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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 9 - Trigonometrie

9.1  Zwei Aussagen sind wahr. Gib diese an.
  1. Jedes Rechteck hat vier Symmetrieachsen.
  2. In jedem Rechteck halbieren die Diagonalen die Innenwinkel.
  3. In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
  4. Es gibt Rechtecke mit vier gleich langen Seiten.
(2P)
9.2  Alex und Benno gehen in dieselbe Schule.
Beide benötigen für den Weg zur Schule 15 Minuten.
Alex fährt mit dem Fahrrad und schafft drei Kilometer in zehn Minuten.
Benno benutzt den Schulbus, der mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $40\,\text{km/h}$ fährt.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Berechne die Länge der Straße zwischen den beiden Wohnorten.
(2P)
9.3  Ein fünfeckiges Waldstück ist $49\,\text{ha}$ groß.
Ein Teil davon wird neu bepflanzt.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
a)  Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die neu bepflanzt wird.
$\hspace{0.55cm}$Gib diesen Flächeninhalt in Hektar an.
(4P)
b)  Zeichne die Fläche, die neu bepflanzt wird, in einem geeigneten Maßstab.
(2P)
9.4  Zwischen zwei parallelen Geraden liegen ein Dreieck und ein Trapez.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Weise mit Hilfe eines selbstgewählten Beispiels rechnerisch oder durch logische Schlussfolgerungen nach, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks.
(2P)

Aufgabe 10 - Gleichungen und Funktionen

10.1  Ordne den Aussagen I und II jeweils die entsprechende Funktion zu.
  1. Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich steigend.
  2. Die Funktion hat keine Nullstelle.
A
$y=x^{-2}$mit $x\in\mathbb{R}$ und $x\neq 0$
B
$y=\sqrt{x}$mit $x\in\mathbb{R}$ und $x\geq 0$
C
$y=x^2$mit $x\in\mathbb{R}$
(2P)
10.2  Wenn das Quadrat einer Zahl um $30$ vermindert wird, ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl.
Berechne die Zahlen, für die diese Aussage gilt.
(2P)
10.3  Eine Familie muss ihre Warmwasserbereitung erneuern. Bisher wird dazu ein elektrischer Warmwasserboiler genutzt. Es kann entweder nur der Boiler ersetzt oder auf Solarkollektoren mit Zusatzheizung umgestellt werden. Dazu werden folgende Angaben zusammengestellt:
AnschaffungskostenEnergiekosten pro Jahr
neuer Warmwasserboiler$750\,€$$1.000\,€$
Solarkollektoren mit Zusatzheizung$6.000\,€$$250\,€$
Nach wie vielen Jahren werden sich die Gesamtkosten für den neuen Warmwasserboiler und die Solarkollektoren mit Zusatzheizung voraussichtlich auszugleichen?
(2P)
10.4  Gegeben sind die Funktionen
$y=f(x)=x^2+2x-2$mit $x\in\mathbb{R}$ und
$y=g(x)=x^{-1}$mit $x\in\mathbb{R}$ und$x\neq 0$.
a)  Stelle die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in ein und demselben Koordinatensystem
$\hspace{0.55cm}$graphisch dar.
(2P)

Der Scheitelpunkt von $f(x)$ ist $S$. Der Scheitelpunkt der Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ im I. Quadranten ist $A$.
Der Graph einer linearen Funktion $h(x)$ verläuft durch die Punkte $S$ und $A$.
b)  Überprüfe rechnerisch, ob $0,5$ die Nullstelle der Funktion $h(x)$ ist.
(2P)
10.5  Bei einem Parabelflug kann man in einem Flugzeug für 25 Sekunden Schwerelosigkeit erleben.

Ein Pilot berichtet:
„In 8,7 km Höhe nehme ich den Schub aus den Triebwerken und es beginnt der Parabelflug. Ab diesem Moment ist im Flugzeug alles schwerelos. Die maximale Höhe unseres Fluges beträgt 10,2 km. Nach 5,0 km in horizontaler Richtung haben wir unsere Ausgangshöhe wieder erreicht. Ich fange das Flugzeug ab und die Schwerkraft setzt wieder ein.“

Wahlaufgaben Quelle: Fotolia.com © virinaflora
Wahlaufgaben Quelle: Fotolia.com © virinaflora
Die Flugbahn kann durch eine Funktion mit der Gleichung $y=a\cdot x^2$ beschrieben werden.
Berechne den Faktor $a$.
(2P)
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Aufgabe 9

9.1 $\blacktriangleright$  Richtige Aussagen angeben
Von den folgenden vier Aussagen sind zwei Aussagen korrekt.
  • I$\quad\;\,$ Jedes Rechteck hat vier Symmetrieachsen.
  • II$\quad\;$ In jedem Rechteck halbieren die Diagonalen die Innenwinkel.
  • III$\quad$ In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
  • IV$\quad$ Es gibt Rechtecke mit vier gleich langen Seiten.
Aussage Tipp
I Versuche ein allgemeines Rechteck an vier Seiten zu spiegeln.
II Überlege dir, wie die groß die Innenwinkel bei einem Rechteck sein müssen.
III Wende den Satz des Pythagoras an.
IV Welches Rechteck hat vier gleich lange Seiten?
9.2 $\blacktriangleright$  Länge der Straße bestimmen
Alex und Benno besuchen dieselbe Schule.
  • Es ist gegeben, dass beide für den Weg zur Schule $15$ Minuten benötigen.
  • Alex schafft $3$ km in $10$ Minuten mit dem Fahrrad.
  • Benno benutzt den Schulbus, der $40 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell ist.
Bestimme im ersten Schritt die Länge der Schulwege und berechne anschließend mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Straße zwischen den Wohnorten.
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma$
Dabei sind $a$ und $b$ die Länge der Schulwege und es gelte $\gamma=51^\circ$.
9.3 a) $\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Vierecks bestimmen
Eine fünfeckige Fläche hat einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{49}$ ha. Von diesem Fünfeck wird nun eine viereckige Fläche wie in der Abbildung begrünt. Bestimme den Flächeninhalt dieses Vierecks. Du weißt, dass die gesamte Fläche $A_{ges}=49$ ha groß ist. Um den Flächeninhalt $A_V$ der grau gefärbten Flähe zu bestimmen, kannst du den Flächeninhalt des weißen Dreiecks bestimmen und diesen von den $49$ ha abziehen.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Hier sei $a=800$ m, $b=420$ m und $c=500$ m.
  • Ermittle die Größe des Winkels $\gamma$ mittels Kosinussatz
  • Berechne daraus die Höhe des Dreiecks mittels $\boldsymbol{h=b \cdot \sin(\gamma)}$
  • Benutze folgende Formel für den Flächeninhalt: $\boldsymbol{A_D=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h}$
  • Berechne schließlich den Flächeninhalt des Vierecks: $\boldsymbol{A_V=A_{ges} - A_D}$
9.3 b) $\blacktriangleright$  Fläche in geeignetem Maßstab zeichnen
Im Folgenden sollst du die viereckige Fläche, die neu bepflanzt werden soll, in in einem geeigneten Maßstab zeichnen. Betrachte zunächst die Seitenlängen des Vierecks:
  • $450$ m
  • $630$ m
  • $750$ m
  • $800$ m
Es bietet sich also an $1$ cm $\mathrel{\hat=}$ $100$ m $=$ $10.000$ cm zu wählen. Das heißt, wir wollen die neu bepflanzte Fläche in einem Maßstab $\boldsymbol{1:10.000}$ zeichnen.
9.4 $\blacktriangleright$  Nachweis Flächeninhalt Trapez - Dreieck
In der folgenden Abbildung ist ein Dreieck und ein Trapez gegeben. Beide geometrischen Figuren besitzen die Höhe $h$, sowie die Grundfläche $a$.
Wahlaufgaben
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Weise mit Hilfe eines Beispiels oder logischer Schlussfolgerungen nach, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß wie der des Dreiecks ist. Betrachte dazu die Formeln für den Flächeninhalt:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h \quad \quad A_{T}=\frac{1}{2}\cdot (g_1 + g_2) \cdot h$
Setze alle Angaben in die Formeln ein und vergleiche.

Aufgabe 10

10.1 $\blacktriangleright$  Aussagen den Funktionen zuordnen
Es sollen zwei Aussagen dem entsprechenden Schaubild zugeordnet werden.
  • I : Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich steigend.
  • II: Die Funktion hat keine Nullstelle.
Die Funktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
Graph Funktionsterm Definitionsbereich
A $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ $x \in \mathbb{R}$ und $x \neq 0$
B $y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $x \in \mathbb{R}$ und $x \geq 0$
C $y=x^2$ $x \in \mathbb{R}$
Aussage I zuordnen
Soll die Funktion im gesamten Defiitionsbereich steigend sein, so kannst du Wertetabellen der Funktionen betrachten.
Aussage II zuordnen
Soll die Funktion keine Nullstelle besitzen, so darf die Funktion niemals den Wert Null annehmen.
10.2 $\blacktriangleright$  Zahlen bestimmen, für die die Aussage gilt
Bestimme die Zahlen, für die die folgende Aussage gilt:
Wenn das Quadrat einer Zahl um $30$ vermindert wird, ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl.
Zur Vereinfachung übersetzen wir diese Bedingung in die Sprache der Mathematik: Wir nehmen an, es gibt eine solche Zahl und nennen diese $x$. Sie ist uns derzeit noch unbekannt. Nun formulieren wir die gestellten Bedingungen:
Bedingung Formulierung
Wenn das Quadrat einer Zahl $x^2$
… um $30$ vermindert wird, $x^2-30$
… ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl $x^2-30 =7 \cdot x$
Damit erhältst du eine Gleichung, die du nach $x$ auflösen kannst, um die Zahlen zu finden, für die diese gestellte Bedingung erfüllt wird.
10.3 $\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Kosten ausgleichen
Eine Familie möchte ihr Heizsystem erneuern. Es gibt die Optionen Warmwasserboiler und Solarkollektoren, welche mit Anschaffungskosten und Energiekosten pro Jahr in der folgenden Tabelle angeführt sind:
Option Anschaffungskosten Energiekosten pro Jahr
Warmwasserboiler $750$ € $1.000$ €
Solarkollektoren $6.000$ € $250$ €
Nach wie vielen Jahren werden sich die Gesamtkosten der beiden Optionen ausgleichen?
Stelle dazu für jedes Heizsystem eine Kostengleichung auf und setze diese gleich, um so gemeinsame Schnittpunkte zu bestimmen.
10.4 a) $\blacktriangleright$  Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen
Stelle die folgenden Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar:
  • $y=f(x)=x^2+2x-2 \quad \quad$ mit $x \in \mathbb{R}$
  • $y=g(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \quad \quad$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x \neq 0$
Erstelle dir dazu zunächst eine Wertetabelle und zeichne die ermittelten Punkte anschließend in ein Koordinatensystem. Verbinde diese, um den Verlauf des Graphen zu erhalten.
10.4 b) $\blacktriangleright$  Nullstelle der Funktion $\boldsymbol{h}$ überprüfen
Wir bezeichnen mit $S$ den Scheitelpunkt des Graphen zur Funktion $f$ und mit $A$ den Schnittpunkt im 1. Quadranten der beiden Graphen von $f$ und $g$.
Das Schaubild einer linearen Funktion $h$ verläuft durch diese Punkte. Das heißt, es handelt sich bei $h$ um eine Gerade und du kannst diese zur besseren Vorstellung in das Koordinatensystem einzeichnen:
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Überprüfe rechnerisch, ob $x_0=0,5$ eine Nullstelle von $h$ ist.
Dazu kannst du zunächst die Funktionsgleichung zu $h$ aufstellen und mit Null gleichsetzen. So erhältst du alle Nullstellen dieser Funktion.
10.5 $\blacktriangleright$  Faktor $\boldsymbol{a}$ berechnen
Die Flugbahn eines Flugzeuges im Parabelflug ist durch die folgende Gleichung gegeben:
$y=a \cdot x^2$
Deine Aufgabe ist es, den Faktor $a$ in der Parabelgleichung zu bestimmen. Verwende dazu die im Aufgabentext gegebenen Informationen.
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Du kannst erkennen, dass die Parabel die Punkte $P_1(2,5 \mid -1,5)$ sowie $P_2(-2,5 \mid -1,5)$ durchläuft. Da du nur einen Faktor bestimmen musst, genügt es, einen dieser Punkte einzusetzen.
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Aufgabe 9

9.1 $\blacktriangleright$  Richtige Aussagen angeben
Von den folgenden vier Aussagen sind zwei Aussagen korrekt.
  • I$\quad\;\,$ Jedes Rechteck hat vier Symmetrieachsen.
  • II$\quad\;$ In jedem Rechteck halbieren die Diagonalen die Innenwinkel.
  • III$\quad$ In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
  • IV$\quad$ Es gibt Rechtecke mit vier gleich langen Seiten.
Aussage Begründung
I Diese Aussage ist im Allgemeinen falsch. Ein Rechteck hat nur zwei Symmetrieachsen, an der es gespiegelt werden kann, sodass das ursprüngliche Rechteck erhalten bleibt. Liegt jedoch ein Quadrat vor, so sind die Diagonalen ebenfalls Symmetrieachsen. In diesem Fall würde die Aussage stimmen.
II Diese Aussage ist im Allgemeinen falsch. Ist das Rechteck besonders breit bzw. hoch, so werden die Innenwinkel nicht mittig geteilt. Das ist nur der Fall, wenn es sich um ein Rechteck mit gleich langen Seiten - also einem Quadrat - handelt.
III Diese Aussage ist wahr. Da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks immer gleich lang sind, folgt mit dem Satz des Pythagoras, dass die Diagonalen im Rechteck gleich lang sein müssen.
IV Diese Aussage ist wahr. Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten wäre beispielsweise ein Quadrat.
Die Aussagen III und IV sind richtig.
9.2 $\blacktriangleright$  Länge der Straße bestimmen
Alex und Benno besuchen dieselbe Schule.
  • Es ist gegeben, dass beide für den Weg zur Schule $15$ Minuten benötigen.
  • Alex schafft $3$ km in $10$ Minuten mit dem Fahrrad.
  • Benno benutzt den Schulbus, der $40 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell ist.
Bestimme im ersten Schritt die Länge der Schulwege und berechne anschließend mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Straße zwischen den Wohnorten.
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma$
Dabei sind $a$ und $b$ die Länge der Schulwege und es gelte $\gamma=51^\circ$.
Länge Schulweg Benno:
Wir wissen, dass Benno $15$ Minuten zur Schule benötigt und der Schulbus eine Geschwindigkeit von $40 \frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat. Rechne die $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in km pro Minute um und multipliziere mit $15$ Minuten. Dadurch erhältst du den Weg in km.
$\begin{array}[t]{rll} 40 \frac{\text{km}}{\text{h}}&=&\frac{40}{60} \frac{\text{km}}{\text{min}}&=&0,67 \frac{\text{km}}{\text{min}}\\ \end{array}$
Multiplizieren mit $15$ Minuten liefert:
$0,67 \frac{\text{km}}{\text{min}} \cdot 15 \text{ min} = 10 \text{ km}$
Bennos Schulweg beträgt $\boldsymbol{10}$ km.
Länge Schulweg Alex:
Wir wissen, dass Alex $15$ Minuten zur Schule benötigt und in $10$ Minuten $3$ km schafft. Berechne mittels Dreisatz, welche Strecke er mit dem Rad in einer Minute zurücklegt und multipliziere mit $15$, um die Strecke nach $15$ Minuten zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{3}{10} \frac{\text{km}}{\text{min}}&=&0,3 \frac{\text{km}}{\text{min}}\\ \end{array}$
Multiplizieren mit $15$ Minuten liefert:
$0,3 \frac{\text{km}}{\text{min}} \cdot 15 \text{ min} = 4,5 \text{ km}$
Bennos Schulweg beträgt $\boldsymbol{4,5}$ km.
Kosinussatz anwenden:
Mithilfe des Kosinussatzes kannst du nun den Abstand zwischen den Wohnorten von Alex und Benno ermitteln.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\mid\; \scriptsize \sqrt{(…)}\\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma}\\[5pt] c&=&\sqrt{(10)^2+(4,5)^2-2\cdot 10 \cdot 4,5 \cdot \cos\;(51^\circ)}\\[5pt] c&\approx&8\\ \end{array}$
Die Straße zwischen den Wohnorten ist etwa $\boldsymbol{8}$ km lang.
9.3 a) $\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Vierecks bestimmen
Eine fünfeckige Fläche hat einen Flächeninhalt von $\boldsymbol{49}$ ha. Von diesem Fünfeck wird nun eine viereckige Fläche wie in der Abbildung begrünt. Bestimme den Flächeninhalt dieses Vierecks. Du weißt, dass die gesamte Fläche $A_{ges}=49$ ha groß ist. Um den Flächeninhalt $A_V$ der grau gefärbten Flähe zu bestimmen, kannst du den Flächeninhalt des weißen Dreiecks bestimmen und diesen von den $49$ ha abziehen.
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Hier sei $a=800$ m, $b=420$ m und $c=500$ m.
  • Ermittle die Größe des Winkels $\gamma$ mittels Kosinussatz
  • Berechne daraus die Höhe des Dreiecks mittels $\boldsymbol{h=b \cdot \sin(\gamma)}$
  • Benutze folgende Formel für den Flächeninhalt: $\boldsymbol{A_D=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h}$
  • Berechne schließlich den Flächeninhalt des Vierecks: $\boldsymbol{A_V=A_{ges} - A_D}$
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma}$ ermitteln
Mithilfe des Kosinussatzes kannst du nun die Größe des Winkels $\gamma$ ermitteln.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\mid\; \scriptsize -c^2\\[5pt] 0&=&a^2+b^2-c^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\mid\; \scriptsize +2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma\\[5pt] 2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&=&a^2+b^2-c^2&\mid\; \scriptsize :2\cdot a \cdot b\\[5pt] \cos\;\gamma&=&\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a \cdot b}&\\[5pt] \cos\;\gamma&=&\frac{800^2+420^2-500^2}{2 \cdot 800 \cdot 420}\\[5pt] \cos\;\gamma&\approx&0,823&\mid\; \scriptsize \cos^{-1}\\[5pt] \gamma&\approx&\cos^{-1}(0,823)\approx 32,5^\circ\\[5pt] \end{array}$
Die Größe des Winkels beträgt etwa $\boldsymbol{32,5^\circ}$.
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Um den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks zu berechnen, benötigst du noch die Höhe. Berechne diese wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&b \cdot \sin\;\gamma&\\[5pt] &=&420 \cdot \sin\;(32,5^\circ)&\\[5pt] &\approx&225,67&\\ \end{array}$
Damit kannst du im nächsten Schritt den Flächeninhalt berechnen.
3. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_D}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2} \cdot a \cdot h&\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot 800 \cdot 225,67&\\[5pt] &=&90.226,3&\\ \end{array}$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $\boldsymbol{90.226,3}$ m$^2$ bzw. ungefähr $\boldsymbol{9}$ ha.
4. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_V}$ berechnen
Du kannst den Flächeninhalt des Vierecks berechnen, indem du vom gesamten Flächeninhalt den Flächeninhalt $A_D$ des Dreiecks abziehst:
$A_V=A_{ges}-A_D=49-9=40$
Die zu begrünende Fläche ist folglich $\boldsymbol{40}$ ha groß.
9.3 b) $\blacktriangleright$  Fläche in geeignetem Maßstab zeichnen
Im Folgenden sollst du die viereckige Fläche, die neu bepflanzt werden soll, in in einem geeigneten Maßstab zeichnen. Betrachte zunächst die Seitenlängen des Vierecks:
  • $450$ m
  • $630$ m
  • $750$ m
  • $800$ m
Es bietet sich also an $1$ cm $\mathrel{\hat=}$ $100$ m $=$ $10.000$ cm zu wählen. Das heißt, wir wollen die neu bepflanzte Fläche in einem Maßstab $\boldsymbol{1:10.000}$ zeichnen. Umrechnen liefert dir dadurch die neuen Längen:
  • $450$ m $\mathrel{\hat=}$ $4,50$ cm
  • $630$ m $\mathrel{\hat=}$ $6,30$ cm
  • $750$ m $\mathrel{\hat=}$ $7,50$ cm
  • $800$ m $\mathrel{\hat=}$ $8,00$ cm
Diese kannst du nun einzeichnen. Beginne mit den Seiten, die an den rechten Winkel angrenzen. Anschließend kannst du mit Hilfe eines Zirkels die beiden anderen Seiten abtragen:
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9.4 $\blacktriangleright$  Nachweis Flächeninhalt Trapez - Dreieck
In der folgenden Abbildung ist ein Dreieck und ein Trapez gegeben. Beide geometrischen Figuren besitzen die Höhe $h$, sowie die Grundfläche $a$.
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Weise mit Hilfe eines Beispiels oder logischer Schlussfolgerungen nach, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß wie der des Dreiecks ist. Betrachte dazu die Formeln für den Flächeninhalt:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h \quad \quad A_{T}=\frac{1}{2}\cdot (g_1 + g_2) \cdot h$
Setze alle Angaben in die Formeln ein und vergleiche.
Flächeinhalt Dreieck
Die Grundseite $g$ des Dreiecks beträgt $a$, die Höhe ist durch $h$ gegeben. Durch Einsetzen in die Flächeninhaltsformel für Dreiecke erhältst du den folgenden Flächeninhalt:
$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h$
Flächeinhalt Trapez
Ein Trapez besitzt zwei Grundseiten $g_1$ sowie $g_2$. Das sind gerade die parallelen Seiten. Die Höhe ist ebenfalls durch $h$ gegeben. Durch Einsetzen in die Flächeninhaltsformel für Trapeze erhältst du den folgenden Flächeninhalt:
$A_{T}=\frac{1}{2}\cdot (a + 2a) \cdot h = \frac{3}{2}\cdot a \cdot h$
Vergleich von Dreieck und Trapez
Vergleichst du nun beide Flächeinhalte, so kannst du erkennen, dass sich diese gerade um die Faktoren $\frac{1}{2}$ bzw. $\frac{3}{2}$ unterscheiden. Es gilt damit:
$3 \cdot A_{\Delta}=3 \cdot \frac{1}{2}\cdot a \cdot h = \frac{3}{2}\cdot a \cdot h = A_T$
So hast du gezeigt, dass $\boldsymbol{3 \cdot A_{\Delta}=A_T}$ gilt und ein solches Trapez dreimal so groß wie das Dreieck ist.

Aufgabe 10

10.1 $\blacktriangleright$  Aussagen den Funktionen zuordnen
Es sollen zwei Aussagen dem entsprechenden Schaubild zugeordnet werden.
  • I : Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich steigend.
  • II: Die Funktion hat keine Nullstelle.
Die Funktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
Graph Funktionsterm Definitionsbereich
A $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ $x \in \mathbb{R}$ und $x \neq 0$
B $y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $x \in \mathbb{R}$ und $x \geq 0$
C $y=x^2$ $x \in \mathbb{R}$
Aussage I zuordnen
Soll die Funktion im gesamten Defiitionsbereich steigend sein, so kannst du Wertetabellen der Funktionen betrachten:
Graph Funktionsterm $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$
A $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ $\frac{1}{4}$ $1$ $-$ $1$ $\frac{1}{4}$
B $y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $-$ $-$ $0$ $1$ $\sqrt{2}$
C $y=x^2$ $4$ $1$ $0$ $1$ $4$
Du kannst erkennen, dass nur der Graph B steigende Werte besitzt. Damit gehört Aussage I zum Schaubild B.
Aussage II zuordnen
Soll die Funktion keine Nullstelle besitzen, so darf die Funktion niemals den Wert Null annehmen. Anhand der zuvor betrachteten Wertetabellen kannst du erkennen, dass Schaubild B und C den Wert Null annehmen. Für A ist die Funktion dort nicht definiert $(x \neq 0)$, da nicht durch Null geteilt werden darf.
Damit gehört Graph A zur Aussage II.
10.2 $\blacktriangleright$  Zahlen bestimmen, für die die Aussage gilt
Bestimme die Zahlen, für die die folgende Aussage gilt:
Wenn das Quadrat einer Zahl um $30$ vermindert wird, ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl.
Zur Vereinfachung übersetzen wir diese Bedingung in die Sprache der Mathematik: Wir nehmen an, es gibt eine solche Zahl und nennen diese $x$. Sie ist uns derzeit noch unbekannt. Nun formulieren wir die gestellten Bedingungen:
Bedingung Formulierung
Wenn das Quadrat einer Zahl $x^2$
… um $30$ vermindert wird, $x^2-30$
… ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl $x^2-30 =7 \cdot x$
Damit erhältst du eine Gleichung, die du nach $x$ auflösen kannst, um die Zahlen zu finden, für die diese gestellte Bedingung erfüllt wird.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-30&=&7 \cdot x&& \mid \; \scriptsize -7 \cdot x\\[5pt] 0&=&x^2-7 \cdot x-30\\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe der $\boldsymbol{pq}$-Formel auflösen. Es gilt: $\boldsymbol{p=-7}$ und $\boldsymbol{q=-30}$.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2 - q}&& \; \scriptsize p=-7,\quad q=-30 \\[5pt] &=&-\frac{-7}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-7}{2}\right)^2 - (-30)}\\[5pt] &=&\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \frac{49}{4} + 30}\\[5pt] &=&\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \frac{49}{4} + \frac{120}{4}}\\[5pt] &=&\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \frac{169}{4}}\\[5pt] &=&\frac{7}{2} \pm \frac{13}{2}\\[5pt] x_{1}&=&\frac{7}{2} + \frac{13}{2}=\frac{20}{2}=10\\[5pt] x_{2}&=&\frac{7}{2} - \frac{13}{2}=-\frac{6}{2}=-3\\ \end{array}$
Das liefert dir, dass die Gleichung für $\boldsymbol{x_1=10}$ und $\boldsymbol{x_2=-3}$ erfüllt wird.
10.3 $\blacktriangleright$  Zeitpunkt bestimmen, an dem sich die Kosten ausgleichen
Eine Familie möchte ihr Heizsystem erneuern. Es gibt die Optionen Warmwasserboiler und Solarkollektoren, welche mit Anschaffungskosten und Energiekosten pro Jahr in der folgenden Tabelle angeführt sind:
Option Anschaffungskosten Energiekosten pro Jahr
Warmwasserboiler $750$ € $1.000$ €
Solarkollektoren $6.000$ € $250$ €
Nach wie vielen Jahren werden sich die Gesamtkosten der beiden Optionen ausgleichen?
Stelle dazu für jedes Heizsystem eine Kostengleichung auf und setze diese gleich, um so gemeinsame Schnittpunkte zu bestimmen.
1. Schritt: Kostengleichungen aufstellen
Der Warmwasserboiler kostet jährlich $1.000$ €, es kommen einmalige Anschaffungskosten von $750$ € hinzu:
$W(x)=1.000 \cdot x + 750$
Genauso kannst du die Kosten der Solarzellen angeben. Diese kosten jährlich nur $250$ €, haben dafür aber Anschaffungskosten im Wert von $6.000$ €:
$S(x)=250 \cdot x + 6.000$
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Um herauszufinden, wann sich die Kosten ausgleichen, kannst du beide Gleichungen gleichsetzen und nach der Variable $x$ auflösen. Diese gibt dir schließlich das Jahr an, in dem die Kosten ausgeglichen sind.
$\begin{array}[t]{rll} W(x)&=&S(x)&\\[5pt] 1.000 \cdot x + 750&=&250 \cdot x + 6.000& \mid \; \scriptsize - 250\cdot x - 750\\[5pt] 750 \cdot x &=&5.250& \mid \; \scriptsize :750\\[5pt] x &=&7& \\ \end{array}$
Nach $\boldsymbol{7}$ Jahren haben sich die Kosten ausgeglichen.
10.4 a) $\blacktriangleright$  Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen
Stelle die folgenden Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch dar:
  • $y=f(x)=x^2+2x-2 \quad \quad$ mit $x \in \mathbb{R}$
  • $y=g(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \quad \quad$ mit $x \in \mathbb{R}$ und $x \neq 0$
Erstelle dir dazu zunächst eine Wertetabelle und zeichne die ermittelten Punkte anschließend in ein Koordinatensystem. Verbinde diese, um den Verlauf des Graphen zu erhalten.
$x$ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f(x)$ $6$ $1$ $-2$ $-3$ $-2$ $1$ $6$ $13$ $22$
$g(x)$ $-\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{4}$
Zeichne die Punkte ein und verbinde. Die Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$ sollten dann folgendermaßen aussehen:
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
10.4 b) $\blacktriangleright$  Nullstelle der Funktion $\boldsymbol{h}$ überprüfen
Wir bezeichnen mit $S$ den Scheitelpunkt des Graphen zur Funktion $f$ und mit $A$ den Schnittpunkt im 1. Quadranten der beiden Graphen von $f$ und $g$.
Das Schaubild einer linearen Funktion $h$ verläuft durch diese Punkte. Das heißt, es handelt sich bei $h$ um eine Gerade und du kannst diese zur besseren Vorstellung in das Koordinatensystem einzeichnen:
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Überprüfe rechnerisch, ob $x_0=0,5$ eine Nullstelle von $h$ ist.
Dazu kannst du zunächst die Funktionsgleichung zu $h$ aufstellen und mit Null gleichsetzen. So erhältst du alle Nullstellen dieser Funktion.
1. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet:
$h(x)=a \cdot x +b$
Du kannst die Gleichung also ermitteln, indem du die beiden gegebenen Punkte $S(-1 \mid -3)$ und $A(1 \mid 1)$ ind die allgemeine Gleichung einsetzt und so die Parameter $a$ und $b$ bestimmst.
Einsetzen der Koordinaten liefert dir das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{rrlll} I&&-3&=&a \cdot (-1) + b&\mid \; \scriptsize +II\\[5pt] II&&1&=&a \cdot 1 + b\\[5pt] \hline Ia&&-2&=& 2b&\mid \; \scriptsize :2\\[5pt] II&&1&=&a \cdot 1 + b\\[5pt] \hline Ib&&-1&=& b&\\[5pt] II&&1&=&a \cdot 1 + b& \;\scriptsize b=-1\\[5pt] \hline Ib&&-1&=& b&\\[5pt] IIa&&1&=&a + -1& \mid\;\scriptsize +1\\[5pt] \hline Ib&&-1&=& b&\\[5pt] IIa&&2&=&a & \\ \end{array}$
Du erhältst die Lösungen $\boldsymbol{a=2}$ und $\boldsymbol{b=-1}$. Setze diese in die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion, um die Funktionsgleichung von $h$ zu erhalten:
$h(x)=a \cdot x +b=2 \cdot x -1$
2. Schritt: Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{h}$ ermitteln
Für Nullstellen einer Funktion muss $\boldsymbol{h(x)=0}$ gelten. Setze die Funktionsgleichung mit Null gleich und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&h(x)\\[5pt] 0&=&2 \cdot x -1&\mid \; \scriptsize +1\\[5pt] 1&=&2 \cdot x &\mid \; \scriptsize :2\\[5pt] \frac{1}{2}&=&x &\\ \end{array}$
Die Funktion $h$ besitzt die Nullstelle $\boldsymbol{x_0=\frac{1}{2}}$, wie gezeigt werden sollte.
10.5 $\blacktriangleright$  Faktor $\boldsymbol{a}$ berechnen
Die Flugbahn eines Flugzeuges im Parabelflug ist durch die folgende Gleichung gegeben:
$y=a \cdot x^2$
Deine Aufgabe ist es, den Faktor $a$ in der Parabelgleichung zu bestimmen. Verwende dazu die im Aufgabentext gegebenen Informationen.
Wahlaufgaben
Wahlaufgaben
Du kannst erkennen, dass die Parabel die Punkte $P_1(2,5 \mid -1,5)$ sowie $P_2(-2,5 \mid -1,5)$ durchläuft. Da du nur einen Faktor bestimmen musst, genügt es, einen dieser Punkte einzusetzen. Wir setzen im Folgenden die Koordinaten des Punktes $P_1$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} -1,5&=&a \cdot (2,5)^2\\[5pt] -1,5&=&a \cdot 6,25&\mid \; \scriptsize :6,25\\[5pt] -0,24&=&a&\\ \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{a=-0,24}$ und die Parabelgleichung lautet: $y=-0,24 \cdot x^2$.
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