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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Von den folgenden Wahlaufgaben sind zwei zu bearbeiten. Solltest du weitere Aufgaben bearbeiten, werden die beiden Wahlaufgaben mit den meisten Punkten herangezogen.

Aufgabe 10 Arithmetik/Algebra

10.1
Vereinfache diesen Term so weit wie möglich.
$\begin{array}[t]{lllllll} 7x&-&2(x-3) \end{array}$
(1P)
10.2
Gegeben ist eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems.
$\begin{array}[t]{lllllll} y&=&3x&-&1 \end{array}$
Ermittle eine zweite Gleichung so, dass das Gleichungssystem die Lösung $(1\mid 2)$ hat.
(2P)
#gleichungssystem
10.3
Drei Freunde kaufen gemeinsam ein Jahreslos für eine Lotterie. Alex bezahl $48\,\text{€}$. Ben beteiligt sich mit einem Drittel und Chris mit einem Sechstel am Lospreis.
Mit diesem Los gewinnen die drei Freunde $6.000\,\text{€}$.
Begründe, dass Alex bei gerechter Verteilung des Gewinnes $3.000\,\text{€}$ erhält.
(2P)
10.4
Gegeben ist ein Zylinder mit dem Durchmesser $d$ und ein zweiter Zylinder mit dem doppelten Durchmesser.
In beide Zylinder wird die gleiche Menge Flüssigkeit eingefüllt.
Ermittle durch logische Überlegungen oder anhand eines selbstgewählten Beispiels das Verhältnis der beiden Höhen zueinander.
(1P)
#zylinder

Aufgabe 11 Funktionen

11.1
Gegeben ist die Funktion $y = 2x^2 - 3$ mit $x \in \mathbb{R}$.
Gib den Wertebereich dieser Funktion an.
(1P)
#wertebereich#quadratischefunktion
11.2
Der Querschnitt eines $3,8\,\text{m}$ hohen Tunnels hat annähernd die Form einer Parabel mit der Gleichung $y=f(x)=-0,3x^2+3,8$.
a)
Berechne die Tunnelbreite.
(2P)
#quadratischefunktion
$\,$
Die Durchfahrt durch den Tunnel wird durch eine Ampel geregelt. Für einen Lkw ist die Durchfahrt nur erlaubt, wenn ein Mindestabstand von $30\,\text{cm}$ zwischen Fahrzeug und Tunnelwand eingehalten werden kann.
Ein Lkw ist $2,30\,\text{m}$ breit und $3,00\,\text{m}$ hoch.
b)
Überprüfe, ob der Abstand zur Tunnelwand senkrecht nach oben für die gesamte Breite des Lkw eingehalten werden kann.
(3P)

Aufgabe 12 Geometrie

Hochbeete können aus witterungsbeständigen rechteckigen Kunststoffplatten als Seitenflächen aufgebaut werden.
Ein Set besteht aus acht Platten gleicher Länge $a$.
Aus diesen Seitenflächen kann man unter anderem ein Beet mit einem regelmäßigen Achteck als Grundfläche bauen.
a)
Berechne für eine selbstgewählte Plattenlänge $a$ den Flächeninhalt dieser Grundfläche.
Überprüfe, ob die gegebene Gleichung für die gewählte Plattenlänge auch zur Berechnung genutzt werden kann.
(3P)
$\,$
Herr Meier hat in seinem Garten ein dreieckiges Hochbeet aus $9$ Platten aufgebaut.
$\,$
Das Beet soll vollständig mit Erde befüllt werden.
b)
Berechne das Volumen der benötigten Erde.
(3P)
#volumen

Aufgabe 13 Stochastik

13.1
In der Tabelle ist die Notenverteilung einer Leistungskontrolle erfasst.
Note123456
Anzahl der Schüler332520
a)
Berechne den Notendurchschnitt dieser Leistungskontrolle.
(1P)
$\,$
Peter muss die Leistungskontrolle nachschreiben. Durch seine Note ändert sich der Notendurchschnitt. Der Median bleibt gleich.
b)
Gib die Note an, die Peter erhalten haben könnte.
(1P)
#median
13.2
Tom und Anne haben sich unterschiedliche Spielwürfel gebastelt.
Anne
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt Tom keine „6“?
(1P)
#wahrscheinlichkeit
$\,$
Sie vereinbaren folgende Spielregel: Jeder würfelt einmal mit seinem Würfel. Es gewinnt derjenige, der die höhere Augenzahl hat.
b)
Zeichne ein dazugehöriges Baumdiagramm.
Zeige, dass Tom und Anne mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewinnen können.
(3P)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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Aufgabe 10

10.1
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
Vereinfache den Term, indem du zuerst die Klammer auflöst und anschließend alle Ausdrücke mit $x$ zusammenrechnest und das selbe für alle Ausdrücke ohne $x$ tust. Achte darauf, dass Minus und Minus Plus ergibt.
10.2
$\blacktriangleright$  Zweite Gleichung ermitteln
Die gegebene Gleichung ist ein Teil eines linearen Gleichungssystems. Die Variablen $x$ und $y$ sind dir mit der Lösung bereits bekannt. Stelle eine allgemeine Formel für eine Gleichung mit den Variablen $x$ und $y$ auf.
$a\cdot x+b=c\cdot y$
Du hast nun eine Gleichung mit drei Unbekannten. Es gibt also keine eindeutige Lösung. Du kannst nun zuerst die bekannten Werte für $x$ und $y$ einsetzen, sowie zwei der drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$ definieren. Anschließend löst du die Gleichung nach der letzten Unbekannten auf.
10.3
$\blacktriangleright$  Gerechte Verteilung begründen
Ben hat $\frac{1}{3}$ des Lospreises bezahlt und Chris $\frac{1}{6}$ des Preises. Insgesamt müssen Alex, Ben und Chris den kompletten Preis bezahlt haben. Ihre Anteile müssen also in der Summe $1$ ergeben. Bei einer gerechten Verteilung bekommt jeder einen Anteil des Gewinns, der seinem Anteil am Los entspricht. Berechne den Anteil, den Alex, bezahlt hat und multipliziere das Ergebnis mit dem Gewinn der drei Freunde. Wenn sich dein Ergebnis mit den $3.000\,€$ deckt, dann steht Alex bei einer gerechten Verteilung dieser Gewinn zu.
10.4
$\blacktriangleright$  Auf das Verhältnis der Höhen schließen
Du kannst die Höhen der Flüssigkeiten berechnen, indem du dir ein einfaches Beispiel ausdenkst und die jeweiligen Höhen berechnest. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet.
$V_Z=G\cdot h$
$V_Z=G\cdot h$
Dabei ist $V$ in unserem Beispiel die Menge an Flüssigkeit, die in den Zylinder gefüllt werden und $h$ die Höhe des Flüssigkeitsstands. $G$ ist der Flächeninhalt der Grundseite. Die Grundseite ist ein Kreis. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet.
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises. Wir definieren für unser Beispiel, dass wir $50\,\text{cm}^3$ Flüssigkeit in die Zylinder füllen. Zylinder $Z_1$ hat den Radius $r_1=2\,\text{cm}$. Zylinder $Z_2$ hat den Radius $r_2=4\,\text{cm}$. Die Anforderung, dass der Durchmesser eines Zylinders dem doppelten des anderen Zylinders entspricht, ist damit erfüllt. Berechne die Höhen der beiden Zylinder mit den Formeln von weiter oben. Teile anschließend die beiden Höhen durcheinander, um das Verhältnis der beiden Höhen zu berechnen.

Aufgabe 11

11.1
$\blacktriangleright$  Wertebereich der Funktion angeben
Der Wertebereich einer Funktion ist der Zahlenbereich, den die Funktion für ein beliebiges $x$ annehmen kann. Die Funktion ist eine Parabel. Sie hat bei $x=0$ ihren Scheitelpunkt und wächst rechts und links von diesem Punkt ins unendliche. Berechne den $y$-Wert des Scheitelpunkts der Parabel und überlege dir, ob die Parabel in den positiven oder negativen unendlichen Bereich wächst. Schreibe die obere und untere Grenze des Wertebereichs in eckigen Klammern. Die Klammer zeigt dabei zu den Zahlen, wenn die Zahl an der sie steht zum Intervall dazu gehört und von der Zahl abgewandt, wenn die Zahl nicht in das Intervall gehört bzw. wenn die Zahl unendlich ist.
$\mathbb{W}=[-3;+∞[$
11.2
a)
$\blacktriangleright$  Tunnelbreite berechnen
Der Tunnel kann als Parabel dargestellt werden. Die Breite des Tunnels kannst du berechnen, wenn du die Nullstellen der Parabel berechnest und anschließend den Abstand zwischen den $x$-Koordinaten der Nullpunkte berechnest. Berechne die Nullstellen, indem du die Funktion mit $0$ gleichsetzt. Berechne die Breite des Tunnels, indem du die beiden $x$-Werte der Nullstellen voneinander abziehst. Das Ergebnis ist positiv und hat die Einheit $\text{m}$.
b)
$\blacktriangleright$  Sicherheitsabstand überprüfen
Der LKW ist $3,00\,\text{m}$ hoch und $2,3\,\text{m}$ breit. Der Abstand zur Tunnelwand soll durchgehend mindestens $30\,\text{cm}$ betragen. Du sollst überprüfen, ob auf der gesamten Breite des LKWs der Abstand nach oben zur Tunneldecke eingehalten wird.
Der LKW fährt in der Mitte des Tunnels. Von der Mitte des Tunnels ragt der LKW $1,15\,\text{m}$ nach rechts und links. Der geringste Abstand zwischen LKW und Tunneldecke wird an den Rändern des LKWs also bei $x=\pm1,15$ sein. Da die Funktion, die den Tunnel beschreibt eine Parabel ist, ist sie achsensymmetrisch zur Tunnelmitte. Es muss also nur eine Seite überprüft werden. Berechne den $y$-Wert der Funktion bei $x=1,15$. Anschließend ziehe von deinem Ergebnis die Höhe des LKWs ab und überprüfe, ob der nötige Abstand gegeben ist.

Aufgabe 12

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen und Formel überprüfen
Die Formel für den Flächeninhalt eines Achtecks lautet:
$A_A=a^2(2+2\cdot\sqrt{2})$
$A_A=a^2(2+2\cdot\sqrt{2})$
Dabei ist $a$ die Seitenlänge einer Seite. Diese Länge kannst du frei wählen. Du kannst z.B. definieren, dass $a=1\,\text{m}$ ist.
Überprüfe, ob die gegebene Formel ebenfalls geeignet ist, um den Flächeninhalt des Achtecks zu berechnen, indem du die gewählte Seitenlänge in die Formel einsetzt und ausrechnest. Wenn sich dein Ergebnis mit dem vorher berechneten Flächeninhalt deckt, dann ist die Formel verwendbar.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen der benötigten Erde berechnen
Das Beet entspricht einem Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche. Das Volumen des Prismas berechnest du mit der Formel:
$V_P=G\cdot h$
$V_P=G\cdot h_P$
Dabei ist $h_P$ die Höhe des Prismas. $G$ ist der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche. Du kannst den Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel berechnen:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_D$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_D$
Dabei ist $h_D$ die Höhe des Dreiecks und $c$ die Grundseite. Zur Veranschaulichung des Problems, kannst du dir eine Skizze anfertigen.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze der dreieckigen Grundfläche des Beets.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze der dreieckigen Grundfläche des Beets.
Berechne zuerst einen Winkel des Dreiecks über den Kosinussatz. Dieser lautet:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
$a$, $b$ und $c$ sind die Seiten des Dreiecks. Der Winkel im Cosinus ist der Winkel, der der Seite links vom $=$ gegenüber liegt. Mithilfe der Skizze kannst du die Seitenlängen der Dreiecksseiten berechnen. Seite $a$ besteht aus $3$ Platten, Seite $b$ aus $2$ Platten und Seite $c$ aus $4$ Platten. Jede Platte ist $65\,\text{cm}$ lang.
Wenn du in das Dreieck die Höhe einzeichnest, dann entsteht dabei ein rechtwinkliges Dreieck, indem der Winkel $\alpha$ und die Seite $b$ liegen. Du kannst die Höhe über den Sinus berechnen. Der Sinus ist definiert als:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Seite des Dreiecks, die dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt, hier also die Höhe $h_D$. Die Hypothenuse ist die Grundseite des Dreiecks, hier also $b$.
Die Höhe des Prismas $h_P$ entspricht der Höhe einer Platte, also $0,25\,\text{m}$. Berechne mit der oben angegebenen Formel das Volumen des Beets.

Aufgabe 13

13.1
a)
$\blacktriangleright$  Notendurchschnitt berechnen
Berechne den Notendurchschnitt, indem du alle Noten addierst und anschließend durch die Anzahl an Noten teilst.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Peters Note angeben
Peters Note verändert den Notendruchschnitt, aber der Median bleibt gleich. Der Median ist der mittlere Wert, wenn du alle Noten ihrer Größe nach sortiert aufschreibst. Überprüfe, wie groß der Median der Leistungsüberprüfung ist. Überlege dir anschließend, welche Zahlen du in die Reihe einordnen kannst, ohne dass der Median sich verändert. Beachte dabei, dass der Median bei einer geraden Anzahl von Werten dem Mittelwert der mittleren Werte entspricht. Beachte bei deinen Überlegungen, dass Peters Note den Durchschnitt verändert. Sie darf also nicht deinem Ergebnis aus Aufgabenteil a) entsprechen.
13.2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „nicht $\boldsymbol{6}$“ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, hier also eine Zahl die nicht $6$ ist, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen und Gleichheit der Chancen zeigen
Zeichne ein Baumdiagramm. Gehe von einem Punkt aus und zeichne zuerst alle Möglichkeiten für den Wurf von Tom mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Von dort aus zeichnest du alle Möglichkeiten für den Wurf von Anne mit Wahrscheinlichkeiten ein.
Um zu zeigen, dass die Gewinnchance für Tom und Anne gleich groß ist, musst du die Wahrscheinlichkeiten für jeden möglichen Ausgang des Spiels berechnen und jeweils die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg von Tom addieren und das selbe für die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg von Anne tun. Wenn die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich sind, dann ist das Spiel ausgeglichen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Ast des Baumdiagramms, indem du alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 10

10.1
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
Vereinfache den Term, indem du zuerst die Klammer auflöst und anschließend alle Ausdrücke mit $x$ zusammenrechnest und das selbe für alle Ausdrücke ohne $x$ tust. Achte darauf, dass Minus und Minus Plus ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} &7x-2(x-3) \\[5pt] =&7x-2x+6 \\[5pt] =&5x+6 \\[5pt] \end{array}$
Der vereinfachte Term lautet $5x+6$.
10.2
$\blacktriangleright$  Zweite Gleichung ermitteln
Die gegebene Gleichung ist ein Teil eines linearen Gleichungssystems. Die Variablen $x$ und $y$ sind dir mit der Lösung bereits bekannt. Stelle eine allgemeine Formel für eine Gleichung mit den Variablen $x$ und $y$ auf.
$a\cdot x+b=c\cdot y$
Du hast nun eine Gleichung mit drei Unbekannten. Es gibt also keine eindeutige Lösung. Du kannst nun zuerst die bekannten Werte für $x$ und $y$ einsetzen, sowie zwei der drei Unbekannten $a$, $b$ und $c$ definieren. Anschließend löst du die Gleichung nach der letzten Unbekannten auf.
Wir definieren z.B. $a=1$ und $b=1$. Für $c$ ergibt sich.
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot x+b&=&c\cdot y &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] a\cdot 1+b&=&c\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; a=1;\,b=1 \\[5pt] 1\cdot 1+1&=&c\cdot 2 \\[5pt] 2&=&c\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 1&=&c \end{array}$
$ c = 1 $
Eine zweite mögliche Gleichung für das Gleichungssystem lautet $x+1=y$. Die Lösung des Gleichungssystems $(1\mid2)$ würde damit erhalten bleiben.
10.3
$\blacktriangleright$  Gerechte Verteilung begründen
Ben hat $\frac{1}{3}$ des Lospreises bezahlt und Chris $\frac{1}{6}$ des Preises. Insgesamt müssen Alex, Ben und Chris den kompletten Preis bezahlt haben. Ihre Anteile müssen also in der Summe $1$ ergeben. Bei einer gerechten Verteilung bekommt jeder einen Anteil des Gewinns, der seinem Anteil am Los entspricht. Berechne den Anteil, den Alex, bezahlt hat und multipliziere das Ergebnis mit dem Gewinn der drei Freunde. Wenn sich dein Ergebnis mit den $3.000\,€$ deckt, dann steht Alex bei einer gerechten Verteilung dieser Gewinn zu.
$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
$6.000\,€\cdot\frac{1}{2}=3.000\,€$
Alex würden bei einer gerechten Verteilung des Gewinns $3.000\,€$ zustehen.
10.4
$\blacktriangleright$  Auf das Verhältnis der Höhen schließen
Du kannst die Höhen der Flüssigkeiten berechnen, indem du dir ein einfaches Beispiel ausdenkst und die jeweiligen Höhen berechnest. Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet.
$V_Z=G\cdot h$
$V_Z=G\cdot h$
Dabei ist $V$ in unserem Beispiel die Menge an Flüssigkeit, die in den Zylinder gefüllt werden und $h$ die Höhe des Flüssigkeitsstands. $G$ ist der Flächeninhalt der Grundseite. Die Grundseite ist ein Kreis. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet.
$A_K=\pi\cdot r^2$
$A_K=\pi\cdot r^2$
Dabei ist $r$ der Radius des Kreises. Wir definieren für unser Beispiel, dass wir $50\,\text{cm}^3$ Flüssigkeit in die Zylinder füllen. Zylinder $Z_1$ hat den Radius $r_1=2\,\text{cm}$. Zylinder $Z_2$ hat den Radius $r_2=4\,\text{cm}$. Die Anforderung, dass der Durchmesser eines Zylinders dem doppelten des anderen Zylinders entspricht, ist damit erfüllt. Berechne nun die Höhen der beiden Zylinder mit den Formeln von weiter oben.
$\begin{array}[t]{rll} V_{1}&=&G\cdot h_1\\[5pt] V_{1}&=&\pi\cdot r_1^2\cdot h_1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot (2\,\text{cm})^2\cdot h_1\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot 4\,\text{cm}^2\cdot h_1\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&12,57\,\text{cm}^2\cdot h_1 &\quad \scriptsize \mid\; :12,57\,\text{cm})^2\\[5pt] 3,98\,\text{cm}&=& h_1\\[5pt] \end{array}$
$3,98\,\text{cm}= h_1$
Die Höhe des Flüssigkeitsstands in Zylinder $Z_1$ beträgt $3,98\,\text{cm}$. Berechne die Höhe des Flüssigkeitsstands im Zylinder $Z_2$.
$\begin{array}[t]{rll} V_{2}&=&G\cdot h_2\\[5pt] V_{2}&=&\pi\cdot r_2^2\cdot h_2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot (4\,\text{cm})^2\cdot h_2\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot 16\,\text{cm}^2\cdot h_2\\[5pt] 50\,\text{cm}^3&=&50,27\,\text{cm}^2\cdot h_2 &\quad \scriptsize \mid\; :50,27\,\text{cm})^2\\[5pt] 0,99\,\text{cm}&=& h_2\\[5pt] \end{array}$
$ 0,99\,\text{cm}= h_2$
Die Höhe des Flüssigkeitsstands in Zylinder $Z_2$ beträgt $0,99\,\text{cm}$. Teile die beiden Höhen durcheinander, um das Verhältnis der beiden Höhen zu berechnen.
$\dfrac{h_2}{h_1}=\dfrac{0,99\,\text{cm}}{3,98\,\text{cm}}=\dfrac{1}{4}$
Das Verhältnis der Höhen von zwei Zylindern, bei denen der Durchmesser des einen Zylinders dem doppelten des anderen Zylinders entspricht und in die das gleiche Volumen Flüssigkeit gefüllt werden, beträgt $\dfrac{1}{4}$.
#zylinder#volumen#kreis

Aufgabe 11

11.1
$\blacktriangleright$  Wertebereich der Funktion angeben
Der Wertebereich einer Funktion ist der Zahlenbereich, den die Funktion für ein beliebiges $x$ annehmen kann. Die Funktion ist eine Parabel. Sie hat bei $x=0$ ihren tiefsten Punkt und wächst rechts und links von diesem Punkt ins unendliche. Der Vorfaktor von $x^2$ ist positiv. Deshalb wächst die Funktion in den positiven, unendlichen Bereich. Die Obergrenze des Wertebereichs liegt also bei $+∞$. Die untere Grenze erhältst du, wenn du die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts der Funktion bei $x=0$ berechnest.
$y=2x^2-3=2\cdot(0)^2-3=-3$
Der niedrigste Wert, den die Funktion annehmen kann ist $-3$. Gib den Wertebereich der Funktion in einem Intervall an. Schreibe die obere und untere Grenze des Wertebereichs in eckigen Klammern. Die Klammer zeigt dabei zu den Zahlen, wenn die Zahl an der sie steht zum Intervall dazu gehört und von der Zahl abgewandt, wenn die Zahl nicht in das Intervall gehört bzw. wenn die Zahl unendlich ist.
$\mathbb{W}=[-3;+∞[$
#parabel#intervall
11.2
a)
$\blacktriangleright$  Tunnelbreite berechnen
Der Tunnel kann als Parabel dargestellt werden. Die Breite des Tunnels kannst du berechnen, wenn du die Nullstellen der Parabel berechnest und anschließend den Abstand zwischen den $x$-Koordinaten der Nullpunkte berechnest. Berechne die Nullstellen, indem du die Funktion mit $0$ gleichsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,3x^2+3,8 &\quad \scriptsize \mid\; f(x)=0 \\[5pt] 0&=&-0,3x^2+3,8 &\quad \scriptsize \mid\; -3,8 \\[5pt] -3,8&=&-0,3x^2&\quad \scriptsize \mid\; :-0,3 \\[5pt] 12,67&=&x^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \pm3,56&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x = \pm 3,56 $
Die Funktion hat zwei Nullstellen. Eine bei $x=3,56$ und einmal bei $x=-3,56$. Berechne die Breite des Tunnels, indem du die beiden $x$-Werte der Nullstellen voneinander abziehst. Das Ergebnis ist positiv und hat die Einheit $\text{m}$.
$3,56-(-3,56)=3,56+3,56$$=7,12\,\text{m}$.
Der Tunnel ist $7,12\,\text{m}$ breit.
#nullstelle#parabel
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Sicherheitsabstand überprüfen
Der LKW ist $3,00\,\text{m}$ hoch und $2,3\,\text{m}$ breit. Der Abstand zur Tunnelwand soll durchgehend höchstens $30\,\text{cm}$ betragen. Du sollst überprüfen, ob auf der gesamten Breite des LKWs der Abstand nach oben zur Tunneldecke eingehalten wird.
Der LKW fährt in der Mitte des Tunnels. Von der Mitte des Tunnels ragt der LKW $1,15\,\text{m}$ nach rechts und links. Der geringste Abstand zwischen LKW und Tunneldecke wird an den Rändern des LKWs also bei $x=\pm 1,15$ sein. Da die Funktion, die den Tunnel beschreibt eine Parabel ist, ist sie achsensymmetrisch zur Tunnelmitte. Du musst also nur eine Seite überprüfen. Berechne den $y$-Wert der Funktion bei $x=1,15$. Anschließend ziehe von deinem Ergebnis die Höhe des LKWs ab und überprüfe, ob der nötige Abstand gegeben ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -0,3x^2+3,8 &\quad \scriptsize \mid\; f(x)=0 \\[5pt] f(1,15)&=& -0,3\cdot (1,15)^2+3,8 \\[5pt] f(1,15)&=& 3,40 \\[5pt] \end{array}$
$f(1,15)=3,40$
Der Tunnel ist an der Stelle $x=1,15$ $3,40\,\text{m}$ hoch. Berechne den Abstand zwischen LKW und Tunneldecke.
$3,40\,\text{m}-3,00\,\text{m}=0,40\,\text{m}$
Der Abstand zwischen LKW und Tunneldecke beträgt $0,40\,\text{m}$. Der nötige Sicherheitsabstand ist damit eingehalten.
#achsensymmetrie

Aufgabe 12

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen und Formel überprüfen
Die Formel für den Flächeninhalt eines Achtecks lautet:
$A_A=a^2(2+2\cdot\sqrt{2})$
$A_A=a^2(2+2\cdot\sqrt{2})$
Dabei ist $a$ die Seitenlänge einer Seite. Diese Länge kannst du frei wählen. Du kannst z.B. definieren, dass $a=1\,\text{m}$ ist.
$A_A=a^2(2+2\cdot\sqrt{2})=(1\,\text{m})^2\cdot4,83=4,83\,\text{m}^2$
$A_A=4,83\,\text{m}^2$
Überprüfe, ob die gegebene Formel ebenfalls geeignet ist, um den Flächeninhalt des Achtecks zu berechnen, indem du die gewählte Seitenlänge in die Formel einsetzt und ausrechnest. Wenn sich dein Ergebnis mit dem vorher berechneten Flächeninhalt deckt, dann ist die Formel verwendbar.
$A=\dfrac{2a^2}{tan(22,5°)}=\dfrac{2\dot(1\,\text{m})^2}{0,4142}=\dfrac{2\,\text{m}^2}{0,4142}=4,83\,\text{m}^2$
$A_A=4,83\,\text{m}^2$
Die Ergebnisse sind gleich. Die angegebene Formel kann dazu verwendet werden, um den Flächeninhalt eines Achtecks zu berechnen.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen der benötigten Erde berechnen
Das Beet entspricht einem Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche. Das Volumen des Prismas berechnest du mit der Formel:
$V_P=G\cdot h$
$V_P=G\cdot h_P$
Dabei ist $h_P$ die Höhe des Prismas. $G$ ist der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche. Du kannst den Flächeninhalt eines Dreiecks mit folgender Formel berechnen:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_D$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_D$
Dabei ist $h_D$ die Höhe des Dreiecks und $c$ die Grundseite. Zur Veranschaulichung des Problems, kannst du dir eine Skizze anfertigen.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze der dreieckigen Grundfläche des Beets.
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze der dreieckigen Grundfläche des Beets.
Berechne zuerst einen Winkel des Dreiecks über den Kosinussatz. Dieser lautet:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
$a$, $b$ und $c$ sind die Seiten des Dreiecks. Der Winkel im Cosinus ist der Winkel, der der Seite links vom $=$ gegenüber liegt. Mithilfe der Skizze kannst du die Seitenlängen der Dreiecksseiten berechnen. Seite $a$ besteht aus $3$ Platten, Seite $b$ aus $2$ Platten und Seite $c$ aus $4$ Platten. Jede Platte ist $65\,\text{cm}$ lang.
$a=3\cdot65\,\text{cm}=195\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}1,95\,\text{m}$
$ a = 1,95\,\text{m} $
$b=2\cdot65\,\text{cm}=130\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}1,30\,\text{m}$
$ b = 1,30\,\text{m} $
$c=4\cdot65\,\text{cm}=260\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}2,60\,\text{m}$
$ c = 2,60\,\text{m} $
Berechne den Winkel $\alpha$.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha) &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] (1,95\,\text{m})^2&=&(1,30\,\text{m})^2+(2,60\,\text{m})^2-2\cdot1,30\,\text{m}\cdot2,60\,\text{m}\cdot \cos(\alpha)\\[5pt] 3,80\,\text{m}^2&=&1,69\,\text{m}^2+6,76\,\text{m}^2-6,76\,\text{m}^2\cdot \cos(\alpha)\\[5pt] 3,80\,\text{m}^2&=&8,45\,\text{m}^2-6,76\,\text{m}^2\cdot \cos(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; -8,45\,\text{m}^2 \\[5pt] -4,65\,\text{m}^2&=&-6,76\,\text{m}^2\cdot \cos(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; :-6,76\,\text{m}^2 \\[5pt] 0,6875&=&\cos(\alpha)&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}() \\[5pt] 46,57°&=&\alpha \\[5pt] \end{array}$
$\alpha=46,57°$
Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt $46,57°$. Wenn du in das Dreieck die Höhe einzeichnest, dann entsteht dabei ein rechtwinkliges Dreieck, indem der Winkel $\alpha$ und die Seite $b$ liegen. Du kannst die Höhe über den Sinus berechnen. Der Sinus ist definiert als:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$
Dabei ist die Gegenkathete die Seite des Dreiecks, die dem Winkel $\alpha$ gegenüber liegt, hier also die Höhe $h_D$. Die Hypothenuse ist die Grundseite des Dreiecks, hier also $b$. Berechne die Höhe $h_D$.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(46,57)&=&\dfrac{h_D}{1,30\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot1,30\,\text{m} \\[5pt] 0,7262\cdot1,30\,\text{m}&=&h_D\\[5pt] 0,94\,\text{m}&=&h_D\\[5pt] \end{array}$
$h_D=0,94\,\text{m}$
Die Höhe $h_D$ des Dreiecks beträgt $0,94\,\text{m}$. Die Höhe des Prismas $h_P$ entspricht der Höhe einer Platte, also $0,25\,\text{m}$. Berechne mit der oben angegebenen Formel das Volumen des Beets.
$\begin{array}[t]{rll} V_P&=&G\cdot h_P \\[5pt] V_P&=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_D\cdot h_P &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] V_P&=&\frac{1}{2}\cdot 2,6\,\text{m}\cdot 0,94\,\text{m}\cdot 0,25\,\text{m} \\[5pt] V_P&=&0,31\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V_P=0,31\,\text{m}^3$
Herr Meier benötigt $0,31\,\text{m}^3$ Erde, um das Beet zu befüllen.
#sinus#kosinussatz#dreieck

Aufgabe 13

13.1
a)
$\blacktriangleright$  Notendurchschnitt berechnen
Berechne den Notendurchschnitt, indem du alle Noten addierst und anschließend durch die Anzahl an Noten teilst.
$\text{Durchschnitt}=\dfrac{\text{Summe der Noten}}{\text{Anzahl der Noten}}=\dfrac{3\cdot1+3\cdot2+2\cdot3+5\cdot4+2\cdot5}{3+3+2+5+2}=\dfrac{45}{15}=3$
$\text{Durchschnitt}=3$
Der Notendurchschnitt der Leistungskontrolle beträgt $3$.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Peters Note angeben
Peters Note verändert den Notendruchschnitt, aber der Median bleibt gleich. Der Median ist der mittlere Wert, wenn du alle Noten ihrer Größe nach sortiert aufschreibst. Für die Notenverteilung der Leistungskontrolle sähe das so aus:
$1\,1\,1\,2\,2\,2\,3\,\color{#87c800}{\boldsymbol{3}}\,4\,4\,4\,4\,4\,5\,5$
Wenn sich der Median nicht ändert, dann muss er nach Einordnen der Note von Peter $3$ bleiben. Wenn die Anzahl an Messwerten eine gerade Zahl ist, dann ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Das der Median bei $3$ bleibt ist nur gegeben, wenn Peter eine Note geschrieben hat, die $3$ oder besser ist. Ansonsten würde der Median aus dem Mittelwert von $3$ und $4$ gebildet werden. Eine $3$ kann Peter nicht geschrieben haben, weil seine Note den Durchschnitt verbessert hat. Eine $3$ hätte den Durchschnitt beibehalten. Peter muss also eine $1$ oder $2$ geschrieben haben.
13.2
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für „nicht $\boldsymbol{6}$“ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, indem du die Anzahl aller günstigen Ergebnisse, hier also eine Zahl die nicht $6$ ist, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilst. Auf Toms Würfel enthält nur eine der $6$ Seiten eine $6$.
$\text{Wahrscheinlichkeit}=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}=\dfrac{5}{6}$
$\text{Wahrscheinlichkeit}=\dfrac{5}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom keine $6$ würfelt beträgt $\frac{5}{6}$.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen und Gleichheit der Chancen zeigen
Zeichne ein Baumdiagramm. Gehe von einem Punkt aus und zeichne zuerst alle Möglichkeiten für den Wurf von Tom mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Von dort aus zeichnest du alle Möglichkeiten für den Wurf von Anne mit Wahrscheinlichkeiten ein.
Wahlaufgaben
Abb. 2: Baumdiagramm von Toms und Annes Spiel. Grün markiert sind die Ergebnisse, bei denen Anne gewinnt. Rot sind die Ergebnisse, bei denen Tom gewinnt.
Wahlaufgaben
Abb. 2: Baumdiagramm von Toms und Annes Spiel. Grün markiert sind die Ergebnisse, bei denen Anne gewinnt. Rot sind die Ergebnisse, bei denen Tom gewinnt.
Um zu zeigen, dass die Gewinnchance für Tom und Anne gleich groß ist, musst du die Wahrscheinlichkeiten für jeden möglichen Ausgang des Spiels berechnen und jeweils die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg von Tom addieren und das selbe für die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg von Anne tun. Wenn die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich sind, dann ist das Spiel ausgeglichen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Ast des Baumdiagramms, indem du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Pfade, bei denen Anne das Spiel gewinnt.
$\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$
$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$
$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
In der Summe ergibt das für Annes Sieg:
$\frac{2}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Pfade, bei denen Tom das Spiel gewinnt.
$\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$
$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$
In der Summe ergibt das für Toms Sieg:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{1}{2}$
Die Wahrscheinlichkeiten für einen Sieg sind identisch. Die Chance, dass Anne gewinnt ist genauso groß wie die Chance, dass Tom gewinnt.
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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