100,00$$4500,00 \cdot 0,003\\=13,50$$100-13,50\\=86,50$$45000,00-86,50\\=4413,50$
Benutze dieses Vorgehen für die nächsten $5$ Monate. Als Ergebnis erhältst du dann:
MonatKredit in €
Monatsanfang
Rate in €Zins in €Tilgung in €Kredit in €
Monatsende
$1$$4500,00$$100,00$$13,50$$86,50$$4413,50$
$2$$4413,50$$100,00$$13,24$$86,76$$4326,74$
$3$$4326,74$$100,00$$12,98$$87,02$$4239,72$
$4$$4239,72$$100,00$$12,72$$87,28$$4152,44$
$5$$4152,44$$100,00$$12,46$$87,54$$4064,90$
$6$$4064,90$$100,00$$12,19$$87,81$$3977,09$
$\blacktriangleright$  Tilgung berechnen
Die gesamte Tilgung erhältst du durch Aufsummieren der einzelnen Tilgungsraten:
$\text{Tilgung}=86,50+86,76+87,02+87,28+87,54+87,81=522,91$
$ \text{Tilgung}=522,91 $
Nach $6$ Monaten hat Julian $522,91~€$ getilgt.
c)
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Die beiden Punkte $A$ und $B$ repräsentieren die Nullstellen der Parabel. Forme die Parabelgleichung um und berechne die Nullstellen mithilfe der Lösungsformel:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-0,05\cdot (x-20)^2+45 &\quad \scriptsize \mid\; -45 \\[5pt] 0&=&-0,05\cdot (x^2-40x+400)+45 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&-0,05x^2+2x-20+45 &\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=&-0,05x^2+2x+25 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,05) \\[5pt] 0&=&x^2-40x-500 &\quad \scriptsize \\[10pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{-40}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-40}{2}\right)^2-(-500) }\\[5pt] x_{1,2}&=& 20 \pm \sqrt{400+500 }\\[5pt] x_{1,2}&=& 20 \pm 30\\[5pt] x_{1}&=& 50\\[5pt] x_{2}&=& -10\\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 0&=&x^2-40x-500 \\[10pt] x_{1}&=& 50\\[5pt] x_{2}&=& -10\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $A$ besitzt demnach die Koordinaten $(-10|0)$ und der Punkt $B$ die Koordinaten $(50|0)$. Der Abstand der beiden Punkte ist die Differenz der $x$-Werte:
$50-(-10)=60$
Der Abstand zwischen $A$ und $B$ beträgt also $60~\text{m}$.
$\blacktriangleright$  Strecke $a$ berechnen
Die Strecke $a$ ist der $y$-Abstand des Scheitelpunkts zum Schnittpunkt der Parabel mit der $y$-Achse. Den Scheitelpunkt kannst du anhand der Schietelpunktsform ablesen: $S(20|45)$.
Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse gilt $x=0$, also:
$y=-0,05(0-20)^2+45=45$
Die Koordinaten dieses Punktes sind demnach $(0|25)$.
Für die Strecke $a$ gilt:
$a=45-25=20$

Wahlaufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Strecke $\overline{EF}$ berechnen
Mithilfe des Tangens kannst du im Dreieck $EBF$ die Strecke $\overline{EF}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE} \\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{BE}&=&\overline{EF} \\[5pt] \tan(33^{\circ})\cdot 3,8~\text{m}&=&\overline{EF} \\[5pt] 2,47~\text{m}&\approx& \overline{EF} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BE}} \\[5pt] 2,47~\text{m}&\approx& \overline{EF} \end{array}$
$\blacktriangleright$  Maximale Länge von $\overline{DE}$ berechnen
Skizze
Abb. 4: Skizze
Skizze
Abb. 4: Skizze
b)
$\blacktriangleright$  Jährliches Wachstum berechnen
Setze die gegebenen Werte des Bestandes zu Beginn $W_0=6~600~\text{t}$ und nach $n=5$ Jahren $W_5=20~900~\text{t}$ in die Wachstumsgleichung:
$W_n=W_0\cdot (1+p)^n$
ein und löse nach $p$ auf, um das durchschnittliche jährliche Wachstum zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 20~900~\text{t}&=&6~600~\text{t}\cdot (1+p)^5 &\quad \scriptsize \mid\; :6~600 ~\text{t}\\[5pt] \dfrac{20~900}{6~600}&=&(1+p)^5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[5]{\color{#ffffff}{x}}\\[5pt] \sqrt[5]{\dfrac{20~900}{6~600}}&=&1+p &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] \sqrt[5]{\dfrac{20~900}{6~600}}-1&=&p \\[5pt] 0,259&\approx& p \end{array}$
$ p \approx 0,259 $
Das durchschnittliche jährliche Wachstum beträgt $25,9~\%$.
$\blacktriangleright$  Anzahl an Kapseln berechnen
Berechne zuerst die Kaffemenge in Tonnen, die im Jahr 2018 verkauft wird. Nutze dazu die gleiche Formel mit $W_0=20~900~\text{t}$, $n=3$ und $p=0,23$:
$\begin{array}[t]{rll} W_3&=&20~900~\text{t}\cdot 1,23^3 \\[5pt] &=&38~892,12~\text{t} \end{array}$
Eine Tonne etspricht $1000~\text{kg}$. Also $38~892,12~\text{t}=38~892~120~\text{kg}$. Außerdem gilt $1000~\text{g}\mathrel{\widehat{=}}1~\text{kg}$ und somit $7~\text{g}=0,007~\text{kg}$. Berechne jetzt wie viele Kapseln mit je $7~\text{g}$ produziert wurden:
$\dfrac{38~892~120~\text{kg}}{0,007~\text{kg}}\approx 5~556~017~143~\text{Kapseln}$
$\approx 5~556~017~143~\text{Kapseln}$
Es wurden 2018 also etwa $5,56$ Milliarden Kapseln verkauft.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Lese zunächst den Scheitelpunkt anhand der Scheitelpunktsform ab: $S(1,5|1)$.
Wird dieser an der $x$-Achse gespiegelt erhältst du $S_x(-1,5|1)$. Nach der Spiegelung an der $y$-Achse ist der Scheitelpunkt $S_{xy}(-1,5|-1)$. Stelle jetzt wieder eine Funktionsgleichung mithilfe des neuen Scheitelpunktes auf. Beachte, dass durch die Spiegelung an der $x$-Achse die Parabel jetzt nach unten geöffnet ist:
$y_2=-(x+1,5)-1$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt berechnen
Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich, um deren gemeinsamen Schnittpunkt zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} (x-1,5)^2+1&=&-4x+7 \\[5pt] x^2-3x+2,25+1&=&-4x+7 \\[5pt] x^2-3x+3,25&=&-4x+7 &\quad \scriptsize \mid\; +4x \\[5pt] x^2+x+3,25&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] x^2+x-3,75&=&0 \end{array}$
$ x^2+x-3,75= 0 $
Löse die Gleichung mithilfe der Lösungsformel:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-3,75)} \\[5pt] x_{1,2}&=& -0,5 \pm \sqrt{0,25+3,75} \\[5pt] x_{1,2}&=& -0,5 \pm 2 \\[5pt] x_{1}&=& 1,5 \\[5pt] x_{2}&=& -2,5 \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} x_{1}&=& 1,5 \\[5pt] x_{2}&=& -2,5 \\[5pt] \end{array} $
Berechne die $y$-Werte, indem du die $x$-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&-4x_1+7&=&-4\cdot 1,5+7 &=& 1 \\[5pt] y_1&=&-4x_2+7&=&-4\cdot (-2,5)+7 &=& 17 \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} y_1&=& 1 \\[5pt] y_1&=& 17 \\[5pt] \end{array} $
Für die beiden Schnittpunkte gilt:
$S_1(1,5|1)\qquad $ und $\qquad S_2(-2,5|17)$
$S_1(1,5|1)$ und $S_2(-2,5|17)$

Wahlaufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wert Manhattans berechnen
Benutze die Formel für Wachstum:
$W_n=W_0\cdot (1+p)^n$
Wobei der Anfangsbestand $W_0=24$ Dollar, die Anzahl der Jahre $n=2018-1626=392$ und die Wachstumsrate $p=0,05$ ist. Setze die Werte ein, um den Wert nach $392$ Jahren zu bestimmen:
$W_n=24~\text{Dollar}\cdot 1,05^{392}\approx 4~857~541~024~\text{Dollar}\approx 4,86~\text{Mrd. Dollar}$
$ W_n \approx 4,86~\text{Mrd. Dollar} $
Manhattan ist 2018 demnach etwa $4,86$ Milliarden Dollar wert.
$\blacktriangleright$  Größte prozentuale Zunahme bestimmen
Berechne die prozentuale Zunahme für jeden der $4$ Zeiträume. Benutze dabei die Formel für das Prozentrechnen:
$p~\%=\dfrac{W}{G}\cdot 100~\%$
Wobei $p$ die prozentuale Zunahme, $W$ der Anteil des Ganzen und $G$ das Ganze ist.
  • 1800 bis 1850:
    Mit $G=60~515$ und $W=515~547-60~515=455~032$ gilt:
    $p~\%=\dfrac{455~032}{60~515}\cdot 100~\% \approx 752~\%$
  • 1850 bis 1900:
    Mit $G=515~547$ und $W=3~437~202-515~547=2~921~655$ gilt:
    $p~\%=\dfrac{2~921~655}{515~547}\cdot 100~\% \approx 567~\%$
  • 1900 bis 1950:
    Mit $G=3~437~202$ und $W=7~891~957-3~437~202=4~454~755$ gilt:
    $p~\%=\dfrac{4~454~755}{3~437~202}\cdot 100~\%\approx 130~\%$
  • 1950 bis 2000:
    Mit $G=7~891~957$ und $W=8~008~278-7~891~957=116~321$ gilt:
    $p~\%=\dfrac{116~321}{7~891~957}\cdot 100~\%\approx 1,5~\%$
  • 1800 bis 1850:
    Mit $G=60~515$ und $W=455~032$ gilt:
    $p~\% \approx 752~\%$
  • 1850 bis 1900:
    Mit $G=515~547$ und $W=2~921~655$ gilt:
    $p~\% \approx 567~\%$
  • 1900 bis 1950:
    Mit $G=3~437~202$ und $W=4~454~755$ gilt:
    $p~\% \approx 130~\%$
  • 1950 bis 2000:
    Mit $G=7~891~957$ und $W=116~321$ gilt:
    $p~\% \approx 1,5~\%$
Die prozentuale Zunahme war von 1800 bis 1850 am größten mit etwa $752~\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Kombinationen bestimmen
Überlege dir welche Kombinationen möglich sind:
$1$ doppelt$2$ doppelt$3$ doppelt
112221331
121212313
211122133
113223332
131232323
311322233
Es gibt demnach $18$ mögliche Kombinationen
$\blacktriangleright$  Höhe der Pyramide berechnen
Für das Volumen einer Pyramide gilt:
$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Die Grundfläche ist in diesem Fall ein Quadrat mit Seitenlänge $a$. Somit gilt für die Grundfläche:
$G=a^2$
Außerdem kannst du aus dem Aufgabenstellung entnehmen, dass die Seitenlänge $a$ doppelt so groß wie die Höhe $h$ ist, also $a=2h$.
Setze nun alle Informationen in die formel für das Volumen und löse nach $h$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; a=2h\\[5pt] V&=&\dfrac{1}{3} \cdot (2h)^2 \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\dfrac{4}{3} \cdot h^3 &\quad \scriptsize \mid~V=1~755~\text{cm}^3 \\[5pt] 1~755~\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3} \cdot h^3 &\quad \scriptsize \mid~:\dfrac{4}{3} \\[5pt] 1316,25~\text{cm}^3&=&h^3 &\quad \scriptsize \mid~\sqrt[3]{\color{#ffffff}{x}} \\[5pt] 10,96\text{cm}&=&h \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \\[5pt] h&=& 10,96\text{cm} \end{array} $
Die Höhe der Pyramide ist ca. $11~\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
Skizze
Abb. 5: Skizze
Skizze
Abb. 5: Skizze
$\blacktriangleright$  $\beta$ berechnen
Der Höhenunterschied $h_{MB}$ zwischen Mittel- und Bergstation beträgt $2~663-2~219=444$ Meter. Mit der Angabe der Strecke zwischen Mittel- und Bergstation $\overline{MB}=2~188~\text{m}$ kannst du mithilfe des Sinus den Winkel $\beta$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{h_{MB}}{\overline{MB}} \\[5pt] \sin(\beta)&=&\dfrac{444~\text{m}}{2~188~\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{444~\text{m}}{2~188~\text{m}}\right) \\[5pt] &=&11,71^{\circ} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{h_{MB}}{\overline{MB}} \\[5pt] \beta&=&11,71^{\circ} \end{array} $
$\blacktriangleright$  Abstand $\overline{AB}$ berechnen
Teile den Berg wieder in die beiden Dreiecke auf, sodass du $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ berechnen kannst. Du kannst sowohl den satz des Pythagoras als auch den Tangens oder den Kosinus verwenden. Mit dem Kosinus erhältst du für die Strecke $\overline{AC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{TM}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{TM} \\[5pt] \cos(\alpha) \cdot \overline{TM}&=&\overline{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(25^{\circ}) \cdot 1~566~\text{m}&=&\overline{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] 1~419~\text{m}&\approx& \overline{AC} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{TM}} \\[5pt] 1~419~\text{m}&\approx& \overline{AC} \end{array} $
Sowie für die Strecke $\overline{BC}$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{MB}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{MB} \\[5pt] \cos(\beta) \cdot \overline{MB}&=&\overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(11,7^{\circ}) \cdot 2~188~\text{m}&=&\overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt] 2~142,2~\text{m}&\approx& \overline{BC} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{MB}} \\[5pt] 2~142,2~\text{m}&\approx& \overline{BC} \end{array} $
Für die Strecke $\overline{AB}$ gilt damit:
$\overline{AB}=1~419~\text{m}+2~142,2~\text{m}=3~561,2~\text{m}$
$ \overline{AB}=3~561,2~\text{m}$
#kombinatorik#kosinus#wachstum
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