Wahlaufgaben

Wahlaufgabe Trigonometrie

9.1

Zwei Aussagen sind wahr. Gib diese an.

Jedes Rechteck hat vier Symmetrieachsen.
In jedem Rechteck halbieren die Diagonalen die Innenwinkel.
In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
Es gibt Rechtecke mit vier gleich langen Seiten.

2 BE

9.2

Alex und Benno gehen in dieselbe Schule.
Beide benötigen für den Weg zur Schule 15 Minuten.
Alex fährt mit dem Fahrrad und schafft drei Kilometer in zehn Minuten.
Benno benutzt den Schulbus, der mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $40\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt.

Skizze nicht maßstäblich

Berechne die Länge der Straße zwischen den beiden Wohnorten.

2 BE

9.3

Ein fünfeckiges Waldstück ist $49\,\text{ha}$ groß.
Ein Teil davon wird neu bepflanzt.

Skizze nicht maßstäblich

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die neu bepflanzt wird.
Gib diesen Flächeninhalt in Hektar an.

4 BE

Zeichne die Fläche, die neu bepflanzt wird, in einem geeigneten Maßstab.

2 BE

9.4

Zwischen zwei parallelen Geraden liegen ein Dreieck und ein Trapez.

Skizze nicht maßstäblich

Weise mithilfe eines selbstgewählten Beispiels rechnerisch oder durch logische Schlussfolgerungen nach, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks.

2 BE

Wahlaufgabe Gleichungen und Funktionen

10.1

Ordne den Aussagen 1 und 2 jeweils die entsprechende Funktion zu.

Der Graph der Funktion ist im gesamten Definitionsbereich steigend.
Die Funktion hat keine Nullstelle.

A	$y=x^{-2}$	mit $x\in\mathbb{R}$ und $x\neq 0$
B	$y=\sqrt{x}$	mit $x\in\mathbb{R}$ und $x\geq 0$
C	$y=x^2$	mit $x\in\mathbb{R}$

2 BE

10.2

Wenn das Quadrat einer Zahl um 30 vermindert wird, ergibt sich das Siebenfache dieser Zahl.

Berechne die Zahlen, für die diese Aussage gilt.

2 BE

10.3

Eine Familie muss ihre Warmwasserbereitung erneuern. Bisher wird dazu ein elektrischer Warmwasserboiler genutzt. Es kann entweder nur der Boiler ersetzt oder auf Solarkollektoren mit Zusatzheizung umgestellt werden. Dazu werden folgende Angaben zusammengestellt:

	Anschaffungs- kosten	Energie- kosten pro Jahr
neuer Warmwasserboiler	$750\,€$	$1\,000\,€$
Solarkollektoren mit Zusatzheizung	$6\,000\,€$	$250\,€$

Nach wie vielen Jahren werden sich die Gesamtkosten für den neuen Warmwasserboiler und die Solarkollektoren mit Zusatzheizung voraussichtlich auszugleichen?

2 BE

10.4

Gegeben sind die Funktionen

$y=f(x)=x^2+2x-2$ mit $x\in\mathbb{R}$ und

$y=g(x)=x^{-1}$ mit $x\in\mathbb{R}$ und $x\neq 0.$

Stelle die Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in ein und demselben Koordinatensystem grafisch dar.

2 BE

Der Scheitelpunkt von $f(x)$ ist $S.$ Der Schnittpunkt der Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ im I. Quadranten ist $A.$
Der Graph einer linearen Funktion $h(x)$ verläuft durch die Punkte $S$ und $A$ .

Überprüfe rechnerisch, ob $0,5$ die Nullstelle der Funktion $h(x)$ ist.

2 BE

10.5

Bei einem Parabelflug kann man in einem Flugzeug für 25 Sekunden Schwerelosigkeit erleben.

Ein Pilot berichtet:
„In 8,7 km Höhe nehme ich den Schub aus den Triebwerken und es beginnt der Parabelflug. Ab diesem Moment ist im Flugzeug alles schwerelos. Die maximale Höhe unseres Fluges beträgt 10,2 km. Nach 5,0 km in horizontaler Richtung haben wir unsere Ausgangshöhe wieder erreicht. Ich fange das Flugzeug ab und die Schwerkraft setzt wieder ein.“

Skizze nicht maßstäblich

Die Flugbahn kann durch eine Funktion mit der Gleichung $y=a\cdot x^2$ beschrieben werden.

Berechne den Faktor $a$ .

2 BE

9.1

Die 1. Aussage ist falsch.
Ein Rechteck hat im Allgemeinen nur zwei Symmetrieachsen, an der es gespiegelt werden kann, sodass das ursprüngliche Rechteck erhalten bleibt.

Die 2. Aussage ist falsch.
Sind im Rechteck nicht alle Seiten gleich lang, so werden die Innenwinkel nicht mittig geteilt.

Die 3. Aussage ist wahr.
Da die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks immer gleich lang sind, folgt mit dem Satz des Pythagoras, dass die Diagonalen im Rechteck gleich lang sein müssen.

Die 4. Aussage ist wahr.
Da jedes Quadrat auch die Eigenschaften eines Rechtecks erfüllt, ist ein Quadrat auch ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Die Aussagen 3 und 4 sind richtig.

9.2

Länge Schulweg Alex

$:10$

$\cdot 15$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 10\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 3\,\text{km}\\[5pt] 1\,\text{min}& \mathrel{\widehat{=}}& 0,3\,\text{km}\\[5pt] 15\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 4,5\,\text{km} \end{array}$

$:10$

$\cdot 15$

Alex Schulweg ist 4,5 km lang.

Länge Schulweg Benno

$:60$

$\cdot 15$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 60\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 40\,\text{km}\\[5pt] 1\,\text{min}& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{2}{3}\,\text{km}\\[5pt] 15\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 10\,\text{km} \end{array}$

$:60$

$\cdot 15$

Bennos Schulweg ist 10 km lang.

Kosinussatz anwenden

Mit dem Kosinussatz kann nun der Abstand zwischen den Wohnorten von Alex und Benno ermittelt werden.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos 51° \quad \mid\; \scriptsize \sqrt{\,}\\[5pt] s&=&\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos 51°}\\[5pt] s&\approx& 8\,\text{km} \\ \end{array}$

Die Straße zwischen den Wohnorten ist etwa 8 km lang.

9.3

Der Flächeninhalt der neu zu befplanzenden Fläche kann berechnet werden, indem der Flächeninhalt der Fläche, die nicht neu bepflanzt werden soll, vom Flächeninhalt des gesamten Waldstücks abgezogen wird.

Dazu wird zunächst der Winkel $\beta$ mit dem Kosinussatz berechnet:

Rechenweg anzeigen

$\beta \approx 26,87°$

Damit kann der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot c\cdot a\cdot \sin\beta \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 800\,\text{m}\cdot 500\,\text{m} \cdot \sin 26,87° \\[5pt] &\approx& 90\,394 \,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 9\,\text{ha} \end{array}$

Der Flächeninhalt der neu zu beflanzenden Fläche beträgt damit:

$A\approx49\,\text{ha}-9\,\text{ha}=40\,\text{ha}$

Es bietet sich an, den Maßstab $1:10\,000$ zu wählen. Dadurch ergeben sich die folgenden Längen:

$450\,\text{m}\mathrel{\hat=}4,5\,\text{cm}$
$630\,\text{m}\mathrel{\hat=}6,3\,\text{cm}$
$750\,\text{m}\mathrel{\hat=}7,5\,\text{cm}$
$800\,\text{m}\mathrel{\hat=}8,0\,\text{cm}$

Das Viereck kann wie folgt konstruiert werden: Zuerst werden die Seiten eingezeichnet, die an den rechten Winkel angrenzen. Anschließend können mithilfe eines Zirkels die beiden anderen Seiten abtragen werden.

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

9.4

Das Dreieck und das Trapez besitzen die gleiche Höhe $h$ sowie die Grundfläche $a.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:

$A_{\Delta}=\dfrac{a\cdot h}{2}$

Für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_T&=& \dfrac{a+2a}{2}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{3a}{2}\cdot h \\[5pt] &=& 3\cdot \dfrac{a\cdot h}{2} \\[5pt] &=&3\cdot A_{\Delta} \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks ist.

10.1

Aussage 1 zuordnen

Skizze

Es lässt sich erkennen, dass nur der Graph B im gesamten Definitionsbereich steigende Werte besitzt. Damit gehört Aussage 1 zu B.

Aussage 2 zuordnen

Die Graphen der Fuktionen B und C haben jeweils eine Nullstelle an der Stelle $x=0.$ Der Graph der Funktion A hat dagegen keine Nullstelle.

Damit gehört A zur Aussage 2.

10.2

Die Aussage führt auf die folgende Gleichung:

$x^2-30=7x$

Umstellen dieser Gleichung liefert:

$x^2-7x-30=0$

Es gilt also $p=-7$ und $q=-30.$ Die Nullstellen können nun mit der Lösungsformel berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{p}{2}\right)^2 - q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left( -\dfrac{7}{2}\right)^2 - (-30)}\\[5pt] &=&\dfrac{7}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{169}{4}}\\[5pt] &=&\dfrac{7}{2} \pm \dfrac{13}{2}\\[5pt] x_{1}&=&\dfrac{7}{2} + \dfrac{13}{2}=\dfrac{20}{2}=10\\[5pt] x_{2}&=&\dfrac{7}{2} - \dfrac{13}{2}=-\dfrac{6}{2}=-3\\ \end{array}$

Die Aussage gilt für die Zahlen -3 und 10.

10.3

Für die beiden Warmwasserbereitungen wird jeweils eine Gleichung aufgestellt. Dabei beschreibt $y$ die Gesamtkosten und $x$ die Anzahl der Jahre.

Kostengleichung für den neuen Warmwasserboiler:

$y_1=1\,000\, € \cdot x+750 \,€$

Kostengleichung für die Solarkollektoren mit Zusatzheizung:

$y_2=250 \,€ \cdot x+6\,000 \,€$

Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert die Anzahl der Jahre, nach denen die Kosten gleich sind:

Rechenweg anzeigen

$x=7$

Nach 7 Jahren haben sich die Kosten ausgeglichen.

10.4

Die Funktion $f(x)$ ist eine verschobene Normalparabel. Um diese grafisch darzustellen, wird der Scheitelpunkt berechnet.

$y=f(x)=x^2+2x-2$

Es gilt $p=2$ und $q=-2.$

$S\left(-\dfrac{p}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{p^2}{4}+q\right)$
$S\left(-\dfrac{2}{2}\,\bigg \vert \,-\dfrac{2^2}{4}-2\right)$

$S(-1\mid -3)$

Für die Funktion $g(x)$ wird eine Wertetabelle angelegt.

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{g(x)}$
$-4$	$-\dfrac{1}{4}$
$-3$	$-\dfrac{1}{3}$
$-2$	$-\dfrac{1}{2}$
$-1$	$-1$
$0$	$-$
$1$	$1$
$2$	$\dfrac{1}{2}$
$3$	$\dfrac{1}{3}$
$4$	$\dfrac{1}{4}$

Damit können nun die beiden Funktionen grafisch dargestellt werden.

Zunächst muss die Funktionsgleichung der Funktion $h(x)$ aufgestellt werden.

Grafisches Aufstellen der Geradengleichung

Aus der Skizze lassen sich die folgenden Werte ablesen:

Steigung: $m=\dfrac{2}{1}=2$

$y$ -Achsenabschnitt: $n=-1$

Damit ergibt sich die Geradengleichung:

$y=h(x)=2x-1$

Rechnerisches Aufstellen der Geradengleichung

$\mathrm{m}=\dfrac{y_S-y_A}{x_S-x_A}=\dfrac{-3-1}{-1-1}=\dfrac{-4}{-2}=2$

Die Geradengleichung hat also die Form $y=2x+n.$ Einsetzen der Koordinaten von $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -3&=& 2\cdot (-1)+n \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] -1&=& n \end{array}$

Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=h(x)=2x-1.$

Nun muss noch überprüft werden, ob 0,5 eine Nullstelle der Funktion $h(x)$ ist. Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,5\cdot 2-1 \\[5pt] &=& 1-1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Folglich ist 0,5 eine Nullstelle der Funktion $h(x).$

10.5

Um den Faktor $a$ zu bestimmen wird ein Punkt auf der Parabel bestimmt und in die Parabelgleichung eingesetzt.

Skizze

In der Skizze lässt sich erkennen, dass die Parabel den Punkt $P(2,5 \mid -1,5)$ durchläuft. Einsetzen der Koordinaten des Punktes $P$ in die Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -1,5&=&a \cdot (2,5)^2\\[5pt] -1,5&=&a \cdot 6,25 \mid \; \scriptsize :6,25\\[5pt] -0,24&=&a&\\ \end{array}$

Es gilt $a=-0,24$ und die Parabelgleichung lautet: $y=-0,24 \cdot x^2$ .