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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Pflichtaufgabe 1

Im Jahr 2015 verbrauchte Deutschlands Bevölkerung pro Kopf $32,40\,\text{kg}$ Süßwaren.
Arten von SüßwarenPro-Kopf-Verbrauch
Schokoladenwaren$9,79\,\text{kg}$
kakaohaltige Lebensmittel$1,95\,\text{kg}$
Zuckerwaren$5,71\,\text{kg}$
feine Backwaren$7,22\,\text{kg}$
Knabbergebäck$4,10\,\text{kg}$
Speiseeis$3,63\,\text{kg}$
Nach Bundesverband der Deutschen Süßwarenindustrie e.V.
a)
Stelle den Anteil von Schokoladenwaren an den insgesamt verbrauchten Süßwaren in einem Kreisdiagramm dar.
(2 BE)
Vom Jahr 2014 zum Jahr 2015 ist der Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis um $11,7\,\%$ gesunken.
b)
Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis für das Jahr 2014.
(2 BE)
Die Süßwarenindustrie erwartet bis zum Jahr 2020 einen weiteren Anstieg des Verbrauchs von Knabbergebäck um $8\,\%$ jährlich.
c)
Berechne den Pro-Kopf-Verbrauch von Knabbergebäck, den die Süßwarenindustrie für das Jahr 2020 erwartet.
(1 BE)

Pflichtaufgabe 2

Die Wertetabelle enthält Zahlenpaare der Funktion $y=f(x)$ mit $x\in \mathbb{R};x\neq 0.$
$x$$-4 $$-2 $$-1,5 $$ -1$$-0,5 $$0,5$$1$$1,5$$2$$4$
$y$$-\frac{1}{4} $$ -\frac{1}{2} $$-\frac{2}{3} $$-1 $$-2 $$2$$1$$\frac{2}{3}$ $\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$
$x$$y$
$-4 $$-\frac{1}{4} $
$-2 $$ -\frac{1}{2} $
$-1,5 $$-\frac{2}{3} $
$-1 $$-1 $
$ -0,5$$-2 $
$ 0,5$$2 $
$ 1$$1 $
$ 1,5$$\frac{2}{3} $
$2 $$ \frac{1}{2} $
$4 $$\frac{1}{4} $
a)
Stelle die Funktion $y=f(x)$ grafisch dar und gib den Funktionsgleichung an.
(2 BE)
b)
Skizziere den Graphen der Funktion $y=g(x)=x^3$ mit $x\in \mathbb{R}$ für mindestens $-1,5\leq x\leq 1,5$ in dasselbe Koordinatensystem.
(1 BE)
c)
Gib eine gemeinsame Eigenschaft der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an.
(1 BE)

Pflichtaufgabe 3

Die wahrscheinlich steilste Straße Deutschlandsbefindet sich in Deesbach im Landkreis Saalfeld-Rudolstadt. Die $300\,\text{m}$ lange Straße hat eine Steigung von $25,3\,\%.$
Berechne den Anstiegswinkel der Straße.
(1 BE)
#steigungswinkel

Pflichtaufgabe 4

Im Handel werden Sonnenschutzsegel in verschiedenen Formen angeboten. Ein Sonnenschutzsegel hat die Form eines Dreiecks mit den Seitenlängen $3,0\,\text{m},$ $3,5\,\text{m}$ und $4,2\,\text{m}.$ Für das verwendete Material werden $230\,\text{g}$ je Quadratmeter angegeben.
Berechne die Masse dieses Sonnensegels.
(3 BE)

Pflichtaufgabe 5

In einer Urne befinden sich $5$ weiße und $5$ schwarze Kugeln, die jeweils von $1$ bis $5$ nummeriert sind.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Ziehen eine Kugel mit der Zahl $4$ entnommen wird.
(1 BE)
Beim einmaligen Ziehen einer Kugel tritt ein anderes Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{6}{10}$ ein.
b)
Formuliere ein solches Ereignis in Worten.
(1 BE)
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
„Beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen erhält man zwei schwarze Kugeln.“
(1 BE)
#wahrscheinlichkeit#ereignis

Pflichtaufgabe 6

Im Wetterbericht wird eine Regenmenge von $20$ Liter pro Quadratmeter angegeben. Diese Regenmenge wird in einem quaderförmigen Behälter mit einer Grundfläche von einem Quadratmeter aufgefangen.
Berechne die Höhe des Wasserstandes in diesem Behälter.
(2 BE)
#quader

Pflichtaufgabe 7

Bei einem umlaufenden Sessellift befindet sich die Talstation in $1\,600\,\text{m}$ Höhe und die Bergstation in $2\,400\,\text{m}$ Höhe. Je Minute überwinden die Sessel einen Höhenunterschied von $50\,\text{m}.$ Zwei Wanderer besteigen gleichzeitig den Lift, einer an der Berg- und der andere an der Talstation.
a)
Bestimme die Höhe, in der beide aneinander vorbeifahren.
(1 BE)
Der Höhenunterschied der Talfahrt kann durch $y=-50x+2\,400$ beschrieben werden.
b)
Gib für die Bergfahrt die Gleichung an, die diese Fahrt beschreibt.
(1 BE)

Pflichtaufgabe 8

Gegeben sind die folgenden Körper (Zylinder, Halbkugel und Kegel) mit jeweils demselben Radius. Für alle Körper gilt $r=h.$
Körper
Abb. 1: nicht maßstäblich
Körper
Abb. 1: nicht maßstäblich
a)
Stelle einen der Körper mit geeigneten Maßen im Zweitafelbild dar.
(2 BE)
b)
Berechne das Volumen des Kegels, wenn der Zylunder ein Volumen von $450\,\text{cm}^3$ hat.
(1 BE)
Marie behauütet: „Addiert man das Volumen der Halbkugel und das Volumen des Kegels, so erhält man das Volumen des Zylinders.“
c)
Zeige an einem selbst gewählten Beispiel oder durch logische Schlussfolgerung, dass Maries Behauptung richtig ist.
(1 BE)
#kegel#kugel#zylinder
Bildnachweise [nach oben]
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Pflichtaufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Anteil der Schokoladenwaren darstellen
Rechne den Anteil der Schokoladenwaren an den gesamten Süßwaren zunächst prozentual aus:
$\dfrac{9,79\,\text{kg}}{32,40\,\text{kg}} \approx 0,3022 = 30,22\,\%$
Für die Größe des Mittelpunktswinkels des zugehörigen Kreissektors folgt daher:
$360^{\circ}\cdot 0,3022 \approx 109^{\circ}$
Kreisdiagramm
Abb. 1: Kreisdiagramm
Kreisdiagramm
Abb. 1: Kreisdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Pro-Kopf-Verbrauch des Speiseeis berechnen
Der Pro-Kopf-Verbrauch von Speiseeis ist von 2014 auf 2015 um $11,7\,\%$ gesunken. Im Jahr 2015 betrug der Verbrauch $3,63\,\text{kg},$ dies entspricht daher $100\,\% - 11,7\,\% = 88,3\,\%$ des Verbrauchs im Jahr 2014:
$:88,3$
$\begin{array}{rrcll} & 88,3\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 3,63\,\text{kg}\\[5pt] & 1\,\% &\mathrel{\widehat{=}}& 0,0411\,\text{kg}\\[5pt] & 100\,\%&\mathrel{\widehat{=}}& 4,11\,\text{kg}& \end{array}$
$:88,3$
$\cdot 100$
$\cdot 100$
$ 100\,\%\;\mathrel{\widehat{=}}\; 4,11\,\text{kg} $
Im Jahr 2014 wurden pro Kopf also ca. $4,11\,\text{kg}$ Speiseeis verbraucht.
c)
$\blacktriangleright$  Erwarteten Verbrauch von Knabbergebäck berechnen
Die Zunahme des Verbrauchs von Knabbergebäck kann als exponentielles Wachstum aufgefasst werden. Bezeichnest du mit $t$ die Anzahl der Jahre nach 2015, dann beträgt der Anfangsbestand im Jahr 2015 $B(0)= 4,10\,\text{kg}.$ Der Wachstumsfaktor beträgt $1,08.$ Der Pro-Kopf-Verbrauch $t$ Jahre nach 2015 kann also mit folgender Gleichung berechnet werden:
$B(t)= 4,10\,\text{kg}\cdot 1,08^t$
Berechne also $B(5)$ für das Jahr 2020:
$\begin{array}[t]{rll} B(5) &=& 4,10\,\text{kg}\cdot 1,08^5 \\[5pt] &\approx& 6,02\,\text{kg} \end{array}$
Im Jahr 2020 erwartet die Süßwarenindustrie einen Pro-Kopf-Verbrauch von Knabbergebäck von ca. $6,02\,\text{kg}.$
#prozent

Pflichtaufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Funktion grafisch darstellen
Graph
Abb. 2: Graph von $f$
Graph
Abb. 2: Graph von $f$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Betrachtest du vor allem die Brüche, dann fällt dir auf, dass der Funktionswert immer der Kehrbruch des $x$-Werts ist. Es ist also $y= \frac{1}{x}.$ Die Funktionsgleichung von $f$ lautet $y=f(x)= \frac{1}{x}.$
b)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Graph
Abb. 3: Graph von $f$ und $g$
Graph
Abb. 3: Graph von $f$ und $g$
c)
$\blacktriangleright$  Gemeinsame Eigenschaft angeben
Hier sind zwei Beispiele:
  • Beide Graphen verlaufen durch die Punkte $(-1\mid -1)$ und $(1\mid 1).$
  • Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
#symmetrie

Pflichtaufgabe 3

$\blacktriangleright$  Anstiegswinkel der Straße berechnen
Du kannst zur Übersicht eine Skizze zeichnen. Ein Anstieg von $25,3\,\%$ bedeutet pro $100\,\text{m}$ horizontaler Entfernung einen Höhenunterschied von $25,3\,\text{m}.$
Skizze
Abb. 4: Skizze
Skizze
Abb. 4: Skizze
Du kannst nun den Tangens verwenden, um den Winkel $\alpha$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan \alpha &=& \dfrac{25,3\,\text{m}}{100\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=& \tan^{-1} 0,253 \\[5pt] &\approx& 14,2^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 14,2^{\circ} $
Der Anstiegswinkel der Straße ist ca. $14,2^{\circ}$ groß.
#tangens#rechtwinkligesdreieck

Pflichtaufgabe 4

$\blacktriangleright$  Masse des Sonnensegels berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Skizze
Abb. 5: Skizze
Skizze
Abb. 5: Skizze
Mit den drei angegebenen Seitenlängen des Dreiecks kannst du die Größe eines Innenwinkels des Dreiecks mit dem Kosinussatz berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a^2 &=& b^2 +c^2 -2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha \\[5pt] (3,0\,\text{m})^2 &=& (3,5\,\text{m})^2 +(4,2\,\text{m})^2 -2\cdot3,5\,\text{m} \cdot 4,2\,\text{m} \cdot \cos \alpha \\[5pt] 9,0\,\text{m}^2 &=& 29,89\,\text{m}^2 - 29,4\,\text{m}^2\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\;- 29,89\,\text{m}^2\\[5pt] -20,89\,\text{m}^2 &=& - 29,4\,\text{m}^2\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; :(- 29,4) \\[5pt] \frac{20,89\,\text{m}^2}{29,4}&=& \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] 44,7^{\circ}&\approx& \alpha \end{array}$
$ \alpha \approx 44,7^{\circ} $
Mit dem Winkel kannst du nun den Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 3,5\,\text{m}\cdot 4,2\,\text{m} \cdot \sin 44,7^{\circ} \\[5pt] &\approx& 5,2\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A\approx 5,2\,\text{m}^2 $
2. Schritt: Masse berechnen
$5,2\,\text{m}^2 \cdot 230\,\frac{\text{g}}{\text{m}^2} = 1\,196\,\text{g}= 1,196\,\text{kg}$
$ …=1,196\,\text{kg} $
Die Masse des Sonnensegels beträgt ca. $1,196\,\text{kg}.$
#kosinussatz

Pflichtaufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Zu Beginn befinden sich 2 Kugeln mit der Zahl 4 in der Urne. Insgesamt befinden sich $10$ Kugeln in der Urne.
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2 = 20\,\%$
Beim einmaligen Ziehen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $20\,\%$ eine Kugel mit der Nummer 4 gezogen.
b)
$\blacktriangleright$  Ereignis in Worten formulieren
Gesucht ist ein Ereignis, für dessen Eintreten $6$ Kugeln infrage kommen. Es gibt beispielsweise $6$ Kugeln mit ungeraden Zahlen. Ein mögliches Ereignis wäre also beispielsweise:
„Beim einmaligen Ziehen wird eine Kugel mit einer ungerade Zahl gezogen.“
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} \approx 0,222 = 22,2\,\%$
$ \frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9} \approx 22,2\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $22,2\,\%$ werden beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen zwei schwarze Kugeln gezogen.
#pfadregeln

Pflichtaufgabe 6

$\blacktriangleright$  Höhe des Wasserstandes berechnen
In dem Behälter mit der Grundfläche von einem Quadratmeter befinden sich $20$ Liter Wasser:
$V=20\,l = 0,020\,\text{m}^3$
Mit der Formel für das Volumen eines Quaders ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& G\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; G=1\,\text{m}^2 \\[5pt] 0,020\,\text{m}^3 &=& 1\,\text{m}^2 \cdot h&\quad \scriptsize \mid\; : 1\,\text{m}^2\\[5pt] 0,020\,\text{m}&=& h \end{array}$
$ h=0,020\,\text{m} $
Die Höhe des Wasserstandes in dem Behälter beträgt $0,020\,\text{m} = 2\,\text{cm}.$

Pflichtaufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Höhe des Treffpunkts bestimmen
Da beide mit der gleichen Geschwindigkeit unterwegs sind, treffen sich die beiden Wanderer in der Mitte:
$\dfrac{2\,400\,\text{m} +1\,600\,\text{m}}{2} = 2\,000\,\text{m}$
Die Wanderer fahren also in einer Höhe von $2\,000\,\text{m}$ aneinander vorbei.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung angeben
Gesucht ist die Gleichung einer Geraden, die die Bergfahrt beschreibt:
$y = m\cdot x + b $
Im Gegensatz zur Talfahrt muss die Steigung bei der Bergfahrt positiv sein. Der Sessellift fährt aber genauso schnell hoch, wie er herunter fährt. Daher ist die Steigung $m=50.$
Der $y$-Achsenabschnitt muss die Starthöhe sein, also $b= 1\,600.$ Die Gleichung, die die Bergfahrt beschreibt, lautet:
$y=50x +1\,600$

Pflichtaufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Zweitafelbild erstellen
Im Folgenden sind alle drei Zweitafelbilder aufgeführt. Du musst aber nur eins zeichnen.
Zweitafelbild
Abb. 6: Zweitafelbilder aller Figuren
Zweitafelbild
Abb. 6: Zweitafelbilder aller Figuren
b)
$\blacktriangleright$  Volumen des Kegels berechnen
1. Schritt: Höhe und Radius berechnen
Du kannst das bekannte Volumen des Zylinders in die Formel für das Volumen eines Zylinders einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\;h=r\\[5pt] V&=& \pi\cdot r^3&\quad \scriptsize \mid\;V=450\,\text{cm}^3 \\[5pt] 450\,\text{cm}^3&=& \pi\cdot r^3&\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \frac{450}{\pi}\,\text{cm}^3&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,} \\[5pt] \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\,\text{cm}&=& r \end{array}$
$ r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\,\text{cm} $
2. Schritt: Volumen des Kegels berechnen
Mit der Formel für das Volumen eines Kegels folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegel}}&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; h=r \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\;r=\sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \sqrt[3]{\frac{450}{\pi}}^3\,\text{cm}^3\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \frac{450}{\pi}\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 450\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 150\,\text{cm}^3 \end{array}$
$V_{\text{Kegel}}= 150\,\text{cm}^3 $
Wenn das Volumen des Zylinders $450\,\text{cm}^3$ beträgt, dann beträgt das Volumen des Kegels $150\,\text{cm}^3.$
c)
$\blacktriangleright$  Richtigkeit der Behauptung zeigen
Mit den entsprechenden Volumenformeln gilt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Zylinder}}&= \pi\cdot r^3 \\[10pt] V_{\text{Halbkugel}}&= \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &= \frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[10pt] V_{\text{Kegel}}&= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \end{array}$
Es gilt also:
$V_{\text{Halbkugel}} + V_{\text{Kegel}} = \frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^3 + \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^3 = \pi \cdot r^3 = V_{\text{Zylinder}}$
$ …= \pi \cdot r^3 = V_{\text{Zylinder}} $
Marie hat also recht.
Bildnachweise [nach oben]
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