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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

Biokunststoffe sind aus nachwachsenden Rohstoffen hergestellte Kunststoffe. In der Tabelle ist die weltweite Produktion von Biokunststoffen angegeben.
Jahr20082009201020112012
Biokunststoffe in 1.000 Tonnen2764345689641.443
Nach: Biobasierte Wirtschaft als Wachstumstreiber. In: Neue Produkte: Aus Natur gemacht. Bundesministerium für Ernährung, Landwirtschaft und Verbraucherschutz, S. 21.
a)
Stelle diesen Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm dar.
(2P)
b)
Auf wie viel Prozent hat sich die weltweite Produktion von Biokunststoffen gegenüber im Jahr $2012$ gegenüber dem Jahr $2011$ erhöht?
(1P)
Für das Jahr $2016$ wird angenommen, dass sich die weltweite Produktion von Biokunststoffen gegenüber $2012$ etwa vervierfacht.
c)
Zeige, dass man bei dieser Annahme von einer jährlichen Zunahme von $42\%$ ausgeht.
(1P)
#kunststoffe#diagramm#prozentrechnen#zunahme

Aufgabe 2

Gegeben sind die Dreiecke $ABC$ und $DEF$.
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
Zeige rechnerisch, dass etwa $\overline{AB} = \frac{1}{2} \overline{DE}$ gilt.
(3P)
#dreieck

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem.
$\begin{array}[t]{lllllll} \text{I}&y&+&3&=& x \\[5pt] \text{II}&2y&+&4x&=& 6 \end{array}$
(3P)
#lgs

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen
$\begin{array}[t]{lllllll} &y&=&f(x)&=&x^2&-&6x&+&6 \\[5pt] \text{und}&y&=&g(x)&=&x^3&&&&&& \text{mit $(x \in \mathbb{R}$}). \end{array}$
a)
Berechne die Nullstellen von $f(x)$.
(1P)
b)
Stelle $f(x)$ und $g(x)$ in ein und demselben Koordinatensystem $(1\,\text{LE} = 1\,\text{cm})$ graphisch dar.
(2P)
Der Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ ist $A$. Der Scheitelpunkt von $f(x)$ ist $S$.
c)
Berechne die Länge der Strecke $\overline{AS}$.
(1P)
#scheitelpunkt#nullstelle

Aufgabe 5

Für ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ gilt:
A =
$128\,\text{cm}^2$ und
b =
$2\,\text{a}^2$
Berechne das Verhältnis der Längen der Rechteckseiten.
(2P)
#rechteck

Aufgabe 6

Die Rappbodetalsperre hat die höchste Staumauer Deutschlands. In ihrer Nähe befindet sich die längste Doppelseilrutsche Europas. Hier können Mutige an einem $12\,\text{mm}$ dicken Stahlseil eine Strecke von $1.000\,\text{m}$ zurücklegen und dabei einen Höhenunterschied von $120\,\text{m}$ überwinden.
Berechne den Neigungswinkel dieser Doppelseilrutsche.
(1P)
#neigungswinkel

Aufgabe 7

Ein Quader ist $2,20\,\text{m}$ lang, $1,20\,\text{m}$ breit und $1,50\,\text{m}$ hoch.
Zeichne ein Netz dieses Quaders im Maßstab $1:50$.
(2P)
#quader

Aufgabe 8

Ein normaler Spielwürfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ wird einmal geworfen.
a)
Gib die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer Augenzahl, die größer als $4$ ist, an.
(1P)
b)
Gib die Anzahl der Seiten mit dem Buchstaben $A$ an.
(1P)
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“.
(1P)
#wahrscheinlichkeit#würfel

Aufgabe 9

Kugelförmige Pralinen mit einem Durchmesser von $3\,\text{cm}$ werden einzeln in quadratische Folienblätter eingewickelt. Der Flächeninhalt eines Blattes ist $2,5$-mal so groß wie der Oberflächeninhalt einer Praline.
Berechne die Seitenlänge eines Folienblattes.
(2P)
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt im Diagramm darstellen
Überlege dir ein Diagramm, das geeignet wäre, um die Daten in der Tabelle darzustellen. Trage anschließend die Daten in das Diagramm an. Denk daran die Achsen zu beschriften.
Du kannst z.B. die Daten als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Ein Balken oder Säulendiagramm wäre auch möglich.
b)
$\blacktriangleright$  Prozentsatz berechnen
Um zu errechnen, auf wieviel Prozent sich die Produktion im Jahr $2012$ im Vergleich zum Vorjahr erhöht hat, teilst du die produzierte Menge im Jahr $2012$ durch die Produktion des Vorjahres. Anschließend rechnest du das Ergebnis in eine Prozentzahl um, indem du mit $100$ multiplizierst.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
Berechne die weltweite Produktion von Biokunststoffen im Jahr $2016$ auf zwei verschiedene Arten. Multipliziere einmal die Produktion von Kunststoffen im Jahr $2016$ mit $4$. Anschließend multipliziere die Produktion im Jahr $2012$ viermal mit der jährlichen Zunahme von $42\,\%$. Die Einheit $\text{k t}$ steht hier für Tausend Tonnen.
Wenn die Produktion jährlich um $42\,\%$ zunimmt, dann muss die Produktion um $42\,\%$ höher als die im Vorjahr sein. Sie muss also $142\,\%$ betragen. Rechne diese Zahl in eine Dezimalzahl um, indem du durch $100$ teilst und das $\%$-Zeichen weglässt. Multipliziere anschließend viermal mit dieser Zahl.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Streckenverhältnis überprüfen
Berechne zuerst die Länge der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$.
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ kannst du über den Kosinussatz berechnen. Dieser lautet:
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
Die Strecke $\overline{DE}$ kannst du berechnen, indem du zuerst die Höhe des Dreiecks $DEF$ mit dem Sinus berechnest und anschließend die gesuchte Strecke über den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest.
Wenn du die Höhe $h$ einzeichnest, dann bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck in der die Strecke $\overline{EF}$ und der $44°$-Winkel liegen. Die Definition des Sinus lautet:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Dabei ist die Höhe $h$ die Gegenkathete des $44°$-Winkels und die Strecke $\overline{EF}$ die Hypothenuse dazu.
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $23\,\text{cm}^2$. Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot h\cdot c$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot h\cdot c$
Dabei ist $h$ die Höhe des Dreiecks und $c$ die Grundseite des Dreiecks, in unserem Fall also $\overline{DE}$. Berechne die Strecke $\overline{DE}$.
Überprüfe das angegebene Streckenverhältnis, indem du die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ in die Angabe der Aufgabenstellung einsetzt.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem, indem du Vielfache der Gleichungen miteinander verrechnest und damit eine Variable eliminierst. Rechne dann zuerst die eine Variable aus und setze sie in die andere Gleichung ein, um damit die andere Variable zu errechnen.
Forme zuerst Gleichung $\text{I}$ um, sodass die Variablen $x$ und $y$ auf einer Seite stehen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f(x)}$ berechnen
Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen musst du die Funktion mit $0$ gleichsetzen.
b)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{f(x)}$ und $\boldsymbol{g(x)}$ in einem Koordinatensystem darstellen
Zeichne ein geeignetes Koordinatensystem mit den angegebenen Längeneinheiten und zeichne beide Funktionsgraphen ein. Achte darauf die Graphen und Achsen zu beschriften. Wenn du dir nicht sicher bist, wie groß du das Koordinatensystem zeichnen musst, dann berechne die Koordinaten von mehreren Punkten der Funktion, um einen Überblick zu bekommen.
c)
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen
Um die Länge der Strecke berechnen zu können, musst du zuerst die Koordinaten des Schnittpunkts $A$ und die Koordinaten des Scheitelpunkts $S$ berechnen.
Um die Koordinaten des Schnittpunkts $A$ zu berechnen, musst du die beiden Funktionen gleichsetzen und nach $x$ umformen.
Wenn du mit der Berechnung des Schnittpunkts oder Scheitelpunkts nicht weiter kommst, dann kann es hilfreich sein, die Funktionen im Schaubild zu betrachten und abzuschätzen bei welchen $x$-Werten die gesuchten Punkte liegen. Du kannst diese Werte in die passenden Gleichungen einsetzen und überprüfen ob deine Vermutung richtig ist.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Strecke $\overline{AS}$ berechnen. Er lautet:
$c^2=a^2+b^2$
$c^2=a^2+b^2$
Dabei ist $c$ die Grundseite, also $\overline{AS}$. $a$ und $b$ sind die Katheten des Dreiecks zwischen dem Scheitelpunkt und dem Schnittpunkt.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Längenverhältnis der Rechteckseiten berechnen
Berechne die Länge der beiden Rechteckseiten über die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Diese lautet:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
Dabei sind $a$ und $b$ die Seitenlängen der Rechteckseiten. Zusätzlich zum Flächeninhalt des Rechtecks wurde die Information gegeben, dass $b=2a^2$ ist. Ersetze $b$ in der Formel für den Flächeninhalt und berechne $a$.
Setze dein Ergebnis in die Formel für $b$ ein und berechne $b$. Beachte dabei, dass du die Einheit von $a$ beim Rechenschritt $a^2$ nicht quadrierst, da es an dieser Stelle keinen Sinn ergibt, eine Streckenlänge mit der Einheit $\text{cm}^2$ zu haben.
Berechne nun das Verhältnis der Strecken, indem du die Länge der Strecke $a$ durch die Länge der Strecke $b$ teilst.

Aufgabe 6

Pflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze zur Doppelseilrutsche.
Pflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze zur Doppelseilrutsche.
Du kannst den Neigungswinkel $\alpha$ über den Sinus berechnen. Seine Definition lautet:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Seite des Dreiecks, die dem Winkel gegenüber liegt. Hier also die $120\,\text{m}$ lange Strecke. Die Haypotenuse ist die Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Hier ist sie $1.000\,\text{m}$ lang. Berechne die Größe des Winkels $\alpha$.

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Quadernetz zeichnen
Wenn du das Quadernetz zeichnen willst, dann stell dir einen Quader vor, den du auseinander faltest. Stell dir vor, dass du von einer Grundseite aus, die daran liegenden Seiten nimmst und neben die Grundseite auf den Boden drückst. Zeichne dieses Quadernetz im richtigen Maßstab. Der Maßstab $1:50$ bedeutet, dass $1\,\text{cm}$ der Zeichnung $50\,\text{cm}$ in der Realität entspricht. Um die entsprechenden Seitenlängen zu berechnen, musst du die Seitenlängen durch $50$ teilen.

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür eine bestimmte Würfelseite zu würfeln ist bei allen Seiten gleich groß. Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis, z.B. eine Augenzahl größer als $4$, berechnen willst, dann teilst du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl an Seiten mit dem Buchstaben A berechnen
In diesem Fall kennst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ($\frac{2}{3}$) und die Anzahl an möglichen Ergebnissen ($6$). Setze diese Informationen in die Formel aus Aufgabenteil a) ein und berechne die Anzahl an günstigen Ergebnissen.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „OK“ berechnen
Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Buchstaben „O“ und „K“ mit der Formel aus Aufgabenteil a). Anschließend multipliziere die beiden Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“ zu erhalten.

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$  Seitenlänge eines Folienblatts berechnen
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Flächeninhalt eines Folienblatts $2,5$-mal so groß ist, wie der Oberflächeninhalt einer Praline. Berechne zuerst mit den angegebenen Größen den Oberflächeninhalt einer Praline. Die Formel dafür lautet:
$A_K=4\cdot\pi\cdot r^2$
$A_K=4\cdot\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius der Kugel.
Der Flächeninhalt eines Folienpapiers ist $2,5$-mal so groß.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet:
$A_Q=a\cdot a$
$A_Q=a\cdot a$
Dabei ist $a$ die Länge einer Seite des Quadrats.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Sachverhalt im Diagramm darstellen
Überlege dir ein Diagramm, das geeignet wäre, um die Daten in der Tabelle darzustellen. Trage anschließend die Daten in das Diagramm an. Denk daran die Achsen zu beschriften.
Du kannst z.B. die Daten als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Ein Balken oder Säulendiagramm wäre auch möglich.
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Herstellung von Biokunststoffen.
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Herstellung von Biokunststoffen.
b)
$\blacktriangleright$  Prozentsatz berechnen
Um zu errechnen, auf wieviel Prozent sich die Produktion im Jahr $2012$ im Vergleich zum Vorjahr erhöht hat, teilst du die produzierte Menge im Jahr $2012$ durch die Produktion des Vorjahres. Anschließend rechnest du das Ergebnis in eine Prozentzahl um, indem du mit $100$ multiplizierst. Die Einheit $\text{k t}$ steht hier für Tausend Tonnen.
$\dfrac{\text{Produktion}\,2012}{\text{Produktion}\,2011}=\dfrac{1443}{964}=1,497$
$ \dfrac{\text{Produktion}\,2012}{\text{Produktion}\,2011}=1,497 $
$1,497\cdot100=149,7\,\%$
Die weltweite Produktion von Biokunststoffen beträgt im Vergleich zum Vorjahr $149,7\,\%$. Sie ist also um $49,7\,\%$ gestiegen.
c)
$\blacktriangleright$  Aussage bestätigen
Berechne die weltweite Produktion von Biokunststoffen im Jahr $2016$ auf zwei verschiedene Arten. Multipliziere einmal die Produktion von Kunststoffen im Jahr $2016$ mit $4$. Anschließend multipliziere die Produktion im Jahr $2012$ viermal mit der jährlichen Zunahme von $42\,\%$. Die Einheit $\text{k t}$ steht hier für Tausend Tonnen.
$1.443\,\text{k t}\cdot4=5.772\,\text{k t}$
Wenn die Produktion jährlich um $42\,\%$ zunimmt, dann muss die Produktion um $42\,\%$ höher als die im Vorjahr sein. Sie muss also $142\,\%$ betragen. Rechne diese Zahl in eine Dezimalzahl um, indem du durch $100$ teilst und das $\%$-Zeichen weglässt. Multipliziere anschließend viermal mit dieser Zahl.
$\dfrac{142}{100}=1,42$
$1.443\,\text{k t}\cdot1,42^4=1.443\,\text{k t}\cdot4,07=5.867,05\,\text{k t}$
$1.443\text{k t}\cdot1,42^4=5.867,05\text{k t} $
Die Werte sind ungefähr gleich, weshalb sich sagen lässt, dass man bei der Vorhersage ungefähr von einer jährlichen Zunahme von $42\,\%$ ausgegangen ist.
#prozentrechnen#diagramm#zunahme

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Streckenverhältnis überprüfen
Berechne zuerst die Länge der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$.
Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ kannst du über den Kosinussatz berechnen. Dieser lautet:
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
Dabei ist $c$ die Seite gegenüber des Winkels $\gamma$. $a$ und $b$ sind die anderen Seiten.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2&=&\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cdot \cos(\gamma)&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \overline{AB}^2&=&(3,6\,\text{cm})^2+(3,2\,\text{cm})^2-2\cdot3,6\,\text{cm}\cdot3,2\,\text{cm}\cdot \cos(85°)\\[5pt] \overline{AB}^2&=&12,96\,\text{cm}^2+10,24\,\text{cm}^2-23,04\,\text{cm}^2\cdot 0,0872\\[5pt] \overline{AB}^2&=&23,2\,\text{cm}^2-2\,\text{cm}^2\\[5pt] \overline{AB}^2&=&21,2\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AB}&\approx&4,6\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{AB}\approx4,6\,\text{cm}$
Die Strecke $\overline{AB}$ ist ca. $4,6\,\text{cm}$ lang. Die Strecke $\overline{DE}$ kannst du berechnen, indem du zuerst die Höhe des Dreiecks $DEF$ mit dem Sinus berechnest und anschließend die gesuchte Strecke über den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest.
Wenn du die Höhe $h$ einzeichnest, dann bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck in der die Strecke $\overline{EF}$ und der $44°$-Winkel liegen. Die Definition des Sinus lautet:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Dabei ist die Höhe $h$ die Gegenkathete des $44°$-Winkels und die Strecke $\overline{EF}$ die Hypothenuse dazu. Berechne die Höhe $h$.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h}{\overline{EF}}&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(44°)&=&\dfrac{h}{7,2\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot7,2\,\text{cm}\\[5pt] 0,6947\cdot7,2\,\text{cm}&=&h\\[5pt] 5\,\text{cm}&=&h \end{array}$
$ h=5\,\text{cm}$
Die Höhe $h$ beträgt $5\,\text{cm}$. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $23\,\text{cm}^2$. Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot h\cdot c$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot h\cdot c$
Dabei ist $h$ die Höhe des Dreiecks und $c$ die Grundseite des Dreiecks, in unserem Fall also $\overline{DE}$. Berechne die Strecke $\overline{DE}$.
$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&\frac{1}{2}\cdot h\cdot \overline{DE}&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 23\,\text{cm}^2&=&\frac{1}{2}\cdot 5\,\text{cm}\cdot\overline{DE} &\quad \scriptsize \mid\; :5\,\text{cm}; \cdot 2\\[5pt] \dfrac{23\,\text{cm}^2\cdot2}{5\,\text{cm}}&=&\overline{DE}\\[5pt] 9,2\,\text{cm}&=&\overline{DE} \end{array}$
$ \overline{DE}=9,2\,\text{cm} $
Die Länge der Strecke $\overline{DE}$ beträgt $9,2\,\text{cm}$. Überprüfe das angegebene Streckenverhältnis, indem du die Längen der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ in die Angabe der Aufgabenstellung einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A B}&=&\frac{1}{2}\cdot \overline{DE}&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 4,6\,\text{cm}&=&\frac{1}{2}\cdot 9,2\,\text{cm}\\[5pt] 4,6\,\text{cm}&=&4,6\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$ 4,6\,\text{cm}&=&4,6\,\text{cm} $
Das angegebene Streckenverhältnis ist richtig.
#dreieck#kosinussatz

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem, indem du Vielfache der Gleichungen miteinander verrechnest und damit eine Variable eliminierst. Rechne dann zuerst die eine Variable aus und setze sie in die andere Gleichung ein, um damit die andere Variable zu errechnen.
Forme zuerst Gleichung $\text{I}$ um, sodass die Variablen $x$ und $y$ auf einer Seite stehen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y+3&=&x\quad \scriptsize\mid\; -x; -3\\ \text{II}\quad&2y+4x&=&6\quad\\ \hline \text{I}\quad&y-x&=&-3\quad \\ \text{II}\quad&2y+4x&=&6\quad \scriptsize\mid\; \text{Rechne:}\,\text{II}-2\cdot\text{I}\\ \hline \text{I}\quad&y-x&=&-3\quad \\ \text{II}\quad&6x&=&12\quad \scriptsize\mid\; :6\\ \hline \text{I}\quad&y-x&=&-3\quad \scriptsize\mid\; x\,\text{einsetzen}\\ \text{II}\quad&x&=&2\quad \\ \hline \text{I}\quad&y-2&=&-3\quad \scriptsize\mid\; +2\\ \text{II}\quad&x&=&2\quad \\ \hline \text{I}\quad&y&=&-1\quad \\ \text{II}\quad&x&=&2\quad \\ \end{array}$
$x=2$, $y=-1$
Die Lösung für das Gleichungssystem lautet $x=2$, $y=-1$.
#lgs

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen von $\boldsymbol{f(x)}$ berechnen
Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen musst du die Funktion mit $0$ gleichsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^2-6x+6 &\quad \scriptsize \mid\;f(x)=0 \\[5pt] 0&=&x^2-6x+6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=&- \dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-6}{2}} \right)^2 - 6}\\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm \sqrt { 3^2 - 6}\\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm \sqrt { 9 - 6}\\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm \sqrt {3}\\[5pt] x_{1}&=& 3 + 1,73\\[5pt] x_{1}&=& 4,73\\[10pt] x_{2}&=& 3 - 1,73\\[5pt] x_{2}&=& 1,27\\[5pt] \end{array}$
$x_1=4,73$; $x_2=1,27$
Die Funktion hat die Nullstellen $x_1=4,73$ und $x_2=1,27$.
b)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{f(x)}$ und $\boldsymbol{g(x)}$ in einem Koordinatensystem darstellen
Zeichne ein geeignetes Koordinatensystem mit den angegebenen Längeneinheiten und zeichne beide Funktionsgraphen ein. Achte darauf die Graphen und Achsen zu beschriften. Wenn du dir nicht sicher bist, wie groß du das Koordinatensystem zeichnen musst, dann berechne die Koordinaten von mehreren Punkten der Funktion, um einen Überblick zu bekommen.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Die Funktionsgraphen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.
c)
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen
Um die Länge der Strecke berechnen zu können, musst du zuerst die Koordinaten des Schnittpunkts $A$ und die Koordinaten des Scheitelpunkts $S$ berechnen.
Der Scheitelpunkt $S$ der Funktion $f(x)=x^2-6x+6$ kannst du durch die Scheitelpunktform bestimmen. Seine Koordinaten sind $S\,(3\mid -3)$. Um die Koordinaten des Schnittpunkts $A$ zu berechnen, musst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen und nach $0$ umformen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) \\[5pt] x^2-6x+6&=&x^3 &\quad \scriptsize \mid\; -x^3\\[5pt] -x^3+x^2-6x-6&=&0\\[5pt] \end{array}$
$ -x^3+x^2-6x-6 = 0 $
Ein Blick in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil b) lässt vermuten, dass der Schnittpunkt bei $x=1$ liegt. Setze das in die Formel mit den gleichgesetzten Funktionstermen ein und überprüfe, ob die Gleichung stimmt.
$\begin{array}[t]{rll} -x^3+x^2-6x+6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; x=1 \\[5pt] -(1)^3+1^2-6+6&=&0 \\[5pt] -1+1-6+6&=&0\\[5pt] 0&=&0\\[5pt] \end{array}$
$ 0 = 0 $
Die Gleichung ist erfüllt. Damit ist die Vermutung richtig, dass der Schnittpunkt $A$ die $x$-Koordinate $1$ besitzt. Setze dieses Ergebnis in eine der ursprünglichen Funktionen ein und berechne die $y$-Koordinate des Schnittpunkts.
$g(1)=x^3=1^3=1$
Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten $A\,(1\mid1)$. Wenn du die Koordinaten der beiden Punkte in das Koordinatensystem einzeichnest, dann siehst du, dass die Strecke $\overline{AS}$ die Grundseite eines rechtwinkligen Dreiecks ist.
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Die beiden Punkte $A$ und $S$ eingezeichnet als Teil eines rechtwinkligen Dreiecks.
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Die beiden Punkte $A$ und $S$ eingezeichnet als Teil eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die beiden Katheten des Dreiecks sind zwei und vier Längeneinheiten lang, d.h. sie sind $2\,\text{cm}$ und $4\,\text{cm}$ lang. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Strecke $\overline{AS}$ berechnen. Er lautet:
$c^2=a^2+b^2$
$c^2=a^2+b^2$
Dabei ist $c$ die Grundseite, also $\overline{AS}$. $a$ und $b$ sind die Katheten des Dreiecks, die jeweils $1\,\text{cm}$ lang sind.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \overline{AS}^2&=&(2\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{AS}^2&=&4\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2 \\[5pt] \overline{AS}^2&=&20\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AS}&\approx&4,47\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{AS}=4,47\,\text{cm}$
Die Strecke $\overline{AS}$ ist ca. $4,47\,\text{cm}$ lang.
#nullstelle#scheitelpunkt#satzdespythagoras

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Längenverhältnis der Rechteckseiten berechnen
Berechne die Länge der beiden Rechteckseiten über die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Diese lautet:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
Dabei sind $a$ und $b$ die Seitenlängen der Rechteckseiten. Zusätzlich zum Flächeninhalt des Rechtecks wurde die Information gegeben, dass $b=2a^2$ ist. Ersetze $b$ in der Formel für den Flächeninhalt und berechne $a$.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 128\,\text{cm}^2&=&2a^2\dot a &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 64\,\text{cm}^2&=&a^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,}\\[5pt] 4\,\text{cm}&=&a \end{array}$
$ a = 4\,\text{cm} $
Die Seite $a$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Setze dein Ergebnis in die Formel für $b$ ein und berechne $b$. Beachte dabei, dass du die Einheit von $a$ beim Rechenschritt $a^2$ nicht quadrierst, da es an dieser Stelle keinen Sinn ergibt, eine Streckenlänge mit der Einheit $\text{cm}^2$ zu haben.
$b=2a^2=2\cdot4^2\,\text{cm}=32\,\text{cm}$
Berechne nun das Verhältnis der Strecken, indem du die Länge der Strecke $a$ durch die Länge der Strecke $b$ teilst.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{4\,\text{cm}}{32\,\text{cm}}=\dfrac{1}{8}$
Das Verhältnis der Längen der Rechteckseiten beträgt $\frac{1}{8}$.
#rechteck

Aufgabe 6

Pflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze zur Doppelseilrutsche.
Pflichtaufgaben
Abb. 4: Skizze zur Doppelseilrutsche.
Du kannst den Neigungswinkel $\alpha$ über den Sinus berechnen. Seine Definition lautet:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Seite des Dreiecks, die dem Winkel gegenüber liegt. Hier also die $120\,\text{m}$ lange Strecke. Die Haypotenuse ist die Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Hier ist sie $1.000\,\text{m}$ lang. Berechne die Größe des Winkels $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{120\,\text{m}}{1.000\,\text{m}}\\[5pt] \sin(\alpha)&=&0,120 &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx&6,89° \end{array}$
$\alpha=6,89° $
Die Größe des Neigungswinkels der Doppelseilrutsche beträgt $6,89°$.
#tangens#neigungswinkel

Aufgabe 7

$\blacktriangleright$  Quadernetz zeichnen
Wenn du das Quadernetz zeichnen willst, dann stell dir einen Quader vor, den du auseinander faltest. Stell dir vor, dass du von einer Grundseite aus, die daran liegenden Seiten nimmst und neben die Grundseite auf den Boden drückst. Zeichne dieses Quadernetz im richtigen Maßstab. Der Maßstab $1:50$ bedeutet, dass $1\,\text{cm}$ der Zeichnung $50\,\text{cm}$ in der Realität entspricht. Um die entsprechenden Seitenlängen zu berechnen, musst du die Seitenlängen durch $50$ teilen.
$\dfrac{220\,\text{cm}}{50}=4,4\,\text{cm}$
$\dfrac{120\,\text{cm}}{50}=2,4\,\text{cm}$
$\dfrac{150\,\text{cm}}{50}=3\,\text{cm}$
Zeichne nun das Quadernetz mit den eben berechneten Seitenlängen.
Pflichtaufgaben
Abb. 5: Das Quadernetz mit entsprechenden Seitenlängen in der Zeichnung und in der Realität.
Pflichtaufgaben
Abb. 5: Das Quadernetz mit entsprechenden Seitenlängen in der Zeichnung und in der Realität, um $90°$ gedreht.
#quader#quadernetz

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit dafür eine bestimmte Würfelseite zu würfeln ist bei allen Seiten gleich groß. Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis, z.B. eine Augenzahl größer als $4$, berechnen willst, dann teilst du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
Der Würfel hat $6$ Seiten. Die Zahlen $5$ und $6$ auf dem Würfel sind größer als $4$. Es gibt damit $2$ günstige Ergebnisse.
$\text{Wahrscheinlichkeit}=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$\text{Wahrscheinlichkeit}=\dfrac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit beim Werfen des Würfels eine Augenzahl zu würfeln, die größer als $4$ ist, beträgt $\frac{1}{3}$.
b)
$\blacktriangleright$ Anzahl an Seiten mit dem Buchstaben A berechnen
In diesem Fall kennst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ($\frac{2}{3}$) und die Anzahl an möglichen Ergebnissen ($6$). Setze diese Informationen in die Formel aus Aufgabenteil a) ein und berechne die Anzahl an günstigen Ergebnissen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Wahrscheinlichkeit}&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6 \\[5pt] \dfrac{2\cdot6}{3}&=&\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}\\[5pt] 4&=&\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}\\[5pt] \end{array}$
$\text{Anz. günstiger Ergebnisse}=4 $
Die Anzahl aller günstigen Ergebnisse ist $4$. Demnach muss der Würfel viermal eine Seite mit dem Buchstaben A haben.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „OK“ berechnen
Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Buchstaben „O“ und „K“ mit der Formel aus Aufgabenteil a). Anschließend multipliziere die beiden Wahrscheinlichkeiten, um die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“ zu erhalten.
$\text{Wahrscheinlichkeit für O}=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
$\text{Wahrscheinlichkeit für O}=\dfrac{1}{2}$
$\text{Wahrscheinlichkeit für K}=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}=\dfrac{1}{6}$
$\text{Wahrscheinlichkeit für K}=\dfrac{1}{6} $
$\text{Wahrscheinlichkeit für OK}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$
$\text{Wahrsch. für OK}=\dfrac{1}{12}$
Die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „OK“ beträgt $\dfrac{1}{12}$.
#würfel#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 9

$\blacktriangleright$  Seitenlänge eines Folienblatts berechnen
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Flächeninhalt eines Folienblatts $2,5$-mal so groß ist, wie der Oberflächeninhalt einer Praline. Berechne zuerst mit den angegebenen Größen den Oberflächeninhalt einer Praline. Die Formel dafür lautet:
$A_K=4\cdot\pi\cdot r^2$
$A_K=4\cdot\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius der Kugel. Der Durchmesser der Kugel beträgt $3\,\text{cm}$. Demnach ist der Radius $r=\frac{d}{2}=\frac{3\,\text{cm}}{2}=1,5\,\text{cm}$. Berechne den Oberflächeninhalt einer Praline.
$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&4\cdot\pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] A_K&=&4\cdot\pi\cdot (1,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&=&4\cdot\pi\cdot 2,25\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_K&=&28,27\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_K=28,27\,\text{cm}^2 $
Der Oberflächeninhalt einer Praline beträgt $28,27\,\text{cm}^2$. Der Flächeninhalt eines Folienpapiers ist $2,5$-mal so groß.
$28,27\,\text{cm}^2\cdot 2,5=70,68\,\text{cm}$.
Der Flächeninhalt eines quadratischen Folienpapiers beträgt $70,68\,\text{cm}$. Die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats lautet:
$A_Q=a\cdot a$
$A_Q=a\cdot a$
Dabei ist $a$ die Länge einer Seite des Quadrats. Berechne die Seitenlänge eines Folienblatts.
$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=&a\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 70,68\,\text{cm}^2&=&a\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 8,41\,\text{cm}&=&a \\[5pt] \end{array}$
$ a = 8,41\,\text{cm} $
Die Seitenlänge eines Folienblattes beträgt $8,41\,\text{cm}$.
#kugel
Bildnachweise [nach oben]
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