Analysis 2.2 – Internetseite

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb R$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=(2-x)\cdot \mathrm e^x.$

Abbildung 1

Gib das Verhalten von $f$ für $x \rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow +\infty$ an.

(2 BE)

Weise nach, dass die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen und der Koordinatenursprung Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind.

(3 BE)

Berechne die Koordinaten des Hochpunkts des Graphhen von $f.$

(3 BE)

Begründe mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1 geometrisch, dass der Wert des Terms $\frac{1}{2}\cdot \mathrm e\cdot 4$ ein Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)\;\mathrm{d}x$ ist.

(3 BE)

Berechne den exakten Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)\;\mathrm{d}x$ sowie die prozentuale Abweichung des Näherungswertes $\frac{1}{2}\cdot \mathrm e\cdot 4$ vom exakten Wert.

(4 BE)

Auf einer Internetseite wird an einem bestimmten Tag um $12:00$ Uhr ein Beitrag veröffentlicht. Die Anzahl der für diesen Beitrag abgegebenen Likes wird mithilfe der in $\mathbb R_0^+$ definierten Funktion $a$ beschrieben, deren Graph in Abbildung 2 dargestellt ist.

Dabei bezeichnet $x$ die seit $12:00$ Uhr vergangene Zeit in Stunden und $a(x)$ die Anzahl der seit $12:00$ Uhr abgegebenen Likes.

Abbildung 2

Beschreibe den Verlauf des Graphen von $a$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bestimme die Anzahl der von $14:00$ Uhr bis $16:00$ Uhr durchschnittlich pro Stunde abgegebenen Likes.

(3 BE)

Betrachtet wird die Gleichung $a(x + 3) = a(x) + 1000,$ die im Bereich $x\gt 0$ genau eine Lösung hat.

Ermittle die Lösung der Gleichung grafisch in Abbildung 2. Interpretiere die Gleichung im Sachzusammenhang.

(5 BE)

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$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

Aus der Abbildung folgt, dass der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse bei $(0\mid 2)$ und der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse bei $(2\mid 0)$ liegt.

Somit ist bewiesen, dass das Dreieck gleichschenklig ist, denn beide Schnittpunkte besitzen einen Abstand von $2 \; \text{LE}$ zum Koordinatenursprung.

Für die erste Ableitung von $f$ folgt mit dem MMS:

$\(f$

Mit der notwendingen Bedingung $\(f$ für Extrempunkte folgt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Mit dem MMS folgt:

$x=1$

Einsetzen in $f(x)$ liefert:

$f(1)=\mathrm{e}$

Der Hochpunkt besitzt somit die Koordinaten $H(1\mid \mathrm e).$

Anhand des eingezeichneten Dreiecks mit den Seitenlängen $4$ und $\mathrm e$ wird deutlich, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x =-3$ und $x=1$ einschließt, näherungsweise mit dem Term aus der Aufgabenstellung übereinstimmt.

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-3}^{1}f(x)\;\mathrm dx = 2\mathrm e-\dfrac{6}{\mathrm e^3}$

Für die prozentuale Abweichung gilt damit:

$\dfrac{\frac{1}{2}\cdot \mathrm e\cdot 4-\left(2\mathrm e-\frac{6}{\mathrm e^3}\right)}{2\mathrm e-\frac{6}{\mathrm e^3}}\approx 6\,\%$

Die Anzahl der seit der Veröffentlichung des Beitrags abgegebenen Likes nimmt immer mehr zu, aber steigt mit der Zeit immer langsamer und nähert sich auf lange Sicht $2500$ Likes an.

$\dfrac{a(4)-a(2)}{4-2}\approx \dfrac{2300-1500}{2}=400$

In der Zeit von $14:00$ Uhr bis $16:00$ Uhr werden durchschnittlich $400$ Like pro Stunde abgegeben.

Da die gestrichelte Linie bei ca. $x=1,9$ auf die $x$ -Achse trifft, ist das die gesuchte Lösung.

Die Gleichung liefert denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der für den Beitrag abgegebenen Likes um $1000$ kleiner ist als die Anzahl der Likes drei Stunden später.

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