Stochastik 3 - Lehrkräfte

Von den Lehrkräften eines Landes arbeiten $25\,\%$ an einem Gymnasium. $15\,\%$ der Lehrkräfte sind weiblich und arbeiten an einem Gymnasium. Insgesamt sind $72\,\%$ der Lehrkräfte weiblich.

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefülten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Lehrkraft weiblich ist oder an einem Gymnasium arbeitet.

(2 BE)

Eine zufällig ausgewählte Lehrkraft ist weiblich. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie an einem Gymnasium arbeitet.

(2 BE)

100 Lehrkräfte werden zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 100 Lehrkräften die Anzahl derer, die nicht am Gymnasium arbeiten, mindestens viermal so groß ist, wie die Anzahl derer, die am Gymnasium arbeiten.

(3 BE)

Gib die Bedeutung des Terms $\displaystyle\sum\limits_{k=75}^{100}\pmatrix{100\\k}$ $\cdot 0,75^{k}$ $\cdot 0,25^{100-k}$ im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

Ermittle den größtmöglichen Wert von $k,$ für den gilt:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $k$ der $100$ ausgewählten Lehrkräfte an einem Gymnasium arbeiten, beträgt mindestens $90\,\%$ .

(4 BE)

An einer Fortbildungsveranstaltung nehmen 20 Lehrkräfte eines Gymnasiums teil, von denen 12 weiblich sind. Für eine Präsentation werden 6 Lehrkräfte zufällig ausgewählt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Lehrkräfte weiblich sind.

(1 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 6 ausgewählten Lehrkräften weniger als zwei weiblich sind.

(4 BE)

In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein Spiel angeboten. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.

Der Term $8$ $\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^2$ $+2$ $\cdot 2$ $\cdot \frac{4}{9}$ $\cdot \frac{5}{9}$ $+\frac{1}{2}$ $\cdot\left(\frac{5}{9}\right)^2$ gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält. Gib die Bedeutung des zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutere deine Angabe.

(3 BE)

Beurteile folgende Aussage:
$\quad$ Bei sehr häufiger Durchführung des beschriebenen Spiels ist der erwartete Gewinn für den Spieler geringer als für den Spielleiter.

(2 BE)

Ermittle, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche Gewinnerwartung haben.

(4 BE)

(30 BE)

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$G:$

„Eine Lehrkraft arbeitet an einem Gymnasium“

$W:$

„Eine Lehrkraft ist weiblich“

	$\color{#ffffff}{G}$	$\color{#ffffff}{\overline{G}}$
$\color{#ffffff}{W}$	$15\,\%$	$57\,\%$	$72\,\%$
$\color{#ffffff}{\overline{W}}$	$10\,\%$	$18\,\%$	$28\,\%$
	$25\,\%$	$75\,\%$	$100\,\%$

Rechenweg anzeigen

$P(W\cup\overline{G}) = 82\,\%$

Mit dem Satz von Bayes folgt:

$P_W(G)$ $= \dfrac{P(W\cap G)}{P(W)}$ $= \dfrac{15\,\%}{72\,\%}$ $\approx 21\,\%$

Gesucht ist die Wahrscheinichkeit dafür, dass $100\cdot\frac{4}{5} = 80$ Lehrkräfte nicht am Gymnasium arbeiten.

Mit Hilfe einer mit den Parametern $n=100$ und $p=0,75$ binomialverteilten Zufallsvariablen $X,$ die die Anzahl der Lehrkräfte angibt, die nicht an einem Gymnasium arbeiten, folgt:

$P_{0,75}^{100}(X \geq 80)$ $\approx 15\,\%$

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass höchstens 25 der 100 ausgewählten Lehrkräfte an einem Gymnasium arbeiten.

$Y:$

Anzahl der Lehrkräfte, die an einem Gymnasium arbeiten

Der gesuchte Wert von $k$ soll folgende Ungleichung erfüllen:

$P_{0,25}^{100}(Y \geq k) \geq 0,9$

Systematisches Ausprobieren liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,25}^{100}(Y \geq 20)&\geq&0,9005 \\[5pt] P_{0,25}^{100}(Y \geq 21)&\geq&0,8512 \end{array}$

Der größtmögliche Wert von $k$ ist somit 20.

$\dfrac{12}{20}$ $\cdot \dfrac{11}{19}$ $\cdot \dfrac{10}{18}$ $\cdot \dfrac{9}{17}$ $\cdot \dfrac{8}{16}$ $\cdot \dfrac{7}{15}$ $\approx 2,4\,\%$

$Z:$

Anzahl der weiblichen Lehrkräfte

$P(Z\lt 2)$ $= P(Z=0)+P(Z=1)$ $=\dfrac{\pmatrix{12\\0}\cdot\pmatrix{8\\6}}{\pmatrix{20\\6}}$ $+\dfrac{\pmatrix{12\\1}\cdot\pmatrix{8\\5}}{\pmatrix{20\\6}}$ $\approx 0,018$ $= 1,8\,\%$

Der zweite Summand erfasst den Fall, dass eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen werden. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten betragen $\frac{4}{9}$ bzw. $\frac{5}{9}.$ Da die beiden Kugeln in zwei verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können und der Spieler für dieses Ereignis nach dem Spiel jeweils zwei Euro bekommt, werden die Wahrscheinlichkeiten zudem zweimal mit zwei multipliziert.

$8 \cdot\left(\dfrac{4}{9}\right)^2$ $+2 \cdot 2 \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{9}$ $+\dfrac{1}{2} \cdot\left(\dfrac{5}{9}\right)^2$ $\approx 2,72$ $\gt 2$

Die Aussage ist somit falsch.

Mit der Variable $a$ für die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße Kugel zu ziehen, folgt für den Erwartungswert:

$8 \cdot a^2$ $+2 \cdot 2 \cdot a \cdot(1-a)$ $+\dfrac{1}{2} \cdot(1-a)^2$ $= \dfrac{9}{2} a^2$ $+3 a$ $+\dfrac{1}{2}$

Damit ergibt sich für den Wert von $a:$

$\dfrac{9}{2}a^2+3a+\dfrac{1}{2} = 2$

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=&\dfrac{1}{3} \\[5pt] a_2&=&-1 \end{array}$

Da $a_2\lt 0,$ ist $a_1$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit, das heißt die Anzahl der schwarzen Kugeln muss doppelt so groß sein, wie die der weißen.

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