Aufgabe 1 — Feuchtigkeitsmessung von Getreide

In dieser Aufgabe wird ein vereinfachtes Messprinzip zur Bestimmung der Feuchtigkeit von Getreide (Kornfeuchte) thematisiert. Dabei wird ein Plattenkondensator eingesetzt.

Fachpraktischer Teil

Damit ein Kondensator zur Kornfeuchtemessung benutzt werden kann, muss seine Kapazität, zum Beispiel über einen Entladevorgang, bestimmt werden. Dieses Verfahren soll in einem Schülerexperiment nachvollzogen werden.

Baue das Experiment unter Beachtung der Hinweise im Material 1 auf und führe es durch.

Hinweis: Falls keine Ergebnisse aus der experimentellen Untersuchung gewonnen werden konnten, können Ersatzmesswerte bei der Fachlehrkraft angefordert werden. Entsprechend den nicht erbrachten Leistungen werden bis zu 8 Bewertungseinheiten nicht gegeben.

8 BE

Berechne unter Verwendung des Mittelwertes $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}$ $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}$ der drei Entladezeiten die Kapazität des Kondensators (Material 1).

3 BE

Nenne zwei Einflussgrößen, die zu Unsicherheiten bei der Kapazitätsbestimmung führen können.

Erläutere deren Auswirkungen auf die berechnete Kapazität.

4 BE

In einem Messgerät zur Bestimmung der Kornfeuchte wird das Messprinzip aus dem Experiment in Aufgabe 1 angewandt. Der Begriff Kornfeuchte wird im Material 2 näher erklärt.

Erläutere unter Einbeziehung des Materials 3, dass durch die Messung der Entladezeit $Formula: t_\text{E}$ $Formula: t_\text{E}$ des Kondensators indirekt die Kornfeuchte des Getreides im Bereich zwischen $Formula: 8\,\%$ $Formula: 8\,\%$ und $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ ermittelt werden kann.

2 BE

Es wurde eine Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604\;\mu\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604\;\mu\mathrm{s}$ gemessen. Ermittle das Kornfeuchteintervall, das sich unter Berücksichtigung der Messunsicherheit der Kapazitätsermittlung (Material 3) ergibt.

8 BE

Ein Landwirt besitzt einen großen Getreidespeicher. Der Speicher soll mit frischem Getreide gefüllt werden, das möglicherweise getrocknet werden muss. Beim Befüllen des Kunststoffgefäßes des kapazitiven Kornfeuchtemessgeräts weicht der Landwirt von der Bedienungsanleitung (Material 3) ab, wodurch es zu einer unvollständigen Getreidefüllung im Zwischenraum des Plattenkondensators kommt.

Erkläre unter Verwendung des Materials 3, dass eine unvollständige Getreidefüllung im Zwischenraum des Plattenkondensators die Kapazität verkleinert.

Formuliere dazu unter Verwendung der Fachsprache kausal korrekt strukturiert eine Schrittfolge von Argumenten.

3 BE

Leite unter Verwendung der Materialien 2 und 3 für diesen Fall einen Nachteil ab, der sich für den Landwirt ergeben könnte.

2 BE

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Material 1: Hinweise zum Experiment in Aufgabe 1

Folgende Geräte und Bauteile stehen zur Verfügung:

Kondensator unbekannter Kapazität
Widerstand
Gleichspannungsquelle
Spannungsmessgerät
Ein-/Aus-Schalter
Stoppuhr
Kabel in ausreichender Anzahl

Hinweis: Formula: R und die Einstellung an der Spannungsquelle werden von der Fachlehrkraft vorgegeben.

Baue das Experiment unter Verwendung des Schaltplans gemäß der Abbildung 1 auf. Achte dabei auf die korrekte Polung des Kondensators.
Stelle die Betriebsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ an der Spannungsquelle ein und lade den Kondensator ca. $Formula: 10\;\mathrm{s}$ $Formula: 10\;\mathrm{s}$ auf.
Erfasse die Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ am Kondensator und berechne $Formula: \tfrac{1}{3}U_{0}.$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_{0}.$
Miss diejenige Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}},$ $Formula: t_{\mathrm{E}},$ in der sich die Spannung am Kondensator von $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ auf $Formula: \tfrac{1}{3}U_{0}$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_{0}$ verringert hat.
Führe die Messung insgesamt dreimal durch.
Protokolliere alle Messwerte und sonstige Größenangaben, die zur Bestimmung der Kapazität des Kondensators erforderlich sind.

Schaltbild: Widerstand R oben, Kondensator C in Mitte, Voltmeter V, Schalter links, Batteriepol + und - unten.

Abb. 1: Schaltplan zur Bestimmung der Kapazität eines Kondensators.

Hinweis: Für die Kapazität des Kondensators gilt: $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln (3)}$ $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln (3)}$

Material 2: Kornfeuchte

Als Kornfeuchte Formula: F wird der prozentuale Anteil des Wassers bezeichnet, der sich in einem Getreidekorn befindet.

Bevor Getreide für längere Zeit gelagert wird, muss es ausreichend getrocknet sein, sodass die Kornfeuchte weniger als $Formula: 14,5\, \%$ $Formula: 14,5\, \%$ beträgt.

Bei nicht ausreichender Trocknung des Getreides können durch Schimmelbildung und Fäulnisprozesse schädliche Substanzen für Mensch und Tier entstehen. Die Trocknung kann hohe Energiekosten erzeugen.

Material 3: Anordnung zur kapazitiven Messung der Kornfeuchte

Die Kornfeuchte Formula: F soll mithilfe einer Kondensatorentladung ermittelt werden.

Dazu wird ein dünnwandiges Kunststoffgefäß vollständig mit Getreide ausgefüllt. An zwei gegenüberliegenden Flächen sind außerhalb zwei Metallplatten $Formula: P_{1}$ $Formula: P_{1}$ und $Formula: P_{2}$ $Formula: P_{2}$ befestigt, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Dieses System bildet einen Plattenkondensator.

Plattenfläche:	$Formula: A = 8,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^{2}$ $Formula: A = 8,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^{2}$
Plattenabstand:	$Formula: d = 10\;\mathrm{mm}$ $Formula: d = 10\;\mathrm{mm}$

Der Plattenkondensator wird auf eine Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ aufgeladen und dann über einen Widerstand $Formula: R = 10\;\mathrm{M}\Omega$ $Formula: R = 10\;\mathrm{M}\Omega$ entladen. Die Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ vom Beginn des Entladevorgangs bis zum Zeitpunkt, in dem am Plattenkondensator die Spannung $Formula: \tfrac{1}{3} \cdot U_{0}$ $Formula: \tfrac{1}{3} \cdot U_{0}$ anliegt, ist ein Maß für die Kornfeuchte.

Skizze eines hohen rechteckigen Behälters mit offenem oberen Rand, Pfeil zu P1 und P2, Titel "Getreidekörner".

Abb. 2: Kondensator zur Messung der Kornfeuchte mit quaderförmigem Kunststoffgefäß (schematisch)

Bedienungsanleitung für die Befüllung der Messanordnung

Das Einfüllen der Getreidekörner in das dünnwandige Kunststoffgefäß zwischen den Platten des Plattenkondensators in Abbildung 2 muss stets in gleicher Weise erfolgen. Durch leichtes Klopfen des befüllten Gefäßes auf einer Unterlage verteilen sich die Körner gleichmäßiger und rutschen nach. Größere Lufteinschlüsse können so vermieden werden. Schließlich wird der durch das Nachfüllen von Getreidekörnern entstandene Berg am oberen Gefäßrand sauber abgestreift.

Zusammenhang zwischen Kornfeuchte und Kapazität

Der Zusammenhang zwischen der Kornfeuchte und der Kapazität des Plattenkondensators ist in Abbildung 3 vereinfacht dargestellt.

Bei einer ordnungsgemäßen Befüllung mit extrem trockenem Getreide beträgt die Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 2,3.$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 2,3.$ Das Getreide besitzt in diesem Fall eine Kornfeuchte von $Formula: 8\, \%.$ $Formula: 8\, \%.$

Mit extrem feuchtem Getreide ergibt sich eine Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 10$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 10$ und die Kornfeuchte beträgt $Formula: 40\,\%.$ $Formula: 40\,\%.$

Der Einfluss des Kunststoffs als Dielektrikum wird vernachlässigt.

Liniendiagramm: F in % steigt linear mit C in pF, von etwa 9% bei 15 pF bis ca. 40% bei 75 pF.

Abb. 3: Zusammenhang $Formula: \small{F(C)}$ $Formula: \small{F(C)}$ für den Plattenkondensator der Anordnung in Abbildung 2.

Messunsicherheit

Vereinfachend soll für alle Kapazitätsermittlungen von einer relativen Messunsicherheit von $Formula: 5\, \%$ $Formula: 5\, \%$ ausgegangen werden. Dies bedeutet, dass die wahren Werte für die Kapazität um $Formula: 5 \,\%$ $Formula: 5 \,\%$ von den ermittelten Werten nach oben oder unten abweichen können.

Quelle (abgerufen am 25.05.2026).

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Das Experiment wird entsprechend dem vorgegebenen Schaltplan aufgebaut und durchgeführt.

Daraus ergeben sich beispielsweise folgende Messwerte:

$Formula: C = 1000\;\mu\mathrm{F};$ $Formula: C = 1000\;\mu\mathrm{F};$ $Formula: R = 47\;\mathrm{k}\Omega;$ $Formula: R = 47\;\mathrm{k}\Omega;$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 8,00\;\mathrm{V};$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 8,00\;\mathrm{V};$ $Formula: U_{\mathrm{0}} = 8,00\;\mathrm{V};$ $Formula: U_{\mathrm{0}} = 8,00\;\mathrm{V};$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_{\mathrm{0}} = 2,67\;\mathrm{V}$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_{\mathrm{0}} = 2,67\;\mathrm{V}$

Damit können beispielsweise folgende Entladezeiten gemessen werden:

$Formula: t_{\mathrm{1}} = 49,5\;\mathrm{s},$ $Formula: t_{\mathrm{1}} = 49,5\;\mathrm{s},$ $Formula: t_{\mathrm{2}} = 51,8\;\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{2}} = 51,8\;\mathrm{s}$ und $Formula: t_{\mathrm{3}} = 50,0\;\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{3}} = 50,0\;\mathrm{s}$

Zunächst wird der Mittelwert der drei Entladezeiten gebildet:

$Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}} = \frac{49,5\;\mathrm{s} + 51,8\;\mathrm{s} + 50,0\;\mathrm{s}}{3} = 50,4\;\mathrm{s}$ $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}} = \frac{49,5\;\mathrm{s} + 51,8\;\mathrm{s} + 50,0\;\mathrm{s}}{3} = 50,4\;\mathrm{s}$

Mithilfe dieses ermittelten Mittelwertes lässt sich die Kapazität des Kondensators über die Gleichung aus Material 1 berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & \dfrac{50,4\;\mathrm{s}}{47 \cdot 10^3\;\Omega \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & 9,8 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & \dfrac{50,4\;\mathrm{s}}{47 \cdot 10^3\;\Omega \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & 9,8 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{F} \end{array}$

Für die Kapazität gilt $Formula: C = \tfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R \cdot \ln(3)},$ $Formula: C = \tfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R \cdot \ln(3)},$ somit können zwei wesentliche Faktoren zu Unsicherheiten bei der Bestimmung der Kapazität führen:

Messunsicherheit der Entladezeit: Fällt die durch die Stoppuhr oder Reaktionszeit gemessene Zeitspanne zum Beispiel zu groß aus, resultiert daraus bei ansonsten gleichbleibenden Bedingungen ein zu großer Wert für die berechnete Kapazität.
Unsicherheit beim Widerstand: Ist der für die Berechnung herangezogene Widerstandswert in der Realität zum Beispiel größer als der für die Rechnung angenommene Wert, bedeutet das, dass mit einem zu kleinen Widerstandswert gerechnet wurde. Dies führt gemäß der Gleichung für die Kapazität unter sonst gleichen Bedingungen ebenfalls zu einer fälschlicherweise zu groß berechneten Kapazität.

Zuerst wird aus der gemessenen Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ und dem bekannten Entladewiderstand Formula: R die Kapazität Formula: C des Kondensators berechnet. Dafür wird die in Teilaufgabe 1b hergeleitete Gleichung genutzt:

$Formula: C = \frac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln(3)}$ $Formula: C = \frac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln(3)}$

Anschließend wird für die so ermittelte Kapazität Formula: C der zugehörige Wert der Kornfeuchte direkt aus dem Diagramm (Material 3, Abbildung 3) abgelesen.

Aus der gegebenen Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604 \;\mathrm{\mu s}$ $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604 \;\mathrm{\mu s}$ lässt sich die Kapazität mit der Gleichung aus Teilaufgabe 1b berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{604 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{s}}{10 \cdot 10^6 \;\mathrm{\Omega} \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & 5,5 \cdot 10^{-11} \;\mathrm{F} \\[5pt] & = & 55 \;\mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{604 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{s}}{10 \cdot 10^6 \;\mathrm{\Omega} \cdot \ln(3)} \\[5pt] & = & 5,5 \cdot 10^{-11} \;\mathrm{F} \\[5pt] & = & 55 \;\mathrm{pF} \end{array}$

Durch die angenommene relative Messunsicherheit von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ kann der wahre Wert der Kapazität um bis zu $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ vom berechneten Wert nach oben oder unten abweichen. Es ergibt sich ein Intervall für die Kapazität von:

$Formula: C = (55 \pm 3) \;\mathrm{pF}$ $Formula: C = (55 \pm 3) \;\mathrm{pF}$

Werden die Grenzwerte dieses Intervalls ( $Formula: 52 \;\mathrm{pF}$ $Formula: 52 \;\mathrm{pF}$ bis $Formula: 58 \;\mathrm{pF}$ $Formula: 58 \;\mathrm{pF}$ ) aus dem Diagramm in Material 3 abgelesen, resultiert daraus das folgende Kornfeuchteintervall:

$Formula: 29\,\% \le F \le 33\,\%$ $Formula: 29\,\% \le F \le 33\,\%$

Befinden sich Getreidekörner im Kunststoffgefäß zwischen den Kondensatorplatten, so existiert dort stets auch ein gewisser Anteil an Luft.

Bleibt das Gefäß unvollständig befüllt, befindet sich im Vergleich zur korrekten Befüllung deutlich mehr Luft zwischen den Platten. Da Luft eine deutlich geringere Dielektrizitätszahl aufweist als Getreide, fällt die resultierende Dielektrizitätszahl der Mischung dadurch geringer aus. Diese Verkleinerung der Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ führt gemäß der Gleichung $Formula: C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \tfrac{A}{d}$ bei ansonsten unveränderten Bedingungen dazu, dass die resultierende Kapazität sinkt.

Gemäß Teilaufgabe 3a sinkt die Kapazität Formula: C bei unvollständiger Füllung. Durch diese verkleinerte Kapazität zeigt das Gerät fälschlicherweise einen zu niedrigen Wert für die Kornfeuchte Formula: F an. Das Getreide ist also in Wahrheit feuchter als gemessen. Verlässt sich der Landwirt darauf und beendet den Trocknungsprozess, sobald das Messgerät den laut Bedienungsanleitung sicheren Zielwert von beispielsweise $Formula: 14,5 \,\%$ $Formula: 14,5 \,\%$ anzeigt, ist das Getreide real noch deutlich feuchter und damit zu nass für die sichere Lagerung. Bei dieser nicht ausreichenden Trocknung können durch Fäulnisprozesse und Schimmelbildung Substanzen entstehen, die für Mensch und Tier schädlich sind, wodurch das Getreide verdirbt.

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