Grundkenntnisse

Löse die Gleichung.

$3x^2+6=12x$

(1 Pkt.)

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&4y&=& 8x-22\\ \text{(II)}\quad&6,5&=&y-0,5x \end{array}$

(1 Pkt.)

Berechne die Höhe $h.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Ein Basketball für den Profibereich hat ein Volumen von $7~238,23~\text{cm}^3$ .
Berechne den Durchmesser des Balls. Betrachte den Ball als Kugel.

(1 Pkt.)

Berechne die Strecke $\overline{AC}$ .

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

$\overline{AB}=1,20~\text{m}$
$\overline{AD}=0,80~\text{m}$
$\overline{CE}=0,96~\text{m}$
$\overline{AD}\mid\mid\overline{CE}$

(1 Pkt.)

Ein Vollgummiball wird in einer Höhe von $1,2\,\text{m}$ fallen gelassen. Nach jedem Aufprall verringert sich die Sprunghöhe um $15\,\%$ .

Berechne die Sprunghöhe des Balls nach dem zwölften Aufprall.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Die Parabel $y=(x-1)^2-3$ wird um $\boldsymbol{5}$ Längeneinheiten nach links verschoben.

Bestimme die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel.

(1 Pkt.)

Gib an, welches der Angebote A bis D im Diagramm dargestellt ist.

A: $110\,€$
B: $1,05\,€/\text{kWh}$
C: $110\,€+0,085\,€/\text{kWh}$
D: $110\,€+0,57\,€/\text{kWh}$

(1 Pkt.)

In einem Beutel befinden sich sechsunddreißig $1$ -Euro-Münzen. $17$ Münzen haben die deutsche Prägung, $13$ die französische Prägung, die restlichen die spanische Prägung.

Zwei Münzen werden nacheinander ohne Hinschauen und ohne Zurücklegen gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Münze mit deutscher Prägung gezogen wird.

(1 Pkt.)

10.

Der Landtag von Baden-Württemberg setzt sich aus $143$ Abgeordneten zusammen, davon sind $47$ Abgeordnete von den GRÜNEN, $42$ von der CDU, $21$ von der AfD, $19$ von der SPD, $12$ von der FDP/DVP und $2$ Abgeordnete sind fraktionslos.
(Stand 01.01.2017)

Wähle das zutreffende Diagramm aus und begründe deine Entscheidung.

(1 Pkt.)

$\begin{array}[t]{rll} 3x^2+6&=& 12x\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-12x \\[5pt] 3x^2-12x+6&=& 0\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x^2-4x+2&=& 0&\\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-2}&\\[5pt] x_{1/2}&=& 2\pm\sqrt{2}&\\[5pt] x_{1}&=& 2+\sqrt{2}\approx\boldsymbol{3,4}&\\[5pt] x_{2}&=& 2-\sqrt{2}\approx\boldsymbol{0,6} \end{array}$

Lösung über das Einsetzungsverfahren

Gleichung $\text{(I)}$ nach $y$ auflösen

$\(\begin{array}[t]{rll} \text{(I)}\quad&4y&=& 8x-22 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \text{(I$

Gleichung $\(\text{(I$ in Gleichung $\text{(II)}$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 6,5&=&y-0,5x \\[5pt] 6,5&=&(2x-5,5)-0,5x \\[5pt] 6,5&=&1,5x-5,5 &\quad \scriptsize \mid\;+5,5 \\[5pt] 12&=&1,5x&\quad \scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt] \boldsymbol{x}&=& \boldsymbol{8} \end{array}$

$x=8$ in Gleichung $\(\text{(I$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x-5,5 \\[5pt] y&=& 2\cdot 8-5,5 \\[5pt] \boldsymbol{y}&=& \boldsymbol{10,5} \end{array}$

Lösung über das Gleichsetzungsverfahren

Gleichung $\text{(I)}$ nach $y$ auflösen

$\(\begin{array}[t]{rll} \text{(I)}\quad&4y&=& 8x-22 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \text{(I$

Gleichung $\text{(II)}$ nach $y$ auflösen

$\(\begin{array}[t]{rll} \text{(II)}\quad&6,5&=&y-0,5x &\quad \scriptsize \mid\;+0,5x \\[5pt] \text{(II$

Gleichung $\(\text{(I$ und $\(\text{(II$ gleichsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 2x-5,5 &=& 6,5+0,5x&\quad \scriptsize \mid\;+5,5 \\[5pt] 2x &=& 12+0,5x&\quad \scriptsize \mid\;-0,5x \\[5pt] 1,5x &=& 12&\quad \scriptsize \mid\;:1,5\\[5pt] \boldsymbol{x}&=& \boldsymbol{8} \end{array}$

$x=8$ in Gleichung $\(\text{(I$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x-5,5 \\[5pt] y&=& 2\cdot 8-5,5 \\[5pt] \boldsymbol{y}&=& \boldsymbol{10,5} \end{array}$

Länge von $\boldsymbol{a}$ berechnen

$a=5,93\,\text{m}-4,52\,\text{m}=1,41\,\text{m}$

Länge von $\boldsymbol{h}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(52^{\circ})&=&\dfrac{h}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] \tan(52^{\circ})\cdot a&=&h \\[5pt] h&=&\tan(52^{\circ})\cdot a \\[5pt] h&=&\tan(52^{\circ})\cdot 1,41\,\text{m} \\[5pt] \boldsymbol{h}&\approx&\boldsymbol{1,80\,\text{m}} \end{array}$

Um den Durchmesser zu berechnen, wird die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel nach $r$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{3}{4} \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot V&=& \pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi}&=& r^3 \\[5pt] r^3&=& \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] r&=& \sqrt[3]{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi}} \\[5pt] r&=& \sqrt[3]{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{7\,238,23\,\text{cm}^3}{\pi}} \\[5pt] r&\approx& 12,0\,\text{cm} \end{array}$

Daraus folgt für den Durchmesser: $d=2\cdot r=2\cdot 12\,\text{cm}=\boldsymbol{24\,\text{cm}}$

Mit dem 2. Strahlensatz die Länge von $\overline{BC}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{CE}}{\overline{AD}}&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB}\\[5pt] \dfrac{\overline{CE}}{\overline{AD}}\cdot \overline{AB}&=& \overline{BC}\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AD}}\cdot \overline{AB}\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{0,96\,\text{m}}{0,80\,\text{m}}\cdot 1,20\,\text{m}\\[5pt] \overline{BC}&=&1,44\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

Damit kann nun die Länge von $\overline{AC}$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AB}+\overline{BC} \\[5pt] \overline{AC}&=&1,20\,\text{m}+1,44\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&=&\boldsymbol{2,64\,\text{m}} \end{array}$

Gegeben:

$W_0=1,2\,\text{m}$
$n=12$
$p\,\%=15\,\%$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1-\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_{12}&=&1,2\,\text{m}\cdot \left(1-\dfrac{15}{100}\right)^{12} \\[5pt] W_{12}&\approx&\boldsymbol{0,17\,\text{m}} \end{array}$

Die Sprunghöhe des Balls nach dem zwölften Aufprall beträgt $0,17\,\text{m}.$

$\boldsymbol{y=(x+4)^2-3}$

Angebot C

Anzahl der Münzen mit spanischer Prägung: $36-17-13=6$

Für einen besseren Überblick hilft das Erstellen eines Baumdiagramms:

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keine Münze mit deutscher Prägung gezogen wird $(= A)$ :

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&\boldsymbol{\dfrac{19}{70}} \\[5pt] P(A)&\approx&\boldsymbol{27,1\,\%} \end{array}$

10.

Diagramm A

Begründung

Diagramm B ist nicht zutreffend, da hier die SPD-Fraktion größer ist als die CDU-Fraktion.
Diagramm C ist auch nicht zutreffend, da hier die fraktionslosen Abgeordneten fehlen.