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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

In dem Diagramm ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Käse in Deutschland aus dem Jahr 2012 dargestellt.
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
a)  Berechne den prozentualen Anteil von Hartkäse am gesamten Pro-Kopf-Verbrauch von Käse im Jahr 2012.
(1P)
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse ist vom Jahr 2000 bis zum Jahr 2012 um $28,8\,\%$ angestiegen.
b)  Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse für das Jahr 2000.
(2P)
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse steigt jährlich etwa um $3,5\,\%$.
c)  Berechne den voraussichtlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse im Jahr 2015.
(1P)

Aufgabe 2

Die Pilatusbahn in der Schweiz ist die steilste Zahnradbahn der Welt. Sie beginnt an der Station Alpnachstad ($440\,\text{m}$ ü. NN) und endet nach $4,8\,\text{km}$ an der Station Pilatus Kulm ($2.073\,\text{m}$ ü. NN).
Berechne den durchschnittlichen Anstiegswinkel der Pilatusbahn von Alpnachstad nach Pilatus Kulm.
(2P)

Aufgabe 3

Ein Kegel hat einen Radius von $4,5\,\text{cm}$ und ist $6,0\,\text{cm}$ hoch.
a)  Berechne den Oberflächeninhalt dieses Kegels.
(2P)
Ein Zylinder ist $10\,\text{cm}$ hoch und hat den Radius $r$. Sein Volumen ist sechsmal so groß wie das Volumen eines Kegels mit dem gleichen Radius.
b)  Ermittle die Höhe des Kegels.
(1P)

Aufgabe 4

Gegeben ist die Funktion $y=f(x)=x^2+6x+5$ mit $x\in \mathbb{R}$.
a)  Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem graphisch dar und berechne die Nullstellen von $f(x)$.
(2P)
Der Graph einer linearen Funktion $g(x)$ verläuft durch den Scheitelpunkt $S$ der Funktion $f(x)$ und durch den Punkt $P(0\mid 5)$.
b)  Gib die Funktionsgleichung von $g(x)$ an.
(1P)

Aufgabe 5

In einem Dreieck ist die längste Seite $8,4\,\text{cm}$ lang.
Eine weitere Seite hat eine Länge von $4,3\,\text{cm}$.
Ein Innenwinkel ist $102°$ groß.
Berechne die Länge der dritten Seite.
(2P)

Aufgabe 6

Löse die Gleichung.
$4(2x-5)=\dfrac{1}{2}x+10$
(2P)

Aufgabe 7

In einem Behälter sind insgesamt 18 Kugeln.
Es sind rote und blaue Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel beträgt $\dfrac{2}{3}$.
a)  Gib die Anzahl der roten Kugeln an.
(1P)
In einem anderen Behälter (siehe Abbildung) befinden sich weiße und schwarze Kugeln.
b)  Gib die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel an.
(1P)
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
c)  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen, zwei schwarze Kugeln zu ziehen.
(1P)

Aufgabe 8

Die Länge einer unzugänglichen Strecke $\overline{AB}$ im Gelände soll bestimmt werden.
Dazu wurden die in der Skizze angegebenen Werte ermittelt.
a)  Berechne die Länge der Strecke $\overline{AB}$.
(2P)
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
Vier Schüler einer 10. Klasse haben durch Konstruktion für die Länge der Strecke $\overline{AB}$ folgende Werte bestimmt:
$190\,\text{m}$, $186\,\text{m}$, $192\,\text{m}$ und $188\,\text{m}$.
b)  Um wie viel Meter weicht die berechnete Länge der Strecke $\overline{AB}$ vom Mittelwert der Schülerergebnisse ab?
(1P)
c)  Zeichne das Dreieck $ABC$ im Maßstab $1:2.000$.
(2P)
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Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$  Bestimme den Anteil von Hartkäse
In einem Diagramm ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Käse in Deutschland in kg angegeben. Du sollst den prozentualen Anteil von Hartkäse bestimmen.
Der prozentuale Anteil ist:
$p\% = 100\% \cdot \dfrac{\text{Hartkäse}}{\text{Gesamter Käse}}$
Das heißt, du musst das Gewicht des gesamten Käses bestimmen, um den Anteil an Hartkäse berechnen zu können.
b) $\blacktriangleright$  Berechne den Verbrauch von Frischkäse im Jahr $\boldsymbol{2000}$
Es ist gegeben, dass der Verbrauch von Frischkäse vom Jahr $2000$ bis zum Jahr $2012$ um $28,8\,\%$ gestiegen ist. Daher liegt der Verbrauch im Jahr $2012$ bei $128,8\,\%$ im Vergleich zum Jahr $2000$. Mit einer Dreisatz Rechnung erhältst du $100\,\%$, die dem Verbrauch vom Jahr $2000$ entsprechen.
c) $\blacktriangleright$  Berechne den Verbrauch von Schnittkäse im Jahr $\boldsymbol{2015}$
Der Verbrauch von Schnittkäse steigt jährlich um $3,5\,\%$. Um den Verbrauch des Jahres $2015$ zu bestimmen, verwendest du die Formel für Zinseszins.
$K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
$K_n$ beschreibt in diesem Fall den Verbrauch nach $n$ Jahren. Wobei $n$ in dieser Aufgabe $3$ Jahre sind. $K_0$ ist der Verbrauch von $2012$, also $6,6\,\text{kg}$. Mit $p$ bezeichnen wir den Prozentsatz, der angibt, um wie viel der Verbrauch jährlich steigen soll. In unserem Fall also $3,5\,\%$.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Berechne die Größe des Anstiegswinkels
Um die Größe des Anstiegswinkel zu bestimmen, solltest du dir zunächst eine Skizze anlegen.
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
Du siehst, dass gilt:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\Delta h}{4,8\,\text{km}}$
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$. Dazu musst du den Höhenunterschied $\Delta h$ bestimmen. Die Bahn startet auf einer Höhe von $440\,$m und endet auf einer Höhe von $2.073\,$m.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$  Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels
Der gegebene Kegel hat einen Radius von $r=4,5\,\text{cm}$ und ein Höhe von $h=6\,\text{cm}$. Der Oberflächeninhalt lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$A_{\text{Kegel}}= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
Pflichtaufgaben
Pflichtaufgaben
Die Länge der Seite $s$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.
b) $\blacktriangleright$  Ermittle die Höhe des Kegels
Ein Zylinder mit der Höhe $h=10\,\text{cm}$ hat den Radius $r$. Das Volumen $V_{\text{Zylinder}}$ ist $6$-mal so groß wie das Volumen eines Kegels mit selben Radius $r$. Du sollst die Höhe des Kegels bestimmen. Betrachte dazu die Formeln für die Volumina von Zylinder und Kegel. Setzt du das Volumen des Zylinders gleich mit dem 6-fachen Volumen des Kegels, kannst du die Höhe $h_{\text{Kegel}}$ bestimmen. Die Volumina von Zylinder und Kegel sind:
$V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h$ $\quad$ $V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h$
Jetzt kannst du alle gegebenen Werte einsetzen und das Volumen des Zylinders mit dem 6-fachen Volumen des Kegels gleichsetzen.

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$  Berechne die Nullstellen und stelle $\boldsymbol{f}$ graphisch dar
Die Funktion $f$ hat den Funktionsterm
$\begin{array}[t]{rll} f(x)=x^2+6x+5\\[5pt] \end{array}$
Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, suchst du markante Punkte wie Extremstellen und Achsenabschnitte auf dem Graphen. Nullstellen sind $x$-Achsenabschnitte. Du bestimmst sie, indem du den Funktionsterm mit Null gleichsetzt und mit der $pq$-Formel Lösungen findest. Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ bestimmst. Eine Extremstelle findest du am Scheitelpunkt der Funktion, da es sich hierbei um eine quadratische Funktion bzw. Parabel handelt.
b) $\blacktriangleright$  Gib die Funktionsgleichung an
Die lineare Funktion $g$ geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Funktion $f$ und durch den Punkt $P\,(0\,|\,5)$. Die Funktionsgleichung hat die Form:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&m\cdot x + c\\[5pt] \end{array}$
$c$ beschreibt den $y$-Achsenabschnitt, also den Funktionswert an der Stelle $x=0$. Du hast ihn bereits durch den Punkt $P$ gegeben. $g(0)=5=c$. Die Steigung der Funktion wird durch $m$ beschrieben. Mit zwei gegebenen Punkten $S\,(x_S\,|\,y_S)$ und $P\,(x_P\,|\,y_P)$ kannst du sie leicht berechnen.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Berechne die Länge der dritten Seiten
Du sollst die Länge der unbekannten Seite eines Dreiecks bestimmen. Die längste Seite hat eine Länge von $8,4\,\text{cm}$. Eine weitere Seite hat eine Länge von $4,3\,\text{cm}$. Ein Innenwinkel ist $102^{\circ}$ groß. Die Länge der dritten Seite kannst du mit dem Kosinussatz bestimmen.
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma$
Wobei der Winkel $\gamma$ der größte Winkel im Dreieck ist. Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^{\circ}$, daher kann es keinen Winkel größer als $102^{\circ}$ geben. Die Seite $c$ ist die längste Seite des Dreiecks. Wähle $a$ als gesuchte Seite, so ist $b=4,3\,\text{cm}$. Setzt du alle Werte in die Gleichung ein, kannst du sie so umstellen, dass du mit der $pq$-Formel eine Lösung findest.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Löse die gegebene Gleichung
Die gegebene Gleichung ist:
$\begin{array}[t]{rll} 4(2x-5)&=&\dfrac{1}{2}x+10 \end{array}$
Zunächst multiplizierst du den linken Teil aus, um dann alle von $x$ abhängigen Terme auf die linke Seite zu bringen und alle nicht von $x$ abhängigen Terme auf die rechte Seite zu bringen.

Aufgabe 7

a) $\blacktriangleright$  Gib die Anzahl der roten Kugeln an
In einem Behälter sind insgesamt $18$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt $\frac{2}{3}$. Das bedeutet, dass $\frac{2}{3}$ aller Kugeln rot sein müssen.
b) $\blacktriangleright$  Gib die Wahrscheinlichkeit an
In einem weiteren Behälter sind $5$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen ist die Anzahl an weißen Kugeln geteilt durch die Anzahl aller Kugeln.
c) $\blacktriangleright$  Gib die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{2}$ schwarze Kugeln zu ziehen an
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit angeben, dass bei zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen, zwei schwarze Kugeln gezogen werden. Dabei werden gezogene Kugeln nicht zurückgelegt. Zunächst bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Anschließend berechnest du die Wahrscheinlichkeit, eine zweite schwarze Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze Kugel fehlt. Zum Schluss multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten gemäß der Pfadmultiplikationsregel.

Aufgabe 8

a) $\blacktriangleright$  Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$
In einer Skizze sind die Länge einer Seite $b=182\,\text{m}$, sowie die Größen zweier Winkel $\alpha=35^{\circ}$ und $\gamma=77^{\circ}$ gegeben. Um die Länge der Seite $\overline{AB}=c$ zu bestimmen, verwendest du den Sinussatz:
$\dfrac{a}{\sin\;\alpha}=\dfrac{c}{\sin\;\gamma}=\dfrac{b}{\sin\;\beta}$
Du kennst die Größen $\gamma$, $b$ und suchst die Größe $c$. Du siehst, dass dir noch die Größe des Winkels $\beta$ fehlt. Die Größe des Winkels kannst du berechnen, da du weißt, dass die Winkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt.
b) $\blacktriangleright$  Bestimme die Abweichung
Vier Schüler haben die Länge der Strecke $\overline{AB}$ bestimmt. Du sollst den Mittelwert ihrer Längen bestimmen und die Abweichung von deinem Ergebnis bestimmen. Der Mittelwert ist die Summe aller Längen geteilt durch die Anzahl der Messungen. Die Abweichung ist die Differenz von Mittelwert und deinem Ergebnis.
c) $\blacktriangleright$  Zeichne das Dreieck in einem Maßstab $\boldsymbol{1:2.000}$
Abschließend sollst du das Dreieck in einem Maßstab $1:2.000$ zeichnen. Der Maßstab bedeutet, dass $1\,\text{m}$ $\frac{1}{2.000}\,\text{m}$ in der Skizze entsprechen. Am einfachsten wird die Zeichnung, wenn du in 3 Schritten vorgehst:
  1. Die Länge einer Seite, z.B. $\overline{AB}$ einzeichnen.
  2. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ an die Enden der Seite einzeichnen.
  3. Der Schnittpunkt der Geraden, die die Winkel bilden, ist der Punkt $C$.
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Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$  Bestimme den Anteil von Hartkäse
In einem Diagramm ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Käse in Deutschland in kg angegeben. Du sollst den prozentualen Anteil von Hartkäse bestimmen.
Der prozentuale Anteil ist:
$p\% = 100\% \cdot \dfrac{\text{Hartkäse}}{\text{Gesamter Käse}}$
Das heißt, du musst das Gewicht des gesamten Käses bestimmen, um den Anteil an Hartkäse berechnen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Gesamter Käse}&=&6,7+2,2+1,9+2,1+3,6+6,6\\[5pt] &=&23,1\\[5pt] \end{array}$
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Käse im Jahr $2012$ beträgt damit $23,1$ kg. Damit kannst du den prozentualen Anteil wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p\% &=& 100\% \cdot \dfrac{\text{Hartkäse}}{\text{Gesamter Käse}}\\[5pt] &=& 100\% \cdot \dfrac{1,9}{23,1}\\[5pt] &=& 8,225\%\\[5pt] \end{array}$
Der prozentuale Anteil von Hartkäse am gesamten Käseverbrauch beträgt etwa $8,2\,\%$.
b) $\blacktriangleright$  Berechne den Verbrauch von Frischkäse im Jahr $\boldsymbol{2000}$
Es ist gegeben, dass der Verbrauch von Frischkäse vom Jahr $2000$ bis zum Jahr $2012$ um $28,8\,\%$ gestiegen ist. Daher liegt der Verbrauch im Jahr $2012$ bei $128,8\,\%$ im Vergleich zum Jahr $2000$. Mit einer Dreisatz Rechnung erhältst du $100\,\%$, die dem Verbrauch vom Jahr $2000$ entsprechen.
$\begin{array}{rrcll} 6,7\,\text{kg}&=&128,8\%\quad&\mid\;:128,8\\[5pt] 0,052\,\text{kg}&\approx&1\%&\mid\;\cdot 100\\[5pt] 5,2\,\text{kg}&\approx&100\%& \end{array}$
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Frischkäse lag im Jahr $2000$ bei etwa $5,2\,\text{kg}$.
c) $\blacktriangleright$  Berechne den Verbrauch von Schnittkäse im Jahr $\boldsymbol{2015}$
Der Verbrauch von Schnittkäse steigt jährlich um $3,5\,\%$. Um den Verbrauch des Jahres $2015$ zu bestimmen, verwendest du die Formel für Zinseszins.
$K_n=K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$
$K_n$ beschreibt in diesem Fall den Verbrauch nach $n$ Jahren. Wobei $n$ in dieser Aufgabe $3$ Jahre sind. $K_0$ ist der Verbrauch von $2012$, also $6,6\,\text{kg}$. Mit $p$ bezeichnen wir den Prozentsatz, der angibt, um wie viel der Verbrauch jährlich steigen soll. In unserem Fall also $3,5\,\%$.
$\begin{array}[t]{rll} K_n&=&K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\\[5pt] K_3&=&6,6 \cdot \left(1+\dfrac{3,5}{100}\right)^3\\[5pt] &=& 6,6\cdot \left(1,035\right)^3\\[5pt] &\approx&6,6 \cdot 1,109\\[5pt] &\approx&7,3\\[5pt] \end{array}$
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Schnittkäse wird im Jahr $2015$ voraussichtlich bei ca. $7,3\,$kg liegen.

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Berechne die Größe des Anstiegswinkels
Um die Größe des Anstiegswinkel zu bestimmen, solltest du dir zunächst eine Skizze anlegen.
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Du siehst, dass gilt:
$\sin(\alpha)=\dfrac{\Delta h}{4,8\,\text{km}}$
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$. Dazu musst du den Höhenunterschied $\Delta h$ bestimmen. Die Bahn startet auf einer Höhe von $440\,$m und endet auf einer Höhe von $2.073\,$m. Die Höhenunterschied ist:
$\begin{array}[t]{rll} \Delta h &=& 2.073\,\text{m}-440\,\text{m}\\[5pt] &=&1.633\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$
Achte jetzt darauf, alle Größen in der gleichen Maßeinheit anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\Delta h}{4.800\,\text{m}}\\[5pt] &=&\dfrac{1.633\,\text{m}}{4.800\,\text{m}}&\quad&\scriptsize\mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{1.633\,\text{m}}{4.800\,\text{m}}\right)\\[5pt] &\approx&19,9^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
Die Größe des durchschnittlichen Steigungswinkels ist etwa $20^{\circ}$.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$  Berechne den Oberflächeninhalt des Kegels
Der gegebene Kegel hat einen Radius von $r=4,5\,\text{cm}$ und ein Höhe von $h=6\,\text{cm}$. Der Oberflächeninhalt lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:
$A_{\text{Kegel}}= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
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Die Länge der Seite $s$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2\\[5pt] r^2+h^2&=&s^2&\quad&\mid\;\scriptsize \sqrt{\;}\\[5pt] \sqrt{r^2+h^2}&=&s\\[5pt] \sqrt{4,5^2+6^2}&=&s\\[5pt] 7,5&=&s\\[5pt] \end{array}$
Die Seite $2$ ist $7,5$ cm lang. Jetzt kannst du den Oberflächeninhalt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kegel}}&=& \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s\\[5pt] &=& \pi \cdot 4,5^2 + \pi \cdot 4,5 \cdot 7,5\\[5pt] &\approx& 63,62+106,03\\[5pt] &=&169,65\\[5pt] \end{array}$
Der Oberflächeninhalt beträgt ungefähr $170\,\text{cm}^2$.
b) $\blacktriangleright$  Ermittle die Höhe des Kegels
Ein Zylinder mit der Höhe $h=10\,\text{cm}$ hat den Radius $r$. Das Volumen $V_{\text{Zylinder}}$ ist $6$-mal so groß wie das Volumen eines Kegels mit selben Radius $r$. Du sollst die Höhe des Kegels bestimmen. Betrachte dazu die Formeln für die Volumina von Zylinder und Kegel. Setzt du das Volumen des Zylinders gleich mit dem 6-fachen Volumen des Kegels, kannst du die Höhe $h_{\text{Kegel}}$ bestimmen. Die Volumina von Zylinder und Kegel sind:
$V_{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h$ \quad $V_{\text{Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h$
Jetzt kannst du alle gegebenen Werte einsetzen und das Volumen des Zylinders mit dem 6-fachen Volumen des Kegels gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Zylinder}}&=&6\cdot V_{\text{Kegel}}\\[5pt] \pi r^2 \cdot 10 &=& 6 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h_{\text{Kegel}}&\quad&\scriptsize\mid\; :(\pi\cdot r^2)\\[5pt] 10&=&2 \cdot h_{\text{Kegel}}&\quad&\scriptsize\mid\; :2 \\[5pt] 5&=&h_{\text{Kegel}} \end{array}$
Die Höhe des Kegels beträgt $5\,\text{cm}$.

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$  Berechne die Nullstellen und stelle $\boldsymbol{f}$ graphisch dar
Die Funktion $f$ hat den Funktionsterm
$\begin{array}[t]{rll} f(x)=x^2+6x+5\\[5pt] \end{array}$
Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, suchst du markante Punkte wie Extremstellen und Achsenabschnitte auf dem Graphen. Nullstellen sind $x$-Achsenabschnitte. Du bestimmst sie, indem du den Funktionsterm mit Null gleichsetzt und mit der $pq$-Formel Lösungen findest. Den $y$-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Funktionswert an der Stelle $x=0$ bestimmst. Eine Extremstelle findest du am Scheitelpunkt der Funktion, da es sich hierbei um eine quadratische Funktion bzw. Parabel handelt.
Die $x$-Achsenabschnitte oder Nullstellen sind:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] x^2+6x+5&=&0\\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt] &=&-\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-5}\\[5pt] &=&-3\pm\sqrt{9-5}\\[5pt] &=&-3\pm2\\[5pt] x_1&=&-5\\[5pt] x_2&=&-1\\[5pt] \end{array}$
Die Nullstellen sind $\boldsymbol{x_1=-5}$ und $\boldsymbol{x_2=-1}$.
Der $y$-Achsenabschnitt ist:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&f(0)\\[5pt] &=&0^2+6\cdot 0 + 5\\[5pt] &=&5\\[5pt] \end{array}$
Ein Graph einer quadratischen Funktion der Form:
$f(x)=ax^2+bx+c$
Hat an der Stelle $x_S=-\dfrac{b}{2a}$ einen Scheitel, das ist das Minimum, für $a>0$, bzw. das Maximum für $ a< 0$. Somit hat der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_S=-\dfrac{6}{2}=-3$ ein Minimum. Der Funktionswert des Minimums ist $f(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)+5=-4$. Der Scheitelpunkt ist $S(\,-3\,|\,-4)$.
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b) $\blacktriangleright$  Gib die Funktionsgleichung an
Die lineare Funktion $g$ geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Funktion $f$ und durch den Punkt $P\,(0\,|\,5)$. Die Funktionsgleichung hat die Form:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&m\cdot x + c\\[5pt] \end{array}$
$c$ beschreibt den $y$-Achsenabschnitt, also den Funktionswert an der Stelle $x=0$. Du hast ihn bereits durch den Punkt $P$ gegeben. $g(0)=5=c$. Die Steigung der Funktion wird durch $m$ beschrieben. Mit zwei gegebenen Punkten $S\,(x_S\,|\,y_S)$ und $P\,(x_P\,|\,y_P)$ kannst du sie leicht berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_P-y_S}{x_P-x_S}\\[5pt] &=&\dfrac{5-(-4)}{0-(-3)}\\[5pt] &=&3\\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du die Funktionsgleichung angeben:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)=3x+5\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Berechne die Länge der dritten Seiten
Du sollst die Länge der unbekannten Seite eines Dreiecks bestimmen. Die längste Seite hat eine Länge von $8,4\,\text{cm}$. Eine weitere Seite hat eine Länge von $4,3\,\text{cm}$. Ein Innenwinkel ist $102^{\circ}$ groß. Die Länge der dritten Seite kannst du mit dem Kosinussatz bestimmen.
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma$
Wobei der Winkel $\gamma$ der größte Winkel im Dreieck ist. Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^{\circ}$, daher kann es keinen Winkel größer als $102^{\circ}$ geben. Die Seite $c$ ist die längste Seite des Dreiecks. Wähle $a$ als gesuchte Seite, so ist $b=4,3\,\text{cm}$. Setzt du alle Werte in die Gleichung ein, kannst du sie so umstellen, dass du mit der $pq$-Formel eine Lösung findest.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma\\[5pt] (8,4)^2&=&a^2+(4,3)^2-a\cdot 2 \cdot 4,3 \cdot \cos(102^{\circ}) \\[5pt] 70,56 &\approx& a^2 + 18,49 +1,788a &\quad&\scriptsize\mid\; -70,56 \\[5pt] 0 &\approx& a^2+1,788a - 52,07\\[5pt] a_{1/2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\\[5pt] &\approx& -0,894 \pm \sqrt{0,799+52,07}\\[5pt] &\approx& -0,894 \pm 7,271\\[5pt] a_1 &\approx& 6,377\\[5pt] a_2 &\approx& -8,165\\[5pt] \end{array}$
Eine negative Länge macht keinen Sinn, daher ist die Länge der unbekannten Seite $a$ etwa $6,4\,\text{cm}$ lang.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Löse die gegebene Gleichung
Die gegebene Gleichung ist:
$\begin{array}[t]{rll} 4(2x-5)&=&\dfrac{1}{2}x+10 \end{array}$
Zunächst multiplizierst du den linken Teil aus, um dann alle von $x$ abhängigen Terme auf die linke Seite zu bringen und alle nicht von $x$ abhängigen Terme auf die rechte Seite zu bringen.
$\begin{array}[t]{rll} 4(2x-5)&=&\dfrac{1}{2}x+10\\[5pt] 8x-20&=&\dfrac{1}{2}x+10&\quad&\scriptsize\mid\; -\dfrac{1}{2}x\\[5pt] 7,5x-20&=&10&\quad&\scriptsize\mid\; +20\\[5pt] 7,5x&=&30&\quad&\scriptsize\mid\; :7,5\\[5pt] x&=&4\\[5pt] \end{array}$
Die Lösung der Gleichung ist $x=4$.

Aufgabe 7

a) $\blacktriangleright$  Gib die Anzahl der roten Kugeln an
In einem Behälter sind insgesamt $18$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, beträgt $\frac{2}{3}$. Das bedeutet, dass $\frac{2}{3}$ aller Kugeln rot sein müssen. Die Anzahl an roten Kugeln kannst du wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{rot}}&=&\dfrac{2}{3}\cdot 18\\[5pt] &=&12\\[5pt] \end{array}$
Es befinden sich $\boldsymbol{12}$ rote Kugeln im Behälter.
b) $\blacktriangleright$  Gib die Wahrscheinlichkeit an
In einem weiteren Behälter sind $5$ weiße und $3$ schwarze Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen ist die Anzahl an weißen Kugeln geteilt durch die Anzahl aller Kugeln.
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{weiß}}&=&\dfrac{A_{\text{weiß}}}{A_{\text{weiß}}+A_{\text{schwarz}}}\\[5pt] &=&\dfrac{5}{8}\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt $\boldsymbol{\frac{5}{8}}$.
c) $\blacktriangleright$  Gib die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{2}$ schwarze Kugeln zu ziehen an
Jetzt sollst du die Wahrscheinlichkeit angeben, dass bei zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen, zwei schwarze Kugeln gezogen werden. Dabei werden gezogene Kugeln nicht zurückgelegt. Zunächst bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen. Anschließend berechnest du die Wahrscheinlichkeit, eine zweite schwarze Kugel zu ziehen, wenn bereits eine schwarze Kugel fehlt. Zum Schluss multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten gemäß der Pfadmultiplikationsregel.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der ersten schwarzen Kugel ist:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{schwarz}}&=&\dfrac{A_{\text{schwarz}}}{A_{\text{schwarz}}+A_{\text{weiß}}}\\[5pt] &=&\dfrac{3}{8}\\[5pt] \end{array}$
Nach dem Ziehen ist eine schwarze Kugel weniger im Behälter. Die Wahrscheinlichkeit, eine zweite schwarze Kugel zu ziehen, ist:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{schwarz2}}&=&\dfrac{A_{\text{schwarz}}}{A_{\text{schwarz}}+A_{\text{weiß}}}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{7}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{ges}}&=&\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}\\[5pt] &=&\dfrac{6}{56}=\dfrac{3}{28}\\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, hintereinander und ohne Zurücklegen zwei schwarze Kugeln zu ziehen, beträgt $\boldsymbol{\frac{3}{28}}$.

Aufgabe 8

a) $\blacktriangleright$  Berechne die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$
In einer Skizze sind die Länge einer Seite $b=182\,\text{m}$, sowie die Größen zweier Winkel $\alpha=35^{\circ}$ und $\gamma=77^{\circ}$ gegeben. Um die Länge der Seite $\overline{AB}=c$ zu bestimmen, verwendest du den Sinussatz:
$\dfrac{a}{\sin\;\alpha}=\dfrac{c}{\sin\;\gamma}=\dfrac{b}{\sin\;\beta}$
Du kennst die Größen $\gamma$, $b$ und suchst die Größe $c$. Du siehst, dass dir noch die Größe des Winkels $\beta$ fehlt. Die Größe des Winkels kannst du berechnen, da du weißt, dass die Winkelsumme im Dreieck $180^{\circ}$ beträgt.
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\beta+\gamma&\quad&\scriptsize\mid\; - \alpha - \gamma\\[5pt] 180^{\circ}-\alpha-\gamma&=&\beta\\[5pt] 180^{\circ}-35^{\circ}-77^{\circ}&=&\beta\\[5pt] \beta&=&68^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du die Länge der Seite bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin\;\gamma}&=&\dfrac{b}{\sin\;\beta} &\quad&\scriptsize\mid\; \cdot \sin\;\gamma\\[5pt] c&=&\dfrac{b}{\sin\;\beta}\cdot \sin\;\gamma\\[5pt] &=&\dfrac{182}{0,927}\cdot0,974\\[5pt] &\approx&191,3\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ ist ungefähr $191\,\text{m}$.
b) $\blacktriangleright$  Bestimme die Abweichung
Vier Schüler haben die Länge der Strecke $\overline{AB}$ bestimmt. Du sollst den Mittelwert ihrer Längen bestimmen und die Abweichung von deinem Ergebnis bestimmen. Der Mittelwert ist die Summe aller Längen geteilt durch die Anzahl der Messungen. Die Abweichung ist die Differenz von Mittelwert und deinem Ergebnis.
Der Mittelwert ist:
$\begin{array}[t]{rll} M&=&\dfrac{190+186+192+188}{4}\\[5pt] &=&\dfrac{756}{4}\\[5pt] &=&189\\[5pt] \end{array}$
Die Abweichung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&191-189\\[5pt] &=&2\\[5pt] \end{array}$
Die Abweichung beträgt $2\,\text{m}$.
c) $\blacktriangleright$  Zeichne das Dreieck in einem Maßstab $\boldsymbol{1:2.000}$
Abschließend sollst du das Dreieck in einem Maßstab $1:2.000$ zeichnen. Der Maßstab bedeutet, dass $1\,\text{m}$ $\frac{1}{2.000}\,\text{m}$ in der Skizze entsprechen. Am einfachsten wird die Zeichnung, wenn du in 3 Schritten vorgehst:
  1. Die Länge einer Seite, z.B. $\overline{AB}$ einzeichnen.
  2. Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ an die Enden der Seite einzeichnen.
  3. Der Schnittpunkt der Geraden, die die Winkel bilden, ist der Punkt $C$.
Die Länge der Seite $\overline{AB}=191\,\text{m}$ entspricht in der Zeichnung:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}_{\text{Zeichnung}}&=&\dfrac{191\,\text{m}}{2.000}\\[5pt] &=&0,0955\,\text{m}\\[5pt] &=&9,55\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Skizze sollte so aussehen:
Pflichtaufgaben
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