Aufgabe 3 — Zuckergehalt von Weintrauben

Zur Bestimmung des richtigen Zeitpunkts der Traubenernte messen Winzerinnen und Winzer den Zuckergehalt des Traubensafts. Eine Schülergruppe möchte ein neues Verfahren zur Bestimmung des Zuckergehalts von Weintrauben testen.

Als Vorversuch wird das Schirmbild hinter einem Doppelspalt beobachtet, der an der Innenseite eines zunächst luftgefüllten Glasbeckens befestigt ist (Material 1). Auf dem Schirm entsteht ein Interferenzmuster.

Erkläre die Entstehung der Maxima des Interferenzmusters auf dem Schirm.

4 BE

Auf dem Schirm (Material 1) misst die Schülergruppe mithilfe eines Geodreiecks für das Maximum 3. Ordnung eine Entfernung von $Formula: 3\;\text{mm}$ $Formula: 3\;\text{mm}$ zum Maximum 0. Ordnung. Die Ablesegenauigkeit der Schülergruppe ist auf ganze Millimeter begrenzt.

Bestätige mithilfe einer Rechnung das Ergebnis der Schülergruppe von $Formula: 0,7\;\mu\mathrm{m}$ $Formula: 0,7\;\mu\mathrm{m}$ für die Wellenlänge des verwendeten Lichts.

4 BE

Im Datenblatt des Lasers findet sich die Angabe $Formula: 633\;\mathrm{nm},$ $Formula: 633\;\mathrm{nm},$ was vom Wert der Teilaufgabe 1b abweicht.

Beurteile, ob ein Fehler im Datenblatt vorliegen muss, falls die Messunsicherheit bei der Bestimmung des Maximums 3. Ordnung bei $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ liegt.

5 BE

Im experimentellen Aufbau von Material 1 wird der Doppelspalt durch ein Gitter mit dem Spaltmittenabstand $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ ersetzt (Material 2).

Begründe, dass nun die Maxima 1. Ordnung auf dem Schirm weiter auseinander liegen als bei Verwendung des Doppelspalts.

3 BE

Nun wird das Becken mit Wasser gefüllt und der Versuch wird wiederholt (Material 3a).

Bestimme mithilfe des Schirmbilds in Abbildung 4 (Material 3b) die Wellenlänge des Lichts in Wasser.

Bestätige mithilfe von Material 4, dass in dem Versuch für die ermittelte Brechzahl Formula: n von Wasser gilt: $Formula: 1,2 \leq n \leq 1,4.$ $Formula: 1,2 \leq n \leq 1,4.$

4 BE

Da Traubensaft für Laserlicht durchlässig ist, will die Schülergruppe den richtigen Zeitpunkt für die Traubenernte mit dem in Material 3a beschriebenen Versuchsaufbau bestimmen.

In Material 5 ist der Zusammenhang zwischen Zuckergehalt und Brechzahl (s. Material 4) von Traubensaft beschrieben.

Mithilfe der Schritte in Material 6 ermittelt die Schülergruppe die Lage der Maxima 1. Ordnung für den Beugungsversuch aus Material 3. Im Glasbecken ist hierbei Traubensaft mit Formula: 73 Grad Oechsle enthalten.

Begründe die Aussagen (i) bis (iv).

6 BE

Beurteile, ob die Schülergruppe mit dem Versuch eine verlässliche Empfehlung für den idealen Erntezeitpunkt gewinnen kann. Gehe von der Ablesegenauigkeit aus, die in der Teilaufgabe 1c angegeben ist.

4 BE

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Material 1: Versuch zur Erzeugung eines Interferenzmusters mit einem Doppelspalt

Monochromatisches Laserlicht trifft senkrecht auf den im Becken befindlichen Doppelspalt.

Der Abstand Formula: a zwischen Doppelspalt und Schirm beträgt $Formula: 14\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 14\;\mathrm{cm}.$ Der Spaltmittenabstand Formula: g beträgt $Formula: 0,10\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 0,10\;\mathrm{mm}.$

Die Beugungswinkel $Formula: \alpha_{k}$ $Formula: \alpha_{k}$ mit $Formula: k = 0, 1, 2, 3, \dots$ $Formula: k = 0, 1, 2, 3, \dots$ zu den beobachteten Maxima -ter Ordnung können als klein betrachtet werden.

Schematische Zeichnung: luftgefülltes Glasbecken, Schirm an der Rückseite, Lichtquelle links.

Abb. 1: Glasbecken mit Doppelspalt und Schirm (von oben betrachtet).

Material 2: Optische Gitter

Ein Gitter ist vereinfacht gesagt eine Aneinanderreihung vieler Doppelspalte, wobei der Abstand der Spaltmitten jeweils Formula: g beträgt (s. Abb. 2). Für die Lage der Maxima im Interferenzmuster hinter dem Gitter gilt dieselbe Formel wie beim Doppelspalt: $Formula: \sin \alpha_{k} = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \sin \alpha_{k} = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ mit $Formula: k = 0, 1, 2, 3, \dots$ $Formula: k = 0, 1, 2, 3, \dots$

Gestrichelte vertikale Linie mit doppelseitigem Pfeil und dem Buchstaben „g“

Abb. 2: Anordnung der Spalte beim Gitter.

Material 3: Interferenz in Wasser

3a Beugung in Wasser

Laser (633 nm) bestrahlt ein Glasbecken mit eingesetztem Gitter, Schirm auf der Rückseite

Abb. 3: Versuchsaufbau mit Gitter im wassergefüllten Becken.

Das Gitter besitzt den Spaltmittenabstand $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}.$ $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}.$ Der Abstand Formula: a zwischen Gitter und Schirm beträgt $Formula: a=14\;\mathrm{cm}.$ $Formula: a=14\;\mathrm{cm}.$

3b Versuchsergebnis

Lineal mit Zentimeter-Skala, drei graue Punkte darüber und Schriftzug "Maximum 0. Ordnung".

Abb. 4: Zur Bestimmung der Lage der Maxima 1. Ordnung

Material 4: Die Brechzahl

Laser (633 nm) in Luft trifft Grenze und tritt in Wasser über.

Abb. 5: Übergang von Licht an der Grenzfläche von Luft zu Wasser

Licht einer bestimmten Frequenz hat in verschiedenen Stoffen verschiedene Wellenlängen.

Das Verhältnis der Wellenlänge des Lichts in Luft zu der Wellenlänge des Lichts im Stoff wird die Brechzahl Formula: n des Stoffs genannt:

$Formula: n = \dfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Stoff}}}$ $Formula: n = \dfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Stoff}}}$

Material 5: Zuckergehalt von Traubensaft

Die Traubenernte zur Produktion von Wein kann beginnen, wenn sich in den Weintrauben genügend Zucker befindet. Der Zuckergehalt wird in der Einheit „Grad Oechsle“ angegeben.

Um einen maximalen Preis für den hergestellten Wein zu erzielen, muss hierfür der ideale Zeitpunkt der Traubenernte gefunden werden. Hierfür muss unter anderem der Zuckergehalt der Weintrauben auf wenige Grad Oechsle genau bestimmt werden können (s. Tab. 1).

Nimmt der Zuckergehalt (und damit der Oechsle-Grad) des Traubensafts zu, so steigt auch seine Brechzahl (vgl. Material 4) mit der Zuckerkonzentration an (s. Abb. 6).

	Qualitätsstufe Wein	Grad Oechsle
	Tafelwein:	ab
	Landwein:	ab
	Qualitätswein:	ab
	Prädikatswein:	ab

Tab. 1: Definition der Qualitätsstufen des produzierten Weins in dem Weinanbaugebiet.

Diagramm mit Messpunkten und aufsteigender Linie: Brechzahl n gegen Zuckergehalt in Grad Oechsle.

Abb. 6: Brechzahl in Abhängigkeit vom Zuckergehalt

Material 6: Ermittlung der Lage der Maxima 1. Ordnung

(i)	Aus Grad Oechsle folgt
(ii)	Somit ist $Formula: \lambda_{\mathrm{Traubensaft}} = 465\;\mathrm{nm}.$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Traubensaft}} = 465\;\mathrm{nm}.$
(iii)	Mit $Formula: \sin \alpha_{1} = \tfrac{465\;\mathrm{nm}}{2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}$ $Formula: \sin \alpha_{1} = \tfrac{465\;\mathrm{nm}}{2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}$ folgt $Formula: \alpha_{1} = 13,4^{\circ}.$ $Formula: \alpha_{1} = 13,4^{\circ}.$
(iv)	Auf dem Schirm liegen die Maxima 1. Ordnung somit ca. $Formula: 6,7\;\mathrm{cm}$ $Formula: 6,7\;\mathrm{cm}$ voneinander entfernt.

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Das Licht wird an den beiden Spalten des Doppelspalts gebeugt. Von jedem der beiden Spalte breitet sich daraufhin eine kreisförmige Welle aus. Diese beiden Wellen überlagern sich anschließend ungestört im Raum.

Für jeden beliebigen Punkt auf dem Schirm lässt sich der Unterschied der zurückgelegten Laufwege der beiden Wellen bestimmen, welcher als Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ bezeichnet wird.

Beträgt dieser Gangunterschied exakt null oder ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so überlagern sich die beiden Wellen an diesem Punkt konstruktiv. Diese konstruktive Überlagerung ist auf dem Schirm als heller Punkt beziehungsweise als Maximum sichtbar.

Da die Beugungswinkel bei diesem Versuch sehr klein sind, gilt die Kleinwinkelnäherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha).$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha).$ Somit gilt in guter Näherung die folgende Gleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{d_{k}}{a} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{d_{k} \cdot g}{a \cdot k} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{d_{k}}{a} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{d_{k} \cdot g}{a \cdot k} \end{array}$

Formula: d_k bezeichnet dabei den Abstand des Maximums Formula: k -ter Ordnung zum Maximum 0. Ordnung.

Nun werden die gegebenen Werte in die Formel eingesetzt:

$Formula: \lambda = \frac{3\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 0,000714\;\mathrm{mm} \approx 0,7\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: \lambda = \frac{3\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 0,000714\;\mathrm{mm} \approx 0,7\;\mathrm{\mu m}$

Der von der Schülergruppe ermittelte Wert von $Formula: 0,7\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: 0,7\;\mathrm{\mu m}$ wird durch diese Rechnung folglich bestätigt.

Aufgrund der angegebenen Messunsicherheit von $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ kann der tatsächliche Abstand des Maximums dritter Ordnung ( $Formula: d_{\mathrm{3}}$ $Formula: d_{\mathrm{3}}$ ) zwischen $Formula: 2,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: 2,5\;\mathrm{mm}$ und $Formula: 3,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: 3,5\;\mathrm{mm}$ liegen.

Mit diesen beiden Grenzwerten lassen sich die minimale und die maximale Wellenlänge für das Intervall berechnen:

$Formula: \lambda_{\mathrm{1}} = \frac{2,5\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 595\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{1}} = \frac{2,5\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 595\;\mathrm{nm}$

$Formula: \lambda_{\mathrm{2}} = \frac{3,5\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 833\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{2}} = \frac{3,5\;\mathrm{mm} \cdot 0,10\;\mathrm{mm}}{140\;\mathrm{mm} \cdot 3} \approx 833\;\mathrm{nm}$

Die im Datenblatt des Lasers angegebene Wellenlänge von $Formula: 633\;\mathrm{nm}$ $Formula: 633\;\mathrm{nm}$ liegt eindeutig innerhalb dieses durch die Messungenauigkeit aufgespannten Intervalls von $Formula: 595\;\mathrm{nm}$ $Formula: 595\;\mathrm{nm}$ bis $Formula: 833\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 833\;\mathrm{nm}.$ Daher muss kein Fehler im Datenblatt vorliegen.

Für die Lage der Maxima Formula: k -ter Ordnung gilt sowohl beim Doppelspalt als auch beim Gitter dieselbe Beziehung:

$Formula: \sin(\alpha_{{k}}) = \frac{k \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \sin(\alpha_{{k}}) = \frac{k \cdot \lambda}{g}$ mit $Formula: k=0 , 1 , 2 , 3 , \dots$ $Formula: k=0 , 1 , 2 , 3 , \dots$

Der Spaltmittenabstand Formula: g fällt bei dem Gitter jedoch deutlich kleiner aus als beim zuvor verwendeten Doppelspalt. Da diese Größe im Nenner des Bruchs steht, resultiert aus einem kleineren Wert für ein insgesamt größerer Wert für den Ausdruck $Formula: \tfrac{\lambda}{g}$ $Formula: \tfrac{\lambda}{g}$ (für Formula: k = 1 ). Folglich ergibt sich für das Gitter ein größerer Beugungswinkel $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}.$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}}.$ Aus diesem Grund liegen die Maxima erster Ordnung auf dem Schirm bei Verwendung des Gitters weiter auseinander.

Bestimmung der Wellenlänge in Wasser

Aus der Abbildung 4 ergibt sich für den Abstand zwischen den beiden Maxima erster Ordnung etwa $Formula: 6,9\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 6,9\;\mathrm{cm}.$ Der Abstand $Formula: d_{\mathrm{1}}$ $Formula: d_{\mathrm{1}}$ von einem der Maxima erster Ordnung zum Maxima nullter Ordnung beträgt somit exakt die Hälfte:

$Formula: d_{\mathrm{1}} = \frac{6,9\;\mathrm{cm}}{2} = 3,45\;\mathrm{cm} = 0,0345\;\mathrm{m}$ $Formula: d_{\mathrm{1}} = \frac{6,9\;\mathrm{cm}}{2} = 3,45\;\mathrm{cm} = 0,0345\;\mathrm{m}$

Über den Abstand zum Schirm ( $Formula: a = 0,14\;\mathrm{m}$ $Formula: a = 0,14\;\mathrm{m}$ ) lässt sich der Winkel zum ersten Maximum bestimmen:

$Formula: \tan(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{d_{\mathrm{1}}}{a} = \frac{0,0345\;\mathrm{m}}{0,14\;\mathrm{m}}$ $Formula: \tan(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{d_{\mathrm{1}}}{a} = \frac{0,0345\;\mathrm{m}}{0,14\;\mathrm{m}}$

Daraus ergibt sich ein Winkel von $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} \approx 13,8^{\circ}.$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} \approx 13,8^{\circ}.$

Durch Umstellen der Gittergleichung lässt sich die Wellenlänge des Lichts im Wasser ( $Formula: \lambda_{\mathrm{Wasser}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Wasser}}$ ) berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha_{1}) & = & \dfrac{\lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot g \\[5pt] \lambda_{\mathrm{Wasser}} & = & \sin(\alpha_{1}) \cdot g \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha_{1}) & = & \dfrac{\lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot g \\[5pt] \lambda_{\mathrm{Wasser}} & = & \sin(\alpha_{1}) \cdot g \end{array}$

Durch Einsetzen des berechneten Winkels sowie des Spaltmittenabstands ( $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ ), folgt das Ergebnis:

$Formula: \lambda_{\mathrm{Wasser}} = \sin(13,8^{\circ}) \cdot 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \approx 479\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Wasser}} = \sin(13,8^{\circ}) \cdot 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \approx 479\;\mathrm{nm}$

Bestätigung der Brechzahl

Die Brechzahl Formula: n ist definiert als das Verhältnis der Wellenlänge des Lichts in Luft ( $Formula: \lambda_{\mathrm{Luft}} = 633\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Luft}} = 633\;\mathrm{nm}$ ) zu jener im jeweiligen Stoff:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n & = & \dfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Wasser}}} \\[5pt] & = & \dfrac{633\;\mathrm{nm}}{479\;\mathrm{nm}} \approx 1,3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n & = & \dfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Wasser}}} \\[5pt] & = & \dfrac{633\;\mathrm{nm}}{479\;\mathrm{nm}} \approx 1,3 \end{array}$

Der berechnete Wert von $Formula: n \approx 1,3$ $Formula: n \approx 1,3$ liegt exakt in dem geforderten Intervall von $Formula: 1,2 \le n \le 1,4,$ $Formula: 1,2 \le n \le 1,4,$ womit die Annahme bestätigt ist.

Begründung zu (i): Aus Abbildung 6 lässt sich für einen Zuckergehalt von Grad Oechsle direkt eine Brechzahl von ablesen.
Begründung zu (ii): Zunächst wird die Wellenlänge des Laserlichts im Traubensaft ermittelt. Durch Umstellen der Definition für die Brechzahl $Formula: n = \tfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Stoff}}}$ $Formula: n = \tfrac{\lambda_{\mathrm{Luft}}}{\lambda_{\mathrm{Stoff}}}$ ergibt sich:

$Formula: \lambda_{\mathrm{Traubensaft}} = \frac{633\;\mathrm{nm}}{1,360} \approx 465\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{Traubensaft}} = \frac{633\;\mathrm{nm}}{1,360} \approx 465\;\mathrm{nm}$
Begründung zu (iii): Die Gittergleichung für das Maximum erster Ordnung am Gitter lautet:

$Formula: \sin(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{1 \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \sin(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{1 \cdot \lambda}{g}$

Durch das Einsetzen des gegebenen Spaltmittenabstands $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ $Formula: g = 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ sowie der zuvor berechneten Wellenlänge folgt die in Material 6 genannte Beziehung:

$Formula: \sin(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{ 465\;\mathrm{nm}}{ 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}$ $Formula: \sin(\alpha_{\mathrm{1}}) = \frac{ 465\;\mathrm{nm}}{ 2,00 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}$

Daraus folgt, dass das Maximum erster Ordnung im Traubensaft unter einem Winkel von $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = 13,4^{\circ}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{1}} = 13,4^{\circ}$ auftritt.
Begründung zu (iv): Der Abstand der beiden Maxima erster Ordnung auf dem $Formula: 14\;\text{cm}$ $Formula: 14\;\text{cm}$ entfernt stehenden Schirm setzt sich aus dem doppelten Abstand $Formula: d_{\mathrm{1}}$ $Formula: d_{\mathrm{1}}$ zum Maximum nullter Ordnung zusammen. Dieser Abstand berechnet sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 2 \cdot d_{1} & = & 2 \cdot a \cdot \tan(\alpha_{1}) \\[5pt] & = & 2 \cdot 14\;\mathrm{cm} \cdot \tan(13,4^{\circ}) \\[5pt] & \approx & 6,7\;\mathrm{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 2 \cdot d_{1} & = & 2 \cdot a \cdot \tan(\alpha_{1}) \\[5pt] & = & 2 \cdot 14\;\mathrm{cm} \cdot \tan(13,4^{\circ}) \\[5pt] & \approx & 6,7\;\mathrm{cm} \end{array}$

Wie die Berechnungen aus Teilaufgabe 3a belegen, bewirkt ein Zuckergehalt von Formula: 73 Grad Oechsle lediglich eine Änderung des Abstands der Maxima erster Ordnung von etwa $Formula: 2\;\mathrm{mm}$ $Formula: 2\;\mathrm{mm}$ im Vergleich zu Wasser.

Die Ablesegenauigkeit der Schülergruppe ist auf $Formula: 1\;\mathrm{mm}$ $Formula: 1\;\mathrm{mm}$ begrenzt, was eine Messunsicherheit von $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ $Formula: \pm 0,5\;\mathrm{mm}$ pro abgelesenem Punkt bedeutet. Im Rahmen dieser groben Ablesegenauigkeit lässt sich der resultierende Oechsle-Wert nur äußerst ungenau und fehleranfällig bestimmen.

Um den idealen Zeitpunkt für die Traubenernte festzulegen und maximale Preise für hohe Weinqualitäten zu erzielen, ist zwingend eine präzise Unterscheidung von wenigen Grad Oechsle erforderlich. Mit dem hier beschriebenen Beugungsversuch ist eine solch feine Unterscheidung sicher nicht realisierbar. Die Schülergruppe kann mit dieser fehleranfälligen Auswertungsmethode folglich keine verlässliche Empfehlung für den idealen Erntezeitpunkt geben.

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