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Grundkenntnisse

Aufgaben
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1.
Löse die Gleichung.
$3x^2+6=12x$
1 P.
#gleichung
2.
Löse das Gleichungssystem.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&4y&=& 8x-22 &\quad \\ \text{II}\quad&6,5&=&y-0,5x &\quad \\ \end{array}$
1 P.
#gleichungssystem
3.
Berechne die Höhe $h$.
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgetreu
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgetreu
1 P.
#trigonometrie
4.
Ein Basketball für den Profibereich hat ein Volumen von $7~238,23~\text{cm}^3$.
Berechne den Durchmsser des Balls. Betrachte den Ball als Kugel.
1 P.
#kugel
5.
Berechne die Strecke $\overline{AC}$.
Grundkenntnisse
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
Grundkenntnisse
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgerecht
1 P.
6.
Ein Vollgummiball wird in einer Höhe von $1,2~\text{m}$ fallen gelassen. NAch jedem Aufprall verringert sich die Sprunghöhe um $15~\%$.
Berechne die Sprunghöhe des Balls nach dem zwölften Aufprall.
Grundkenntnisse
Abb. 3: Skizze nicht maßstabsgetreu
Grundkenntnisse
Abb. 3: Skizze nicht maßstabsgetreu
1 P.
7.
Die Parabel $y=(x-1)^2-3$ wird um 5 Längeneinheiten nach links verschoben.
Bestimme die Funktionsgleichung der verschobene Parabel.
1 P.
#parabel
8.
Gebe an, welches der Angebote $A$ bis $D$ im Diagramm dargestellt ist.
A:
$110~€$
B:
$1,05~€/\text{kWh}$
C:
$110~€+0,085~€/\text{kWh}$
D:
$110~€+0,057~€/\text{kWh}$
Grundkenntnisse
Abb. 4: Diagramm des Gaspreises
Grundkenntnisse
Abb. 4: Diagramm des Gaspreises
1 P.
9.
In einem Beutel befinden sich sechsunddreißig $1$-Euro-Münzen. $17$ Münzen haben die deutsche Prägung, $13$ die franzäsische Prägung, die restlichen die spanische Prägung.
Zwei Münzen werden nacheinander ohne Hinschauen und ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Münze mit deutscher Prägung gezogen wird.
1 P.
10.
Der Landtag von Baden-Württemberg setzt sich aus $143$ Abgeordneten zusammen, davon sind $47$ Abgeordnete von den GRÜNEN, $42$ von der CDU, $21$ von der AfD, $19$ von der SPD, $12$ von der FDP/DVP und $2$ Abgeordnete sind fraktionslos.
(Stand 01.01.2017)
Wähle das zutreffende Diagramm aus und begründe deine Entscheidung.
Grundkenntnisse
Abb. 5: Dirgramme $A$, $B$ und $C$
Grundkenntnisse
Abb. 5: Dirgramme $A$, $B$ und $C$
1 P.
#diagramm
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Bringe die Gleichung zunächst in die Normalform:
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2+&=&12x &\quad \scriptsize \mid\; -12x \\[5pt] 3x^2-12x+6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x^2-4x+2&=&0 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} 3x^2+&=&12x \\[5pt] x^2-4x+2&=&0 \end{array} $
Jetzt kannst du die Lösungsformel anwenden mit $p=-4$ und $q=2$:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& 2\pm \sqrt{4-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& 2\pm \sqrt{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1}&=& 2 + \sqrt{2} \approx 3,4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{2}&=& 2 - \sqrt{2} \approx 0,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& 2\pm \sqrt{4-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1}&=& 2 + \sqrt{2} \approx 3,4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{2}&=& 2 - \sqrt{2} \approx 0,6 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array} $
Für die Lösungsmenge gilt damit $\mathbb{L}=\{ 3,4~;~0,6\}$
#pq-formel
2.
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse eine der Gleichungen nach $y$ auf und setze diese in die zweite Gleichung ein. Für die Gleichung $\text{I}$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=& 8x-22 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] y&=&2x-5,5 \end{array}$
Setze dies für $y$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 6,5&=&(2x-5,5)-0,5x &\quad \scriptsize \\[5pt] 6,5&=& 1,5x-5,5 &\quad \scriptsize \mid\; +5,5 \\[5pt] 12&=&1,5x &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] 8&=&x \end{array}$
$ x=8$
Setze jetzt $x$ wieder in Gleichung $\text{I}$, um $y$ zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2\cdot 8-5,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&16-5,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&10,5 \end{array}$
#einsetzungsverfahren
$\blacktriangleright$  Höhe berechnen
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze mit Hilfslinie
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze mit Hilfslinie
#tangens
4.
$\blacktriangleright$  Durchmesser berechnen
Für das Volumen einer Kugel gilt:
$V=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$
Setze das Volumen ein und löse nach $r$ auf, um den Radius zu erhalten:
$\begin{array}[t]{rll} 7~238,23~\text{cm}^3&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{3}{4} \\[5pt] 5~462,42~\text{cm}^3&\approx&\pi\cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] 1~738,74~\text{cm}^3&\approx&r^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt [3]{\color{#ffffff}{x}} \\[5pt] 12,02~\text{cm}&\approx&r \end{array}$
$ r \approx 12,02~\text{cm}$
Damit ist der Durchmesser etwa $d=2\cdot r=24~\text{cm}$.
#volumen
5.
$\blacktriangleright$  Strecke berechnen
Da die Strecke $\overline{AB}=1,20~\text{m}$ gegeben ist, musst du die Strecke $\overline{BC}$ berechnen, um die Strecke $\overline{AC}$ zu erhalten. Nach dem 2. Strahlensatz gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AD}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CE}\cdot \overline{AB}}{\overline{AD}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{0,96~\text{m}\cdot 1,20~\text{m} }{0,80~\text{m}} \\[5pt] &=&1,44~\text{m} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \overline{BC}&=&1,44~\text{m} \end{array} $
Jetzt kannst du die Strecke $\overline{AC}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AC}+\overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&1,20~\text{m}+1,44~\text{m} \\[5pt] &=&2,64~\text{m} \end{array}$
#strahlensatz
6.
$\blacktriangleright$  Sprunghöhe berechnen
Die Sprunghöhe entspricht einem negativem Wachstum. Da die Sprunghöhe bei jedem Aufprall um $15~\%$ abnimmt, sind nur noch $85~\%$ der ursprünglichen Höhe vorhanden. Nach einem Aufprall gilt für die Sprunghöhe $h$:
$h_1=1,2~\text{m}\cdot 85~\%=1,2~\text{m} \cdot 0,85$
Nach dem zweiten Aufprall gilt:
$h_2=h_1\cdot 0,85=1,2~\text{m}\cdot 0,85^2$
Nach $12$ Aufprällen gilt somit:
$h_{12}=1,2~\text{m}\cdot 0,85^{12}\approx 0,17~\text{m}$
Nach dem $12.$ Aufprall springt der Ball nur noch $0,17~\text{m}$ hoch.
#wachstum
7.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Bestimme zunächst den Scheitelpunkt der Parabel. Diesen kannst du als $S(1|-3)$ ablesen. Verschiebst du diesen nun um $5$ nach links erhältst du den neuen Scheitelpunkt $S_1(1-5|-3)=S_1(-4|-3)$.
Schreibe jetzt eine neue Funktionsgleichung der Parabel mit dem neuen Scheitelpunkt $S_1$:
$y=(x+4)-3$
#verschiebung#scheitelpunkt
8.
$\blacktriangleright$  Angebot angeben
Das im Diagramm dargestellt Angebot hat einen Grundpreis von $110~€$ (Preis für $0$ Kilowattstunden). Außerdem kostet jede Kilowattstunde extra, was du an der steigenden Gerade erkennen kannst. Somit kommen Angebot $A$ und $B$ nicht in Frage.
Um zwischen $c$ und $D$ zu entscheiden kannst du einen Punkt auf der Gerade wählen und deren Steigung berechnen. Da etwa $60$ Kilowattstunden $5~€$ zusätzlich kosten, kannst du den Preis pro Kilowattstunde berechnen:
$\dfrac{5~€}{60~\text{kWh}}\approx 0,083~€/\text{kWh}$
Dies entspricht in etwa dem Preis aus Angebot $C$. Somit ist im Diagramm das Angebot $C:\quad 110~€+0,085~€/\text{kWh}$ dargestellt.
#gerade
9.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Grundkenntnisse
Abb. 2: Baumdiagramm
Grundkenntnisse
Abb. 2: Baumdiagramm
Mit der Pfadmultiplikationsregel erhältst du die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung zweier nicht deutscher Münzen hintereinander:
$P(2\text{ nicht deutsche Münzen})=\dfrac{19}{36}\cdot \dfrac{18}{35}=\dfrac{19}{70}\approx27,1~\%$
$ P\approx27,1~\%$
#baumdiagramm#pfadregeln
10.
$\blacktriangleright$  Diagramm wählen
Im zweiten Diagramm ist der Anteil der SPD größer als der Anteil der CDU. Laut Aufgabentext ist die CDU mit $42$ Abgeordneten größer vertreten als die SPD mit $19$ Abgeordneten. Somit scheidet Diagramm $B$ aus.
Im Diagramm $C$ finden die $2$ fraktionslosen Abgeordneten keine Erwähnung. Somit ist auch dieses Diagramm falsch.
Übrig bleibt Diagramm $A$, welches richtig ist.
Bildnachweise [nach oben]
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