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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 9 - Geometrie

9.1
Gegeben ist ein Viereck mit den angegebenen Eigenschaften.
  1. Es hat zwei gleich lange Seitenpaare.
  2. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
  3. Es gibt genau eine Symmetrieachse.
Gib die Art des Vierecks mit diesen Eigenschaften an.
(1 BE)
9.2
Eine Wandergruppe plant einen Wandertag vom Marktplatz aus in die nähere Umgebung. Die Strecke führt zum Ausflugslokal, über die Weggabelung und das Freibad zurück zum Marktplatz.
Die Wanderung ist von 08:00 Uhr bis 15:00 Uhr geplant. Die Wanderer gehen davon aus, in einer Stunde vier Kilometer Wegstrecke zu schaffen. Im Ausflugslokal wollen sie $45\,\text{min}$ verweilen.
Wahlaufgaben
Abb. 1: nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 1: nicht maßstäblich
Berechne die Zeit, die für den Aufenthalt im Freibad zur Verfügung steht.
(5 BE)

Wahlaufgabe 10 - Stochastik

10.1
In einem neuen Wohngebiet wurde eine Umfrage zur Anzahl der Kinder in den Familien durchgeführt. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle dargestellt.
Anzahl der Kinder$ 0$$ 1$$2 $$ 3$$ 4$
Anzahl der Familien$ 11$$ 19$$23 $$9 $$3 $
Anzahl der KinderAnzahl der Familien
$0 $$ 11$
$1 $$19 $
$2 $$23 $
$ 3$$ 9$
$ 4$$ 3$
a)
Berechne das arithmetische Mittel für die Anzahl der Kinder pro Familie.
(1 BE)
Durch den Zuzug weiterer fünf Familien verändert sich das arithmetische Mittel auf $1,7$ Kinder pro Familie.
b)
Die absoluten Häufigkeiten sollen so verändert werden, dass die Werte diesem Sachverhalt entsprechen.
Gib eine zugehörige Tabelle an.
(2 BE)
#arithmetischesmittel
10.2
(3 BE)

Wahlaufgabe 11 - Funktionen

Wahlaufgaben
Abb. 3: nicht maßstäblich
Wahlaufgaben
Abb. 3: nicht maßstäblich
#parabel
a)
Gib die Höhe des Zeltes an.
(1 BE)
b)
Berechne den Radius der Grundfläche des Zeltes.
(1 BE)
Bei Veranstaltungen in diesem Zelt kann nur der Teil der Grundfläche als Stehplatz genutzt werden, auf dem eine $1,80\,\text{m}$ große Person die Zeltwand nicht berührt.
c)
Berechne den prozentualen Anteil der Grundfläche, der für Stehplätze genutzt werden kann.
(4 BE)
#prozent

Wahlaufgabe 12 - Arithmetik/Algebra

12.1
(2 BE)
12.2
Löse die Gleichung
$2x^2+12x+20 = x^2$
(2 BE)
12.3
Leas Vater ist dreimal so alt wie sie. Ihr Bruder ist $4$ Jahre jünger als Lea. Zusammen sind die drei Personen $76$ Jahre alt.
Berechne das Alter des Vaters und das Alter des Bruders.
(2 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Wahlaufgabe 9Wahlaufgaben

9.1
$\blacktriangleright$  Art des Vierecks angeben
Für die erste Eigenschaft kommen Quadrate, Rechtecke, Rauten, Parallelogramme oder Drachenvierecke infrage.
Für die zweite Eigenschaft bleiben nur Quadrate, Rauten und Drachenvierecke.
Von diesen erfüllt die dritte Eigenschaft dann nur noch das Drachenviereck.
Es handelt sich also um ein Drachenviereck.
#drachenviereck#quadrat#parallelogramm#raute#rechteck
9.2
$\blacktriangleright$  Verfügbare Zeit für das Freibad berechnen
Die Längen von zwei der vier Teilstrecken sind bereits bekannt. Du musst aber noch berechnen, wie lang die Strecken von der Weggabelung zum Freibad und vom Freibad zurück zum Marktplatz sind. Verwende folgende Bezeichnungen:
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze
Wahlaufgaben
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Seitenlänge $a$ berechnen
Mit dem Kosinussatz folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& b^2 +c^2 -2bc\cdot \cos \alpha \\[5pt] a^2&=& (4,5\,\text{km})^2 + (4,2\,\text{km})^2 -2\cdot 4,5\,\text{km}\cdot4,2\,\text{km} \cdot \cos 41^{\circ} \\[5pt] a^2 &\approx & 9,36\,\text{km}^2\\[5pt] a&\approx & 3,1\,\text{km}\\[5pt] \end{array}$
$ a \approx 3,1\,\text{km} $
2. Schritt: Seitenlänge $d$ berechnen
$d$ entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. $a$ ist die Ankathete zum gegebenen Winkel $\gamma = 38^{\circ}.$ Verwende also Kosinus:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \cos \gamma &=& \dfrac{a}{d}\\[5pt] \cos 38^{\circ} &=& \dfrac{3,1\,\text{km}}{d} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot d \\[5pt] d\cdot \cos 38^{\circ}&=& 3,1\,\text{km} &\quad \scriptsize \mid\;:\cos 38^{\circ} \\[5pt] d &\approx& 3,9\,\text{km} \end{array}$
$ d \approx 3,9\,\text{km} $
3. Schritt: Seitenlänge $e$ berechnen
$e$ kannst du nun beispielsweise über den Satz des Pythagoras oder den Tangens berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \gamma &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan 38^{\circ} &=& \dfrac{e}{a}\\[5pt] \tan 38^{\circ} &=& \dfrac{e}{3,1\,\text{km}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3,1\,\text{km}\\[5pt] 2,4\,\text{km} &\approx& e \end{array}$
$ e\approx 2,4\,\text{km} $
4. Schritt: Gesamtstreckenlänge berechnen
$4,5\,\text{km} + 4,2\,\text{km} + 3,9\,\text{km} + 2,4\,\text{km} = 15\,\text{km}$
$ … = 15\,\text{km} $
5. Schritt: benötigte Zeit berechnen
Die Wanderer legen im Schnitt pro Stunde vier Kilometer zurück:
$15\,\text{km} : 4\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 3\,\frac{3}{4}\,\text{h} = 3\,\text{h}\,45\,\text{min}$
$ … = 3\,\text{h}\,45\,\text{min} $
Im Ausflugslokal wollen die Wanderer $45\,\text{min}$ verweilen. Ohne Aufenthalt im Freibad benötigen sie also bereits $4\,\text{h}$ und $30\,\text{min}.$
Insgesamt stehen ihnen $7$ Stunden zur Verfügung. Sie können also $2\,\text{h}$ und $30\,\text{min}$ im Freibad bleiben.
#kosinus#tangens#kosinussatz

Wahlaufgabe 10

10.1
a)
$\blacktriangleright$  Arithemtisches Mittel berechnen
Für das arithmetische Mittel musst du die Gesamtanzahl der Kinder durch die Gesamtanzahl der Familien teilen:
$\dfrac{11\cdot 0 + 19\cdot 1 + 23\cdot 2 +9\cdot 3 +3\cdot 4}{11+19+23+9+3} = \frac{104}{65} = 1,6 $
$ …=\frac{104}{65} = 1,6 $
Das arithmetische Mittel für die Anzahl der Kinder pro Familie beträgt $1,6.$
b)
$\blacktriangleright$  Neue Tabelle angeben
Bisher gab es in dem Wohngebiet $65$ Familien. Nun sind es $65+5=70.$
Das arithmetische Mittel gibt an, wie viele Kinder im Schnitt in einer Familie sind. Es müssen nun also auf alle Familien verteilt jeweils $1,7$ Kinder pro Familie sein. Insgesamt also:
$70\cdot 1,7 = 119$
Insgesamt gibt es nun $119$ Kinder in dem Wohngebiet. Zuvor waren es nur $104.$ Du musst in der Tabelle also $5$ Familien so verteilen, dass genau $15$ Kinder mehr hinzukommen.
In jeder der fünf Familien könnten beispielsweise drei Kinder sein. Dann sieht die Tabelle wie folgt aus:
Anzahl der Kinder$ 0$$ 1$$2 $$ 3$$ 4$
Anzahl der Familien$ 11$$ 19$$23 $$14 $$3 $
Anzahl der KinderAnzahl der Familien
$0 $$ 11$
$1 $$19 $
$2 $$23 $
$ 3$$ 14$
$ 4$$ 3$
Eine andere Möglichkeit wäre:
$2$ Familien mit $4$ Kindern, eine Familie mit $3$ Kindern und $2$ Familien mit $2$ Kindern hinzuzufügen.
10.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Das Glücksrad ist mit Zahlen von $1$ bis $4$ beschriftet. Beim zweimaligen Drehen können folgende Kombinationen auftreten, deren Summe größer als $5$ ist:
  • $2+4$
  • $3+3$
  • $3+4$
  • $4+2$
  • $4+3$
  • $4+4$
Das Glücksrad ist in acht Felder aufgeteilt, davon ist eines mit einer $1$ beschriftet, eines mit einer $2.$ Es sind vier Felder mit einer $3$ beschriftet und zwei Felder mit einer $4.$ Die Wahrscheinlichkeiten eine der Zahlen zu drehen lauten daher:
  • $p(2)= \frac{1}{8}$
  • $p(3)= \frac{4}{8}$
  • $p(4) = \frac{2}{8}$
Berechne nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade oben addierst. Verwende also die Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Summe ist größer als 5“})&=& p(2)\cdot p(4) + p(3)\cdot p(3) + p(3)\cdot p(4) \\[5pt] &&+ p(4)\cdot p(2) + p(4)\cdot p(3) +p(4)\cdot p(4) \\[5pt] &=& \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{8} + \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{8} + \frac{4}{8}\cdot \frac{2}{8} + \frac{2}{8}\cdot \frac{1}{8} + \frac{2}{8}\cdot \frac{4}{8} +\frac{2}{8}\cdot \frac{2}{8} \\[5pt] &=& \frac{5}{8}\\[5pt] &=& 0,625 \\[5pt] &=& 62,5\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ … =62,5\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $62,5\,\%$ ist die Summe der angezeigten Zahlen beim zweimaligen Drehen größer als $5.$
#pfadregeln

Wahlaufgabe 11

a)
$\blacktriangleright$  Höhe des Zeltes angeben
Der Querschnitt des Zeltes ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Der höchste Punkt des Zeltes liegt daher auf der $y$-Achse.
$f(0)= -0,2\cdot 0^2 +7,2 = 7,2$
Das Zelt ist also $7,2\,\text{m}$ hoch.
b)
$\blacktriangleright$  Radius der Grundfläche berechnen
Der Durchmesser der Grundfläche entspricht der Breite des Querschnitts, also dem Abstand der beiden Nullstellen der Funktion $f.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] -0,2x^2+7,2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -7,2\\[5pt] -0,2x^2&=& -7,2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,2)\\[5pt] x^2 &=& 36 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x_1&=& -6\\[5pt] x_2&=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -6\\[5pt] x_2&=& 6 \end{array}$
Die Parabel schneidet also bei $x_1=-6$ und $x_2=6$ die $x$-Achse. Der Durchmesser der Grundfläche beträgt daher $12\,\text{m},$ der Radius also $6\,\text{m}.$
#nullstelle
c)
$\blacktriangleright$  Pozentualen Anteil der nutzbaren Fläche berechnen
1. Schritt: Radius der Stehplatzfläche berechnen
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze
Wahlaufgaben
Abb. 2: Skizze
Im Querschnitt wird die nutzbare Fläche links und rechts durch die Punkte begrenzt, an denen das Zelt eine Höhe von $1,80\,\text{m}$ besitzt. Dies sind die Punkte auf der Parabel, an denen $f(x)=1,80$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 1,80 \\[5pt] -0,2x^2+7,2&=& 1,80 &\quad \scriptsize \mid\;-7,2 \\[5pt] -0,2x^2&=& -5,4 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,2) \\[5pt] x^2 &=& 27 \\[5pt] x_1&=& -\sqrt{27} \\[5pt] x_2&=& \sqrt{27} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -\sqrt{27} \\[5pt] x_2&=& \sqrt{27} \\[5pt] \end{array}$
Der Radius der nutzbaren Fläche ist also $r= \sqrt{27}.$
2. Schritt: Flächeninhalt der nutzbaren Fläche berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi\cdot \sqrt{27}^2 \\[5pt] &=& 27\pi \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Der Radius der Grundfläche beträgt $r_g = 6,$ wie du aus Teilaufgabe b weißt.
$\begin{array}[t]{rll} A_g&=& \pi \cdot r_g^2 \\[5pt] &=& \pi\cdot 6^2 \\[5pt] &=& 36\pi \end{array}$
4. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
$\dfrac{A_1}{A_g} = \dfrac{27\pi}{36\pi} = \frac{3}{4} = 75\,\%$
$ …= 75\,\% $
Ca. $75\,\%$ der Grundfläche kann für Stehplätze genutzt werden.

Wahlaufgabe 12

12.1
$\blacktriangleright$  Gesamtlänge berechnen
Es werden insgesamt folgende Längen benötigt:
  • Vier Metallschienen der Länge $x+2\,\text{cm},$ also jeweils $18,5\,\text{cm} +2\,\text{cm} = 20,5\,\text{cm}.$
  • Vier Metallschienen der Länge $2x-2\,\text{cm},$ also jeweils $2\cdot 18,5\,\text{cm} -2\,\text{cm} = 35\,\text{cm}.$
  • Vier Metallschienen der Länge $x+5\,\text{cm},$ also jeweils $18,5\,\text{cm} +5\,\text{cm} = 23,5\,\text{cm}.$
Insgesamt ergibt das:
$4\cdot 20,5\,\text{cm} + 4\cdot 35\,\text{cm} + 4\cdot 23,5\,\text{cm} = 316\,\text{cm}$
$ … = 316\,\text{cm} $
Für $x=18,5\,\text{cm}$ beträgt die Gesamtlänge der benötigten Metallschienen $316\,\text{cm}.$
12.2
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Du kannst die $pq$-Formel verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+12x+20 &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt] x^2 +12x +20 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=&-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{12}{2}\right)^2 -20} \\[5pt] &=& -6\pm 4\\[5pt] x_1&=& -6-4 \\[5pt] &=& -10 \\[10pt] x_2&=& -6+4\\[5pt] &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -6-4 \\[5pt] &=& -10 \\[10pt] x_2&=& -6+4\\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L} = \{-10;-2\}.$
#pq-formel
12.3
$\blacktriangleright$  Alter berechnen
Bezeichne zunächst Leas Alter mit $x,$ das Alter von Leas Vater mit $y$ und das Alter ihres Bruders mit $z.$ Dann kannst du folgende Gleichungen aufstellen:
  • $y = 3\cdot x$
  • $z = x-4$
  • $x+y+z = 76$
Wenn du nun die oberen beiden Informationen in die untere einsetzt, erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x+y+z &=& 76&\quad \scriptsize \mid\; y= 3\cdot x; z = x-4\\[5pt] x + 3\cdot x + x-4 &=& 76 \\[5pt] 5x-4&=& 76 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 5x&=& 80 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x &=& 16 \end{array}$
$ x = 16 $
Lea ist also $16$ Jahre alt. Ihr Bruder ist vier Jahre jünger, also $12$ Jahre alt. Leas Vater ist dreimal so alt wie sie, also $3\cdot 16 = 48$ Jahre alt.
Bildnachweise [nach oben]
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