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Grundkenntnisse

Aufgaben
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Aufgabe 1

Löse die Gleichung:
$4x^2+120 = 68x$
(1 Punkt)
#quadratischegleichung

Aufgabe 2

Löse das Gleichungssystem.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&36&=& x + y \\ \text{II}\quad&4x+2y&=&114 \\ \end{array}$
(1 Punkt)
#gleichungssystem

Aufgabe 3

Eine Person hält eine $2$-Euro-Münze $(d= 2,6\,\text{cm})$ im Abstand von $0,8\,\text{m}$ vor das Auge. Die Münze deckt einen $11,7\,\text{m}$ hohen Baum vollständig ab.
Berechne die Entfernung der Baumspitze $S$ vom Auge.
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgetreu
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze nicht maßstabsgetreu
(1 Punkt)

Aufgabe 4

Ein Eishockeyspieler schießt den Puck in einem Winkel von $21,3^{\circ}$ so in das Tor, dass er $5\,\text{cm}$ unter der Querstange einschlägt.
Berechne den Abstand $x.$
Grundkenntnisse
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
Grundkenntnisse
Abb. 2: Skizze nicht maßstabsgetreu
(1 Punkt)

Aufgabe 5

Eine Glaskugel hat ein Volumen von $524\,\text{cm}^3.$ Sie wird in den kleinstmöglichen zylinderförmigen Karton verpackt.
Berechne den Innenradius und die Innenhöhe des Zylinders.
(1 Punkt)
#kugel#zylinder

Aufgabe 6

Eine Reise kostet $2.199\,€.$
Überprüfe, ob die Reise von gespartem Geld bezahlt werden kann, wenn man $1.990\,€$ für $6$ Jahre zu einem Zinssatz von $1,8\,\%$ anlegt. Die Zinsen werden jährlich dem Sparbetrag gutgeschrieben.
(1 Punkt)
#zinseszins

Aufgabe 7

Die Parabel $y=-(x-2)^2+1$ (siehe Abbildung) wird an der $x$-Achse gespiegelt.
Welche Funktionsgleichung hat die neue Parabel? Kreuze an.
(1 Punkt)
#parabel

Aufgabe 8

Die abgebildete Blumenvase wird befüllt.
Kreuze das richtige Fülldiagramm an.

Aufgabe 9

Lotta und ihre Freundinnen unterhalten sich über ihre Urlaubsziele. Diese sind von Stuttgart aus durchschnittlich $1176,25\,\text{km}$ entfernt.
Maria BettyClaudiaSevtapLottaSvenjaYvonneRiccarda
AthenRomKairoAntalya?HamburgGardaseeBerlin
$1674\,\text{km}$$807\,\text{km}$$2794\,\text{km}$$2184\,\text{km} $?$534\,\text{km}$$371\,\text{km}$$512\,\text{km}$
MariaAthen$1674\,\text{km}$
BettyRom$807\,\text{km}$
ClaudiaKairo$2794\,\text{km}$
SevtapAntalya$2184\,\text{km} $
Lotta??
SvenjaHamburg$534\,\text{km}$
YvonneGardasee$371\,\text{km}$
RiccardaBerlin$512\,\text{km}$
Wo war Lotta im Urlaub?
Begründe die Auswahl deines Ergebnisses rechnerisch.
Paris $500\,\text{km}$
Mallorca $1122\,\text{km}$
Wien $534\,\text{km}$
Dublin $1191\,\text{km}$
Amsterdam $502\,\text{km}$
Monaco $577\,\text{km}$
(1 Punkt)
#durchschnitt

Aufgabe 10

In einem Beutel befinden sich $3$ gelbe, $2$ rote, $1$ blaues und $2$ grüne Plättchen.
Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein gelbes und ein rotes Plättchen zu ziehen? Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
(1 Punkt)
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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Aufgabe 1

$\begin{array}[t]{rll} 4x^2+120&=& 68x &\quad \scriptsize \mid\; -68x \\[5pt] 4x^2 -68x + 120&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x^2-17x+30&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-17}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-17}{2}\right)^2 -30} \\[5pt] &=& \frac{17}{2}\pm \sqrt{\frac{289}{4}-30} \\[5pt] &=& \frac{17}{2}\pm \sqrt{\frac{169}{4}}\\[5pt] &=& \frac{17}{2}\pm\frac{13}{2} \\[5pt] x_1&=& \frac{17}{2}-\frac{13}{2} \\[5pt] &=& \frac{4}{2} \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] x_2&=& \frac{17}{2}+\frac{13}{2} \\[5pt] &=& \frac{30}{2} \\[5pt] &=& 15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&2 \\[10pt] x_2&=&15 \end{array}$
Die Lösungen der Gleichung sind $x_1= 2$ und $x_2 = 15.$
#pq-formel

Aufgabe 2

Gleichungssystem lösen.
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&36&=& x + y &\quad \scriptsize \mid\; -y \\ \text{I}' &36-y&=& x \\[5pt] \text{II}\quad&4x+2y&=&114 \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\,&36&=& x + y \\ \text{I}'\, &36-y&=& x \\[5pt] \text{II}\,&4x+2y&=&114 \\ \end{array}$
$\text{I}'$ kannst du in die zweite Gleichung einsetzen und dann nach $y$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x+2y&=& 114 \\[5pt] 4\cdot (36-y) + 2y &=& 114 \\[5pt] 144 -4y +2y &=& 114 \\[5pt] 144 -2y&=& 114 &\quad \scriptsize \mid\; -144 \\[5pt] -2y&=& -30 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] y&=& 15 \end{array}$
$ y = 15 $
Diese Lösung kannst du wiederum in $\text{I}'$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 36-y \\[5pt] &=& 36- 15 \\[5pt] &=& 21 \end{array}$
Die Lösung des Gleichungssystems ist $x=21$ und $y=15.$

Aufgabe 3

Mit dem zweiten Strahlensatz kannst du den Abstand $\overline{AS}$ vom Auge zur Baumspitze $S$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{0,8\,\text{m}}{\overline{AS}}&=& \dfrac{2,6\,\text{cm}}{11,7\,\text{m}} \\[5pt] \dfrac{0,8\,\text{m}}{\overline{AS}}&=& \dfrac{0,026\,\text{m}}{11,7\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AS} \\[5pt] 0,8\,\text{m}&=& \dfrac{0,026\,\text{m}}{11,7\,\text{m}}\cdot \overline{AS} &\quad \scriptsize \mid\;: \dfrac{0,026\,\text{m}}{11,7\,\text{m}} \\[5pt] 0,8\,\text{m}: \dfrac{0,026\,\text{m}}{11,7\,\text{m}} &=& \overline{AS} \\[5pt] 360\,\text{m}&=& \overline{AS} \\[5pt] \end{array}$
$ 360\,\text{m}= \overline{AS} $
Der Abstand vom Auge zur Baumspitze $S$ beträgt $360\,\text{m}.$
#strahlensatz

Aufgabe 4

Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze
Grundkenntnisse
Abb. 1: Skizze
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem
  • der Winkel $\alpha = 21,3^{\circ}$ gegeben ist.
  • Die zugehörige Gegenkathete mit $a= 1,17\,\text{m}$ ist gegeben und
  • die Länge der Ankathete $x$ ist gesucht.
Du kannst daher den Tangens verwenden um $x$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan 21,2^{\circ}&=& \dfrac{1,17\,\text{m}}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] \tan 21,2^{\circ} \cdot x&=&1,17\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;: \tan 21,2^{\circ}\\[5pt] x&=&\dfrac{1,17\,\text{m}}{\tan 21,2^{\circ}} \\[5pt] &\approx& 3,00\,\text{m} \end{array}$
$ x \pprox 3,00\,\text{m} $
Der Abstand beträgt ca. $x = 3,00\,\text{m}.$
#tangens

Aufgabe 5

Der Innenradius des Zylinders entspricht dem Radius der Kugel, die Innenhöhe entspricht dem Durchmesser der Kugel.
Du kannst das Volumen der Kugel $V= 524\,\text{cm}^3$ in die Volumenformel einer Kugel einsetzen und die Gleichung nach $r$ auflösen, um den Radius zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3} \pi \cdot r^3 \\[5pt] 524\,\text{cm}^3&=& \frac{4}{3} \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(\frac{4}{3} \cdot \pi\right)\\[5pt] \frac{393\,\text{cm}^3}{\pi}&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,} \\[5pt] 5\,\text{cm}&\approx& r \end{array}$
$ 5\,\text{cm}\approx r $
Also ist $d \approx 2\cdot 5\,\text{cm} = 10\,\text{cm}.$ Der Innenradius des Zylinders ist ca. $5\,\text{cm}$ und die Innenhöhe $10\,\text{cm}.$

Aufgabe 6

Gegeben ist das Kapital $K_0 = 1990\,€$ und der Zinssatz mit $p = 1,8\,\%.$ Gesucht ist das Kapital nach sechs Jahren $K_6.$ Mit der Formel für den Zinseszins ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} K_6&=& K_0 \cdot (1+\frac{p}{100})^6 \\[5pt] &=& 1990\,€\cdot (1+\frac{1,8}{100})^6 \\[5pt] &=& 2214,83\,€\\[5pt] \end{array}$
$ K_6 = 2214,83\,€$
Nach $6$ Jahren hat sich der Sparbetrag auf $2214,83\,€$ erhöht und reicht somit für die Reise aus.

Aufgabe 7

Der Graph einer Funktion wird an der $x$-Achse gespiegelt, indem man den Funktionsterm mit $-1$ multipliziert:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\left(-(x-2)^2+1\right) \\[5pt] &=& (x-2)^2 -1 \end{array}$
$ y= (x-2)^2 -1$
Die neue Parabel hat die Funktionsgleichung $y= (x-2)^2 -1.$

Aufgabe 8

Je breiter die Vase an einer Stelle ist, desto länger dauert es an dieser Stelle, bis das Wasser ansteigt.
Die Vase kann in drei Bereiche unterteilt werden:
  • Im unteren Bereich ist sie überall gleich breit. Die Füllhöhe nimmt gleichmäßig zu.
  • Im mittleren Bereich ist sie bauchig und dadurch nicht einheitlich breit. Die Füllhöhe nimmt nicht gleichmäßig zu, sondern erst etwas langsamer und zum Schluss wieder schneller.
  • Im oberen Bereich ist die Vase wieder gleichmäßig breit. Die Füllhöhe nimmt wieder gleichmäßig zu, aber schneller als im ersten Bereich.
Das richtige Diagramm muss also ebenfalls in drei Bereiche eingeteilt sein. Der erste und dritte Bereich müssen einen gleichmäßigen also linearen Anstieg zeigen, der mittlere darf nicht gleichmäßig also linear ansteigen.
Das einzige Diagramm, das in Frage kommt, ist Diagramm A.

Aufgabe 9

Du kennst die durchschnittliche Entfernung aller Urlaubsziele und die genaue Entfernung aller Urlaubsziele, bis auf die von Lottas Urlaubsziel. Du kannst also die Entfernung von Lottas Urlaubsziel mit $x$ bezeichnen und eine Gleichung für die durchschnittliche Entfernung aufstellen. Diese kannst du dann nach $x$ lösen.
$\begin{array}[t]{rll} 1176,25\,\text{km}&=&\dfrac{1674\,\text{km} +807\,\text{km} + 2794\,\text{km} + 2184\,\text{km}+x+534\,\text{km}+371\,\text{km}+512\,\text{km}}{8} \\[5pt] 1176,25\,\text{km}&=&\dfrac{8876\,\text{km}+x}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 8\\[5pt] 9410\,\text{km} &=& 8876\,\text{km}+x &\quad \scriptsize \mid\; -8876\,\text{km}\\[5pt] 534\,\text{km}&=& x \\[5pt] \end{array}$
$ 534\,\text{km} = x$
Lottas Urlaubsziel ist $534\,\text{km}$ entfernt. Sie war also in Wien.

Aufgabe 10

Insgesamt befinden sich $3+2+1+2 = 8$ Plättchen in dem Beutel. Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment.
Das Ereignis tritt ein, wenn entweder zuerst ein gelbes und dann ein rotes Plättchen oder zuerst ein rotes und dann ein gelbes Plättchen gezogen wird.
Es gibt also zwei Pfade, die zum gewünschten Ereignis führen. Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} &\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} +\frac{2}{8}\cdot \frac{3}{7} \\[5pt] =& \frac{3}{14} \\[5pt] \approx& 21,43\,\% \end{array}$
$… \approx 21,43\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $21,43\,\%$ wird ein gelbes und ein rotes Plättchen gezogen.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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