Pflichtaufgaben

Im Jahr 2015 verbrauchte Deutschlands Bevölkerung pro Kopf $32,40\,\text{kg}$ Süßwaren.

Arten von Süßwaren	Pro-Kopf-Verbrauch
Schokoladenwaren	$9,79\,\text{kg}$
kakaohaltige Lebensmittel	$1,95\,\text{kg}$
Zuckerwaren	$5,71\,\text{kg}$
feine Backwaren	$7,22\,\text{kg}$
Knabbergebäck	$4,10\,\text{kg}$
Speiseeis	$3,63\,\text{kg}$

Nach Bundesverband der Deutschen Süßwarenindustrie e.V.

Stelle den Anteil von Schokoladenwaren an den insgesamt verbrauchten Süßwaren in einem Kreisdiagramm dar.

2 BE

Vom Jahr 2014 zum Jahr 2015 ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis um $11,7\,\%$ gesunken.

Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis für das Jahr 2014.

2 BE

Die Süßwarenindustrie erwartet bis zum Jahr 2020 einen weiteren Anstieg des Verbrauchs von Knabbergebäck um $8\,\%$ jährlich.

Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Knabbergebäck, den die Süßwarenindustrie für das Jahr 2020 erwartet.

1 BE

Die Wertetabelle enthält Zahlenpaare der Funktion $y=f(x)$ mit $(x\in \mathbb{R};x\neq 0).$

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=f(x)}$
$-4$	$-\frac{1}{4}$
$-2$	$-\frac{1}{2}$
$-1,5$	$-\frac{2}{3}$
$-1$	$-1$
$-0,5$	$-2$
$0,5$	$2$
$1$	$1$
$1,5$	$\frac{2}{3}$
$2$	$\frac{1}{2}$
$4$	$\frac{1}{4}$

Stelle die Funktion $y=f(x)$ grafisch dar und gib die Funktionsgleichung an.

2 BE

Skizziere den Graphen der Funktion $y=g(x)=x^3$ mit $x\in \mathbb{R}$ für mindestens $-1,5\leq x\leq 1,5$ in dasselbe Koordinatensystem.

1 BE

Gib eine gemeinsame Eigenschaft der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an.

1 BE

Die wahrscheinlich steilste Straße Deutschlands befindet sich in Deesbach im Landkreis Saalfeld-Rudolstadt. Die $300\,\text{m}$ lange Straße hat eine Steigung von $25,3\,\%.$
Berechne den Anstiegswinkel der Straße.

1 BE

Im Handel werden Sonnenschutzsegel in verschiedenen Formen angeboten.
Ein Sonnenschutzsegel hat die Form eines Dreiecks mit den Seitenlängen $3,0\,\text{m},$ $3,5\,\text{m}$ und $4,2\,\text{m}.$ Für das verwendete Material werden $230\,\text{g}$ je Quadratmeter angegeben.

Berechne die Masse dieses Sonnensegels.

3 BE

In einer Urne befinden sich 5 weiße und 5 schwarze Kugeln, die jeweils von 1 bis 5 nummeriert sind.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Ziehen eine Kugel mit der Zahl 4 entnommen wird.

1 BE

Beim einmaligen Ziehen einer Kugel tritt ein anderes Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{6}{10}$ ein.

Formuliere ein solches Ereignis in Worten.

1 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:

„Beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen erhält man zwei schwarze Kugeln.“

1 BE

Im Wetterbericht wird eine Regenmenge von 20 Liter pro Quadratmeter angegeben. Diese Regenmenge wird in einem quaderförmigen Behälter mit einer Grundfläche von einem Quadratmeter aufgefangen.

Berechne die Höhe des Wasserstandes in diesem Behälter.

2 BE

Bei einem umlaufenden Sessellift befindet sich die Talstation in $1\,600\,\text{m}$ Höhe und die Bergstation in $2\,400\,\text{m}$ Höhe. Je Minute überwinden die Sessel einen Höhenunterschied von $50\,\text{m}.$ Zwei Wanderer besteigen gleichzeitig den Lift, einer an der Berg- und der andere an der Talstation.

Bestimme die Höhe, in der beide aneinander vorbeifahren.

1 BE

Der Höhenunterschied der Talfahrt kann durch $y=-50x+2\,400$ beschrieben werden.

Gib für die Bergfahrt die Gleichung an, die diese Fahrt beschreibt.

1 BE

Gegeben sind die folgenden Körper (Zylinder, Halbkugel und Kegel) mit jeweils demselben Radius. Für alle Körper gilt $r=h.$

Skizzen nicht maßstäblich

Stelle einen der Körper mit geeigneten Maßen im Zweitafelbild dar.

2 BE

Berechne das Volumen des Kegels, wenn der Zylinder ein Volumen von $450\,\text{cm}^3$ hat.

1 BE

Marie behauptet: „Addiert man das Volumen der Halbkugel und das Volumen des Kegels, so erhält man das Volumen des Zylinders.“

Zeige an einem selbst gewählten Beispiel oder durch logische Schlussfolgerung, dass Maries Behauptung richtig ist.

1 BE

Zuerst wird der prozentuale Anteil der Schokoladenwaren an den gesamten Süßwaren berechnet:

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Grundwert } G=32,40\,\text{kg}$

$\text{Prozentwert } W=9,79\,\text{kg}$

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W}{G}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{9,79\,\text{kg}}{32,40\,\text{kg}}\cdot 100\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& 30,2\,\% \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:32,40$

$\cdot 9,79$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 32,40\,\text{kg}& \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,\text{kg} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{32,40}\,\%\\[5pt] 9,79 \,\text{kg} & \mathrel{\widehat{\approx}}& 30,2\,\%\,€ \end{array}$

$:32,40$

$\cdot 9,79$

Für die Größe des Mittelpunktswinkels des zugehörigen Kreissektors folgt daher:

$360^{\circ}\cdot 0,302 \approx 109^{\circ}$

Pro-Kopf-Verbrauch der gesamten Süßwaren

Lösung mit der Lösungsformel

$\text{Prozentsatz } p\,\%=100\,\%-11,7\,\%=88,3\,\%$

$\text{Prozentwert } W=3,63\,\text{kg}$

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& \dfrac{3,63\,\text{kg}\cdot 100\,\%}{88,3\,\%} \\[5pt] G&\approx& 4,11\,\text{kg} \end{array}$

Lösung mit Dreisatz

$:88,3$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rrcll} & 88,3\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 3,63\,\text{kg}\\[5pt] & 1\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{3,63}{88,3}\,\text{kg}\\[5pt] & 100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 4,11\,\text{kg}& \end{array}$

$:88,3$

$\cdot 100$

Im Jahr 2014 wurden pro Kopf also ca. $4,11\,\text{kg}$ Speiseeis verbraucht.

$\text{Anfangswert } K_0=4,10\,\text{kg}$

$\text{Prozentsatz } p\,\%=8\,\%$

$\text{Zeit } n=5 \,\text{Jahre}$

Mit der Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p\,\%}{100\,\%}\right)^n$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} K_5&=& 4,10\,\text{kg} \cdot \left(1+\dfrac{8\,\%}{100\,\%}\right)^5\\[5pt] &=& 4,10\,\text{kg}\cdot \left(1,08\right)^5\\[5pt] &\approx& 6,02\,\text{kg} \\[5pt] \end{array}$

Im Jahr 2020 erwartet die Süßwarenindustrie einen Pro-Kopf-Verbrauch von Knabbergebäck von ca. $6,02\,\text{kg}.$

$\boldsymbol{f(x)}$ grafisch darstellen

Funktionsgleichung angeben

Der Graph der Funktion $f(x)$ ist eine Hyperbel, die im I. und III. Quadranten des Koordinatensystems verläuft. Daher muss der Exponent ungerade sein.

Vermutete Gleichung: $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Einsetzen von Werten zur Überprüfung:

$f(2)=\dfrac{1}{2}$

$f(4)=\dfrac{1}{4}$

Die Ergebnisse stimmen mit den Werten aus der Wertetabelle überein. Die Gleichung der Funktion lautet also $y=f(x)=\dfrac{1}{x}.$

Wertetabelle für $y=g(x)=x^3$ erstellen:

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{y=g(x)}$
-1,5	-3,375
-1	-1
-0,5	-0,125
0	0
0,5	0,125
1	1
1,5	3,375

Mögliche gemeinsame Eigenschaften:

Beide Graphen verlaufen durch die Punkte $(-1\mid -1)$ und $(1\mid 1).$
Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Die Graphen beider Funktionen verlaufen im I. und III. Quadranten.

Ein Anstieg von $25,3\,\%$ bedeutet pro $100\,\text{m}$ horizontaler Entfernung einen Höhenunterschied von $25,3\,\text{m}.$

Skizze des Sachverhalts:

Der Winkel $\alpha$ kann mit dem Tangens berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan \alpha &=& \dfrac{25,3\,\text{m}}{100\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 14,2^{\circ} \end{array}$

Der Anstiegswinkel der Straße ist ungefähr $14,2°$ groß.

Mit den drei angegebenen Seitenlängen des Dreiecks kann die Größe eines Innenwinkels des Dreiecks mit dem Kosinussatz berechnt werden:

Rechenweg anzeigen

$\alpha\approx 44,7°$

Mit dem Winkel kann nun der Flächeninhalt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 3,5\,\text{m}\cdot 4,2\,\text{m} \cdot \sin 44,7^{\circ} \\[5pt] &\approx& 5,2\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Die Masse des Sonnensegels ist dann gegeben durch:

$5,2\,\text{m}^2 \cdot 230\,\dfrac{\text{g}}{\text{m}^2} = 1\,196\,\text{g}= 1,196\,\text{kg}$

10 mögliche Ergebnisse: 5 weiße und 5 schwarze Kugeln
2 günstige Ergebnisse: 1 weiße und 1 schwarze Kugel mit Zahl 4

$\begin{array}[t]{rll} & P(\text{Kugel mit 4}) \\[5pt] =& \dfrac{\text{Anzahl günstige Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}} \\[5pt] =& \dfrac{2}{10} \\[5pt] =& \dfrac{1}{5} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Kugel mit der Zahl 4 beträgt $\dfrac{1}{5}=20 \%.$

Gesucht ist ein Ereignis, für dessen Eintreten 6 Kugeln infrage kommen. Es gibt beispielsweise 6 Kugeln mit ungeraden Zahlen. Ein mögliches Ereignis wäre also beispielsweise:

„Beim einmaligen Ziehen wird eine Kugel mit einer ungerade Zahl gezogen.“

Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Ziehen ohne Zurücklegen. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$\dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{90}=\dfrac{2}{9}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{2}{9}$ werden beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen zwei schwarze Kugeln gezogen.

In dem Behälter mit der Grundfläche von einem Quadratmeter befinden sich 20 Liter Wasser:

$V=20\,l = 0,02\,\text{m}^3$

Mit der Formel für das Volumen eines Quaders ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} V &=& G\cdot h \\[5pt] 0,02\,\text{m}^3 &=& 1\,\text{m}^2 \cdot h&\quad \scriptsize \mid\; : 1\,\text{m}^2\\[5pt] 0,02\,\text{m}&=& h \end{array}$

Die Höhe des Wasserstandes in dem Behälter beträgt $0,02\,\text{m} = 2\,\text{cm}.$

Da beide mit der gleichen Geschwindigkeit unterwegs sind, treffen sich die Wanderer in der Mitte:

$\dfrac{1\,600\,\text{m}+2\,400\,\text{m}}{2} = 2\,000\,\text{m}$

Die Wanderer fahren also in einer Höhe von $2\,000\,\text{m}$ aneinander vorbei.

Gesucht ist die Gleichung der Form $y = m\cdot x + n ,$ die die Bergfahrt beschreibt.

Im Gegensatz zur Talfahrt muss die Steigung bei der Bergfahrt positiv sein. Der Sessellift fährt aber genauso schnell den gleichen Anstieg hoch, wie er herunter fährt. Daher ist die Steigung $m=50.$

Der $y$ -Achsenabschnitt muss die Starthöhe sein, also $n= 1\,600.$ Die Gleichung, die die Bergfahrt beschreibt, lautet:

$y=50x +1\,600$

Im Folgenden sind alle drei Zweitafelbilder aufgeführt. Es ist jedoch nur eines gefordert.

Mit der Formel für das Volumen eines Zylinders lässt sich der Radius $r$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \quad \scriptsize \mid\;h=r\\[5pt] 450\,\text{cm}^3&=& \pi\cdot r^2\cdot r \quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{450}{\pi}\,\text{cm}^3&=& r^3 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,} \\[5pt] \sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}}\,\text{cm}&=& r \\[5pt] 5,23 \,\text{cm}&\approx& r \end{array}$

Da der Zylinder und der Kegel den gleichen Radius haben, folgt mit der Formel für das Volumen eines Kegels:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegel}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \quad \scriptsize \mid\; h=r \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \quad \scriptsize \mid\;r=5,23\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot (5,23 \,\text{cm})^3\\[5pt] &\approx& 150\,\text{cm}^3 \end{array}$

Wenn das Volumen des Zylinders $450\,\text{cm}^3$ beträgt, dann beträgt das Volumen des Kegels $150\,\text{cm}^3.$

Mit den entsprechenden Volumenformeln gilt für $r=h:$

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Zylinder}}&= \pi\cdot r^3 \\[10pt] V_{\text{Halbkugel}}&= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &= \dfrac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[10pt] V_{\text{Kegel}}&= \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \end{array}$

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} & V_{\text{Halbkugel}} + V_{\text{Kegel}}\\[5pt] =& \dfrac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^3 + \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] =& \pi \cdot r^3 \\[5pt] =& V_{\text{Zylinder}} \end{array}$

Marie hat also recht.