Aufgabe 2 — Messung der magnetischen Flussdichte mit dem Smartphone

Zur Messung der magnetischen Flussdichte verwenden Smartphones Sensoren, die auf dem Hall-Effekt basieren.

In Material 1 wird ein Plättchen aus Bismut vorgestellt, das von einem Magnetfeld senkrecht durchsetzt ist.

Erkläre die Entstehung der Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ mithilfe einer Skizze. Kennzeichne dabei insbesondere die wirkenden Kräfte.

7 BE

Leite die Gleichung 1 in Material 1 für die Hall-Spannung her.

4 BE

Nimm an, durch das Bismutplättchen fließe ein elektrischer Strom der Stärke $Formula: 0,50\;\mathrm{A}$ $Formula: 0,50\;\mathrm{A}$ und es werde von einem magnetischen Feld der Flussdichte $Formula: B = 3,0\;\mathrm{mT}$ $Formula: B = 3,0\;\mathrm{mT}$ durchsetzt.

Berechne die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Bismutplättchen. Vergleiche dein Ergebnis mit der Driftgeschwindigkeit für Kupfer (Material 2) unter Zuhilfenahme des relativen Verhältnisses.

[Kontrollwert: $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{Kupfer}}}{v_{\mathrm{Bismut}}} = 0,0104\,\%$ $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{Kupfer}}}{v_{\mathrm{Bismut}}} = 0,0104\,\%$ ]

5 BE

Interpretiere die unterschiedlichen Ergebnisse der Driftgeschwindigkeiten bei Bismut und Kupferdraht.

Begründe damit die bessere Eignung von Bismut für Hall-Sensoren im Vergleich zu Kupfer.

5 BE

Eine mögliche Funktionsweise des Kompasses in einem Smartphone wird in Material 3 vorgestellt.

Berechne die magnetische Flussdichte Formula: B am Standort Kiel (Material 3) und den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ (Material 3, Abbildung 1).

4 BE

Berechne die maximale Abweichung des Betrags der magnetischen Flussdichte und die maximale Abweichung von der Richtung des Magnetfeldes infolge der Messunsicherheit der einzelnen Sensoren (Material 3).

5 BE

Die Federkonstante einer Feder kann aus ihrem Schwingungsverhalten erschlossen werden. Dafür wird die Schwingung einer Feder mithilfe des Hall-Sensors eines Smartphones untersucht.

Plane mithilfe der Materialliste (Material 4) ein dafür geeignetes Experiment.

Hinweis: Zu deiner Planung gehören eine beschriftete Skizze des Aufbaus und eine Beschreibung der Durchführung des Experiments.

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Skizziere und beschreibe ein mögliches Messergebnis deines Experiments.

3 BE

Erläutere anhand der Ergebnisse, wie die Federkonstante möglichst genau ermittelt werden kann.

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Material 1: Prinzip des Hall-Effekts bei Hall-Sensoren

In Smartphones werden Hall-Sensoren zur Kompassfunktion genutzt. Diese messen das Erdmagnetfeld und ermöglichen so die Anzeige der Himmelsrichtung. In der Formelsammlung ist die Skizze der Messung der Hall-Spannung abgebildet. Im Folgenden wird ein Plättchen aus Bismut mit der Abmessung $Formula: b = 3,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: b = 3,0\;\mathrm{cm}$ und $Formula: d = 0,010\;\mathrm{cm}$ $Formula: d = 0,010\;\mathrm{cm}$ betrachtet. Es ist von einem homogenen Magnetfeld senkrecht zum Plättchen durchsetzt und bildet das Kernstück eines Hall-Sensors, mit dem die magnetische Flussdichte gemessen werden kann. Die Funktion des Hall-Sensors basiert auf einer Hall-Spannung im Plättchen, die durch den elektrischen Stromfluss und das Magnetfeld aufgebaut wird. Die Hall-Spannung $Formula: U_\text{H}$ $Formula: U_\text{H}$ kann durch folgende Gleichung berechnet werden:

$Formula: U_\text{H} = b \cdot v \cdot B,$ $Formula: U_\text{H} = b \cdot v \cdot B,$ (1)

wobei Formula: v die Driftgeschwindigkeit der freien Elektronen ist.

Material 2: Driftgeschwindigkeit von Ladungsträgern

Die Driftgeschwindigkeit der freien Ladungsträger in einem Leiter hängt unter anderem von der elektrischen Stromstärke ab. Beispielsweise haben die Elektronen in einem Kupferdraht mit der Querschnittsfläche von $Formula: 3,0\;\mathrm{mm}^2$ $Formula: 3,0\;\mathrm{mm}^2$ bei einer elektrischen Stromstärke von $Formula: 0,50\;\mathrm{A}$ $Formula: 0,50\;\mathrm{A}$ eine Driftgeschwindigkeit von ca. $Formula: 0,0087\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: 0,0087\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}.$

Material 3: Messung der magnetischen Flussdichte der Erde in einem Smartphone

Damit das Smartphone als Kompass genutzt werden kann, muss es die Richtung und Stärke des Erdmagnetfelds erfassen. Dabei werden oft drei Hall-Sensoren, die allesamt senkrecht zueinanderstehen, verwendet. So werden bzgl. des Smartphones die jeweiligen Komponenten Formula: B_x, Formula: B_y und Formula: B_z der magnetischen Flussdichte der Erde gemessen. Wenn das Display in einer bestimmten Richtung am Standort Kiel parallel zur Erdoberfläche gehalten wird (Abbildung 1), ergeben sich folgende Messergebnisse:

$Formula: B_x = 11,0\;\mu\mathrm{T}$ $Formula: B_x = 11,0\;\mu\mathrm{T}$

$Formula: B_y = 25,0\;\mu\mathrm{T}$ $Formula: B_y = 25,0\;\mu\mathrm{T}$

$Formula: B_z = 48,0\;\mu\mathrm{T}$ $Formula: B_z = 48,0\;\mu\mathrm{T}$

Die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse und die $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achse weisen in Richtung der dargestellten Smartphone-Kanten und die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Achse steht senkrecht zum Smartphone-Display. Jeder einzelne Sensor hat eine Messunsicherheit von $Formula: \pm 0,2\;\mu\mathrm{T}.$ $Formula: \pm 0,2\;\mu\mathrm{T}.$

Mathematische Skizze mit Kreis, Vektoren und Winkeln auf einem Smartphone

Abbildung 1: Lage des Displays parallel zur Erdoberfläche. Formula: N steht für den geografischen Nordpol der Erde (entspricht vereinfacht dem magnetischen Südpol der Erde). $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ ist der Winkel des Smartphones bzgl. der geografischen Nordrichtung.

Material 4: Schwingungsverhalten einer Feder

Materialliste:

Smartphone inklusive Hall-Sensor und App zur Aufnahme von Messdaten
1 Schraubenfeder
1 Magnet
1 Tischklemme
Stativmaterial
Befestigungsmaterial
Waage

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Zwischen zwei Kontakten des Leiterplättchens fließt ein Elektronenstrom Formula: I. Das Plättchen wird von einem externen homogenen Magnetfeld Formula: B senkrecht durchsetzt. Auf die bewegten Elektronen wirkt daher die Lorentzkraft. Abhängig von der Richtung der Driftgeschwindigkeit Formula: v und der Magnetfeldrichtung werden die Elektronen zu einer Seite des Plättchens abgelenkt.

Dadurch entsteht beispielsweise am unteren Rand ein Elektronenüberschuss, während am oberen Rand ein Elektronenmangel vorliegt. Die Ladungstrennung erzeugt ein elektrisches Feld Formula: E, dessen elektrische Kraft der Lorentzkraft entgegengerichtet ist. Im Gleichgewicht gilt für die Elektronen $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}}.$ $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}}.$ Dadurch ist eine konstante Hall-Spannung messbar.

Skizze zur Hall-Spannung mit Magnetfeld, Ladung, Geschwindigkeit und Kräften.

Im Kräftegleichgewicht sind die Beträge der elektrischen Kraft und der Lorentzkraft gleich groß. Für die senkrechte Anordnung von Driftgeschwindigkeit und Magnetfeld gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}}\\[5pt]E \cdot q & = & q \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{q}\\[5pt]E & = & v \cdot B\\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}}\\[5pt]E \cdot q & = & q \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{q}\\[5pt]E & = & v \cdot B\\[5pt] \end{array}$

Zudem gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{H}} & = & E \cdot b &\quad\scriptsize\mid\,E = v \cdot B\\[5pt]& = & b \cdot v \cdot B\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{H}} & = & E \cdot b &\quad\scriptsize\mid\,E = v \cdot B\\[5pt]& = & b \cdot v \cdot B\end{array}$

Das entspricht der herzuleitenden Gleichung (1).

Berechnen der Driftgeschwindigkeit in Bismut

Es gilt der Formelansatz:

$Formula: U_{\mathrm{H}} = R_{\mathrm{H}} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d}$ $Formula: U_{\mathrm{H}} = R_{\mathrm{H}} \cdot \dfrac{I \cdot B}{d}$

Für die Hall-Spannung wird mit der Hall-Konstante von Bismut gerechnet. Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}U_{\mathrm{H}} & = & 5,0 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{m}^3\mathrm{C}^{-1} \cdot \dfrac{0,50\;\mathrm{A} \cdot 3,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T}}{1,0 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}} \\[5pt]& = & 7,5 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{V}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}U_{\mathrm{H}} & = & 5,0 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{m}^3\mathrm{C}^{-1} \cdot \dfrac{0,50\;\mathrm{A} \cdot 3,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T}}{1,0 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}} \\[5pt]& = & 7,5 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{V}\end{array}$

Aus der in Teilaufgabe a2) hergeleiteten Beziehung folgt für die Driftgeschwindigkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{H}} & = & b \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B \cdot b}\\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{B \cdot b} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{H}} & = & b \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B \cdot b}\\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{B \cdot b} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v & = & \dfrac{7,5 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{V}}{3,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0,030\;\mathrm{m}} \\[5pt]& = & 0,083\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 83\;\dfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v & = & \dfrac{7,5 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{V}}{3,0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0,030\;\mathrm{m}} \\[5pt]& = & 0,083\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt]& = & 83\;\dfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}\end{array}$

Vergleichen mit der Driftgeschwindigkeit in Kupfer

Als Verhältnis der Driftgeschwindigkeiten ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{v_{\mathrm{Kupfer}}}{v_{\mathrm{Bismut}}} & = & \dfrac{0,0087\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}}{83\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}} \\[5pt]& = & 1,04 \cdot 10^{-4} \\[5pt]& = & 0,0104\,\%\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{v_{\mathrm{Kupfer}}}{v_{\mathrm{Bismut}}} & = & \dfrac{0,0087\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}}{83\;\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}} \\[5pt]& = & 1,04 \cdot 10^{-4} \\[5pt]& = & 0,0104\,\%\end{array}$

Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in Kupfer beträgt damit nur etwa $Formula: 0,0104\,\%$ $Formula: 0,0104\,\%$ der Driftgeschwindigkeit in Bismut.

In Bismut ist die Ladungsträgerdichte Formula: n aufgrund der größeren Hall-Konstante deutlich geringer als in Kupfer. Um bei gleicher Stromstärke denselben Strom zu transportieren, müssen sich die vorhandenen freien Ladungsträger daher schneller bewegen.

Wegen der größeren Driftgeschwindigkeit entsteht in Bismut eine deutlich größere Hall-Spannung. Diese ist auch bei kleinen Magnetfeldern und geringen Strömen gut messbar. Bismut eignet sich deshalb besser für empfindliche und genaue Hall-Sensoren als Kupfer.

Der Betrag der magnetischen Flussdichte ergibt sich aus den drei senkrecht zueinander stehenden Komponenten:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}B & = & \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}\\[5pt]& = & \sqrt{(11,0\;\mu\mathrm{T})^2 + (25,0\;\mu\mathrm{T})^2 + (48,0\;\mu\mathrm{T})^2} \\[5pt]& = & 55,2\;\mu\mathrm{T}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}B & = & \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}\\[5pt]& = & \sqrt{(11,0\;\mu\mathrm{T})^2 + (25,0\;\mu\mathrm{T})^2 + (48,0\;\mu\mathrm{T})^2} \\[5pt]& = & 55,2\;\mu\mathrm{T}\end{array}$

Für den Winkel des Smartphones zur geografischen Nordrichtung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha) & = & \dfrac{B_x}{B_y} \\[5pt]& = & \dfrac{11,0\;\mu\mathrm{T}}{25,0\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha & = & \arctan\!\left(\dfrac{11,0}{25,0}\right) = 23,7^{\circ}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha) & = & \dfrac{B_x}{B_y} \\[5pt]& = & \dfrac{11,0\;\mu\mathrm{T}}{25,0\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha & = & \arctan\!\left(\dfrac{11,0}{25,0}\right) = 23,7^{\circ}\end{array}$

Für die größte beziehungsweise kleinste mögliche magnetische Flussdichte werden alle Komponenten an ihren jeweiligen Unsicherheitsgrenzen eingesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}B_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{(11,2\;\mu\mathrm{T})^2 + (25,2\;\mu\mathrm{T})^2 + (48,2\;\mu\mathrm{T})^2}\\[5pt]& = & 55,5\;\mu\mathrm{T}\\[5pt]B_{\mathrm{min}} & = & \sqrt{(10,8\;\mu\mathrm{T})^2 + (24,8\;\mu\mathrm{T})^2 + (47,8\;\mu\mathrm{T})^2} \\[5pt]& = & 54,9\;\mu\mathrm{T}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}B_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{(11,2\;\mu\mathrm{T})^2 + (25,2\;\mu\mathrm{T})^2 + (48,2\;\mu\mathrm{T})^2}\\[5pt]& = & 55,5\;\mu\mathrm{T}\\[5pt]B_{\mathrm{min}} & = & \sqrt{(10,8\;\mu\mathrm{T})^2 + (24,8\;\mu\mathrm{T})^2 + (47,8\;\mu\mathrm{T})^2} \\[5pt]& = & 54,9\;\mu\mathrm{T}\end{array}$

Daraus folgt für den Betrag eine maximale Abweichung von:

$Formula: \Delta B_{\mathrm{max}} = 0,3\;\mu\mathrm{T}$ $Formula: \Delta B_{\mathrm{max}} = 0,3\;\mu\mathrm{T}$

Für die Winkelabweichung müssen die Komponenten Formula: B_x und Formula: B_y gegenläufig variiert werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha_{\mathrm{max}}) & = & \dfrac{11,2\;\mu\mathrm{T}}{24,8\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha_{\mathrm{max}} & = & \arctan\!\left(\dfrac{11,2}{24,8}\right) = 24,3^{\circ}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha_{\mathrm{max}}) & = & \dfrac{11,2\;\mu\mathrm{T}}{24,8\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha_{\mathrm{max}} & = & \arctan\!\left(\dfrac{11,2}{24,8}\right) = 24,3^{\circ}\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha_{\mathrm{min}}) & = & \dfrac{10,8\;\mu\mathrm{T}}{25,2\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha_{\mathrm{min}} & = & \arctan\!\left(\dfrac{10,8}{25,2}\right) = 23,2^{\circ}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\tan(\alpha_{\mathrm{min}}) & = & \dfrac{10,8\;\mu\mathrm{T}}{25,2\;\mu\mathrm{T}} &\scriptsize\mid\,\arctan\\[5pt]\alpha_{\mathrm{min}} & = & \arctan\!\left(\dfrac{10,8}{25,2}\right) = 23,2^{\circ}\end{array}$

Bezogen auf den in Teilaufgabe b1) bestimmten Winkel beträgt die maximale Richtungsabweichung damit:

$Formula: \Delta \alpha_{\mathrm{max}} = 0,6^{\circ}$ $Formula: \Delta \alpha_{\mathrm{max}} = 0,6^{\circ}$

Die Masse des Magneten wird zunächst mit der Waage bestimmt. Anschließend wird die Schraubenfeder mit Tischklemme und Stativmaterial senkrecht befestigt. Der Magnet wird an der Feder aufgehängt; das Smartphone mit Hall-Sensor befindet sich direkt unterhalb des Magneten.

Zu Beginn befindet sich der Magnet in Ruhelage. Der Magnet wird dann aus seiner Ruhelage vertikal ausgelenkt und losgelassen. Gleichzeitig startet die App die Aufzeichnung des Magnetfeldes. Es wird die Zeit für mehrere vollständige Schwingungen gemessen. Dabei ist darauf zu achten, dass der Magnet nur vertikal schwingt und nicht seitlich pendelt.

Skizze des Aufbaus:

Skizze eines Magnet-Experiments mit Feder, Magnet und Smartphone mit Magnetfeldsensor

Mögliche Messung der Federschwingung:

Schwingende Kurve im Diagramm über der Zeitachse

Die Messung zeigt eine sinusförmige Schwingung mit einer konstanten Verschiebung gegenüber der $Formula: t\text{-}$ $Formula: t\text{-}$ Achse.

Zur Verringerung der Messunsicherheit wird die Zeit $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ für mehrere Perioden gemessen. Bei Formula: N vollständigen Schwingungen ergibt sich die Schwingungsdauer zu $Formula: T = \tfrac{\Delta t}{N}.$ $Formula: T = \tfrac{\Delta t}{N}.$

Mit der bekannten Masse Formula: m des Magneten gilt für die Feder $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$ $Formula: T = 2\pi \sqrt{\tfrac{m}{D}}.$

Nach der Federkonstante Formula: D aufgelöst ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}T & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\,\text{quadrieren}\\[5pt]T^2 & = & 4\pi^2 \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot D\\[5pt]D \cdot T^2 & = & 4\pi^2 \cdot m &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{T^2}\\[5pt]D & = & 4\pi^2 \dfrac{m}{T^2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}T & = & 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\,\text{quadrieren}\\[5pt]T^2 & = & 4\pi^2 \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot D\\[5pt]D \cdot T^2 & = & 4\pi^2 \cdot m &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{T^2}\\[5pt]D & = & 4\pi^2 \dfrac{m}{T^2}\end{array}$

Eine noch genauere Bestimmung ist möglich, wenn Messungen mit mehreren unterschiedlichen Massen durchgeführt werden.

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