Aufgabe 4 — Anwendung des Potenzialtopfmodells auf Moleküle

Acene sind organische Moleküle. Sie sind beispielsweise für den Einsatz in Bildschirmen interessant und aktuell Gegenstand der Forschung.

Damit Acene (Material 1) für Bildschirme verwendet werden können, müssen sie Photonen mit gewisser Energie aussenden, um bestimmte Farben darzustellen.

Ermittle die Photonenenergie, die einer Wellenlänge von $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ entspricht.

3 BE

Erkläre mithilfe eines quantenmechanischen Atommodells, dass Atome ein diskretes Emissionsspektrum aufweisen.

4 BE

In Bildschirmen können Acene (insbesondere $Formula: 4\text{-A},$ $Formula: 4\text{-A},$ $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ und $Formula: 6\text{-A},$ $Formula: 6\text{-A},$ siehe Material 1) zur Darstellung gewisser Farben verwendet werden. Interessant sind in diesem Zusammenhang insbesondere die Farben Rot, Blau und Grün. Verwende bei den folgenden Berechnungen stets das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden.

Begründe rechnerisch, dass bei den folgenden Übergängen in $Formula: 4\text{-A}\text{-}$ $Formula: 4\text{-A}\text{-}$ bzw. $Formula: 5\text{-A}\text{-}$ $Formula: 5\text{-A}\text{-}$ Molekülen Photonen emittiert werden, deren Energien den Farben Rot bzw. Blau entsprechen:

$Formula: 4\text{-A}\text{:}$ $Formula: 4\text{-A}\text{:}$ Formula: E_3 nach Formula: E_2

$Formula: 5\text{-A}\text{:}$ $Formula: 5\text{-A}\text{:}$ Formula: E_6 nach Formula: E_5

5 BE

Ermittle durch eine Rechnung, ob bei einem Übergang in $Formula: 6\text{-A}\text{-}$ $Formula: 6\text{-A}\text{-}$ Molekülen Photonen emittiert werden, deren Energie der Farbe Grün entspricht. Dabei sollen nur Übergänge zwischen benachbarten Niveaus betrachtet werden.

5 BE

Das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden liefert eine gute Beschreibung für die Lichtemission von Acenen.

Nenne drei Annahmen, die in Bezug auf ein Acen-Molekül bei der Anwendung des Modells gemacht werden.

6 BE

Begründe, dass die Modellierung der Acene mittels eines Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden keine Ionisierung erklären kann.

3 BE

Eine Erweiterung stellt das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes mit endlich hohen Wänden dar (Material 2).

Interpretiere die für die Wellenfunktion $Formula: \Psi(x)$ $Formula: \Psi(x)$ des Elektrons im Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden gültige Beziehung

$Formula: \int_L^\infty |\Psi(x)|^2\,\mathrm{d}x > 0$ $Formula: \int_L^\infty |\Psi(x)|^2\,\mathrm{d}x > 0$

4 BE

Vor dem Aufkommen von LED-Displays waren Plasma-Displays die beliebteste Wahl bei Flachbildschirmen (Material 3).

Sowohl LEDs als auch die Gasatome in Plasma-Bildschirmen werden elektrisch zum Leuchten gebracht. Zum Betrieb der LEDs ist hierbei eine Spannung von wenigen Volt ausreichend.

Stelle eine Hypothese auf, welcher Spannungsbereich erforderlich ist, um die Gasatome in Plasma-Bildschirmen zum Leuchten anzuregen.

4 BE

Beurteile die Güte der vom Verkäufer in Material 4 getroffenen Aussagen.

6 BE

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Material 1: Acene

Acene sind organische Verbindungen, die aus mehreren Benzolringen (regelmäßige Sechsecke) bestehen und verschieden lange Ketten bilden.

Je nach Anzahl der Ringe Formula: k wird zwischen $Formula: 3\text{-A}$ $Formula: 3\text{-A}$ mit Ringen, $Formula: 4\text{-A}$ $Formula: 4\text{-A}$ mit Ringen, $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ mit Ringen usw. unterschieden.

Die Länge des eindimensionalen Potenzialtopfes für ein $Formula: k\text{-A}\text{-}$ $Formula: k\text{-A}\text{-}$ Molekül kann näherungsweise durch $Formula: L_k = k \cdot 0,246\;\mathrm{nm}$ $Formula: L_k = k \cdot 0,246\;\mathrm{nm}$ berechnet werden.

Chemische Strukturformel mit drei verbundenen Sechsringen und Markierungen (1), (2), (3)

Abbildung 1: schematische Darstellung eines $Formula: 3\text{-A-}$ $Formula: 3\text{-A-}$ Moleküls

Material 2: Modellerweiterung: Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Das Modell des eindimensionalen Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden liefert nicht die korrekten Energieniveaus eines linearen Moleküls. Insbesondere ergäben sich daraus unendlich viele gebundene Zustände mit über alle Grenzen wachsenden Energien. Eine Verfeinerung des Modells ist möglich, wenn die Höhe der Wände des Potenzialtopfes der Realität angepasst wird.

Abbildung 2a zeigt den Verlauf der potenziellen Energie für einen eindimensionalen Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden. Somit sind hier nur gebundene Zustände mit Energien kleiner als $Formula: E_{\mathrm{max}}$ $Formula: E_{\mathrm{max}}$ möglich. Weiterhin ist hier die Ionisierung schematisch dargestellt.

Abbildung 2b zeigt den Graphen der Nachweiswahrscheinlichkeitsdichte $Formula: |\Psi(x)|^2$ $Formula: |\Psi(x)|^2$ eines Elektrons im Grundzustand.

Diagramm zur Elektronenionisierung im Potenzialprofil mit Energiediagramm.

Grafik der Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x)|² als Kurve über x.

Abbildung 2: potenzielle Energie und schematische Darstellung der Ionisierung (a) sowie Nachweiswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons (b) im linearen Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Material 3: Vergleich von LED- und Plasma-Bildschirmen

Plasma-Bildschirme erzeugen Bilder, indem ein Edelgas durch Stoßanregung mit Elektronen ionisiert wird. Die hierfür notwendige Ionisierungsenergie beträgt etwa $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 20\;\mathrm{eV}.$ Ein Elektron stößt während seiner Bewegung durch das Edelgas je nach Gerät mit etwa Formula: 10 bis Formula: 50 Gasatomen zusammen. Das ionisierte Gas („Plasma“) emittiert ultraviolettes Licht, welches die Phosphorbeschichtung des Bildschirms anregt, wodurch sichtbares Licht entsteht.

Moderne LED-Bildschirme enthalten in jedem Pixel eine Leuchteinheit, die durch das Anlegen einer elektrischen Spannung separat zum Leuchten angeregt wird und Licht in bestimmten Farben emittiert.

	LED-Bildschirm	Plasma-Bildchirm
Elektrische Eingangsleistung	$Formula: 150\;\mathrm{W}$ $Formula: 150\;\mathrm{W}$	$Formula: 300\;\mathrm{W}$ $Formula: 300\;\mathrm{W}$
Bildwiederholrate (dargestellte Einzelbilder pro Sekunde)	$Formula: 120\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 120\;\mathrm{Hz}$	$Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$
Horizontale Bildschirmauflösung	$Formula: 4000\;\mathrm{Pixel}$ $Formula: 4000\;\mathrm{Pixel}$	$Formula: 1080\;\mathrm{Pixel}$ $Formula: 1080\;\mathrm{Pixel}$

Tabelle 1: typische Kennwerte von LED- und Plasma-Bildschirmen gleicher Größe

Material 4: Verkaufsberatung zu LED- und Plasma-Bildschirmen

Im Rahmen eines Verkaufsgesprächs macht ein Verkäufer die folgenden drei Aussagen:

LED-Bildschirme sind nachhaltiger, weil sie eine geringere Eingangsleistung aufweisen.
LED-Bildschirme sind geeigneter, wenn es auf eine hohe Auflösung ankommt.
Plasma-Bildschirme sind besser geeignet, wenn es auf schnelle Bewegungen (z. B. bei schnellen PC-Spielen) ankommt.

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Für die Energie eines Photons gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda}\\[5pt]& = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}}\\[5pt]& = & 4,52 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}\\[5pt]& = & 2,82\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda}\\[5pt]& = & \dfrac{6,626 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}}\\[5pt]& = & 4,52 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}\\[5pt]& = & 2,82\;\mathrm{eV}\end{array}$

Ein Photon mit der Wellenlänge $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: 440\;\mathrm{nm}$ besitzt die Energie $Formula: 2,82\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 2,82\;\mathrm{eV}.$

Atome besitzen diskrete Energieniveaus. Ein Atom in einem angeregten Zustand kehrt in einen energetisch niedrigeren Zustand zurück.

Bei diesem Übergang wird ein Photon emittiert. Seine Energie entspricht der Energiedifferenz zwischen den beiden Niveaus $Formula: E_{\mathrm{Photon}} = \Delta E.$ $Formula: E_{\mathrm{Photon}} = \Delta E.$

Da nur bestimmte Energiedifferenzen möglich sind, können auch nur Photonen mit bestimmten Energien und Wellenlängen emittiert werden. Das Emissionsspektrum eines Atoms ist daher diskret.

Für die Energieniveaus eines $Formula: k\text{-A-}$ $Formula: k\text{-A-}$ Moleküls im eindimensionalen Potenzialtopf gilt:

$Formula: E_n = \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_k^2} \cdot n^2$ $Formula: E_n = \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_k^2} \cdot n^2$

Die Länge des Potenzialtopfes lautet:

$Formula: L_k = k \cdot 0,246\;\mathrm{nm}$ $Formula: L_k = k \cdot 0,246\;\mathrm{nm}$

Für das Molekül $Formula: 4\text{-A}$ $Formula: 4\text{-A}$ gilt Formula: k = 4 und damit $Formula: L_4 = 0,984\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_4 = 0,984\;\mathrm{nm}.$ Für den Übergang von Formula: E_3 nach Formula: E_2 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_3 - E_2\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_4^2} \cdot \left(3^2 - 2^2\right)\\[5pt]& = & 1,94\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_3 - E_2\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_4^2} \cdot \left(3^2 - 2^2\right)\\[5pt]& = & 1,94\;\mathrm{eV}\end{array}$

Die zugehörige Wellenlänge beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{1,94\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 639\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{1,94\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 639\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge $Formula: 639\;\mathrm{nm}$ $Formula: 639\;\mathrm{nm}$ entspricht rotem Licht.

Für das Molekül $Formula: 5\text{-A}$ $Formula: 5\text{-A}$ gilt Formula: k = 5 und damit $Formula: L_5 = 1,230\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_5 = 1,230\;\mathrm{nm}.$ Für den Übergang von Formula: E_6 nach Formula: E_5 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_6 - E_5\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_5^2} \cdot \left(6^2 - 5^2\right)\\[5pt]& = & 2,73\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_6 - E_5\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_5^2} \cdot \left(6^2 - 5^2\right)\\[5pt]& = & 2,73\;\mathrm{eV}\end{array}$

Die zugehörige Wellenlänge beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{2,73\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 453\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{2,73\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 453\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge $Formula: 453\;\mathrm{nm}$ $Formula: 453\;\mathrm{nm}$ entspricht blauem Licht.

Für das Molekül $Formula: 6\text{-A}$ $Formula: 6\text{-A}$ gilt Formula: k = 6 und damit $Formula: L_6 = 1,476\;\mathrm{nm}.$ $Formula: L_6 = 1,476\;\mathrm{nm}.$

Bei Übergängen zwischen benachbarten Niveaus liefert der Übergang von Formula: E_7 nach Formula: E_6 die passende Energie:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_7 - E_6\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_6^2} \cdot \left(7^2 - 6^2\right)\\[5pt]& = & 2,24\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta E & = & E_7 - E_6\\[5pt]& = & \dfrac{h^2}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L_6^2} \cdot \left(7^2 - 6^2\right)\\[5pt]& = & 2,24\;\mathrm{eV}\end{array}$

Damit folgt für die Wellenlänge:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{2,24\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 553\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E}\\[5pt]& = & \dfrac{h \cdot c}{2,24\;\mathrm{eV}}\\[5pt]& = & 553\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge $Formula: 553\;\mathrm{nm}$ $Formula: 553\;\mathrm{nm}$ entspricht grünem Licht. Der Übergang liefert somit die gewünschte Farbe.

Bei der Anwendung des eindimensionalen Potenzialtopfmodells auf ein Acen-Molekül werden beispielsweise folgende Annahmen getroffen:

Die Acen-Moleküle bilden eine lineare Kette. Die Länge dieser Kette kann als Länge des Potenzialtopfes angenommen werden.
Die Ausdehnung der Moleküle in den beiden anderen Raumrichtungen ist vernachlässigbar klein.
Das Elektron muss entlang des Moleküls über die Länge des Potenzialtopfes frei bewegbar sein.
Wechselwirkungen des Elektrons z.B. mit anderen Elektronen sind ausgeschlossen.
Das Elektron kann sich nicht vom Molekül trennen.

Ionisierung bedeutet, dass ein Elektron das Acen-Molekül nach einer Anregung mit ausreichend hoher Energie verlässt.

Im Modell des Potenzialtopfes mit unendlich hohen Wänden wäre dafür eine unendlich hohe Energie erforderlich. Das Elektron könnte den Potenzialtopf folglich nicht verlassen.

Da eine unendlich hohe Energie physikalisch nicht möglich ist, kann dieses Modell die Ionisierung nicht erklären.

Das Integral

$Formula: \int_L^{\infty} \left|\Psi(x)\right|^2\;\mathrm{d}x > 0$ $Formula: \int_L^{\infty} \left|\Psi(x)\right|^2\;\mathrm{d}x > 0$

beschreibt die Wahrscheinlichkeit, das Elektron bei einer Ortsmessung rechts außerhalb des Potenzialtopfes im Bereich $Formula: x \in [L;\infty[$ $Formula: x \in [L;\infty[$ vorzufinden.

Bei einem Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden ist diese Wahrscheinlichkeit größer als null. Ein ursprünglich im Molekül gebundenes Elektron kann daher auch außerhalb des Moleküls nachgewiesen werden.

Für die Ionisierung eines Gasatoms ist nach Material 3 eine Energie von etwa $Formula: 20\;\mathrm{eV}$ $Formula: 20\;\mathrm{eV}$ erforderlich. Ein Elektron stößt je nach Gerät mit etwa Formula: 10 bis Formula: 50 Gasatomen zusammen.

Damit muss das Elektron mindestens folgende Energie besitzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{min}} & = & 10 \cdot 20\;\mathrm{eV}\\[5pt]& = & 200\;\mathrm{eV}\\[5pt]E_{\mathrm{max}} & = & 50 \cdot 20\;\mathrm{eV}\\[5pt]& = & 1000\;\mathrm{eV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{min}} & = & 10 \cdot 20\;\mathrm{eV}\\[5pt]& = & 200\;\mathrm{eV}\\[5pt]E_{\mathrm{max}} & = & 50 \cdot 20\;\mathrm{eV}\\[5pt]& = & 1000\;\mathrm{eV}\end{array}$

Durch eine Beschleunigungsspannung Formula: U erhält das Elektron die Energie $Formula: E = e \cdot U.$ $Formula: E = e \cdot U.$ Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}U_{\mathrm{min}} & = & \dfrac{E_{\mathrm{min}}}{e}\\[5pt]& = & 200\;\mathrm{V}\\[5pt]U_{\mathrm{max}} & = & \dfrac{E_{\mathrm{max}}}{e}\\[5pt]& = & 1000\;\mathrm{V}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}U_{\mathrm{min}} & = & \dfrac{E_{\mathrm{min}}}{e}\\[5pt]& = & 200\;\mathrm{V}\\[5pt]U_{\mathrm{max}} & = & \dfrac{E_{\mathrm{max}}}{e}\\[5pt]& = & 1000\;\mathrm{V}\end{array}$

Für die Anregung der Gasatome ist somit eine Spannung von einigen Hundert Volt bis etwa $Formula: 1000\;\mathrm{V}$ $Formula: 1000\;\mathrm{V}$ plausibel.

LED-Bildschirme sind nachhaltiger, weil sie eine geringere Eingangsleistung aufweisen.

Diese Schlussfolgerung ist unvollständig. Für die Nachhaltigkeit spielen neben der Eingangsleistung weitere Aspekte eine Rolle.
LED-Bildschirme sind geeigneter, wenn es auf eine hohe Auflösung ankommt.

Diese Schlussfolgerung ist zutreffend. Material 3 nennt für LED-Bildschirme eine horizontale Auflösung von Pixeln, für Plasma-Bildschirme dagegen Pixel.
Plasma-Bildschirme sind besser geeignet, wenn es auf schnelle Bewegungen ankommt.

Diese Aussage könnte zutreffen, da Plasma-Bildschirme mit $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 600\;\mathrm{Hz}$ eine höhere Bildwiederholrate als LED-Bildschirme mit $Formula: 120\;\mathrm{Hz}$ $Formula: 120\;\mathrm{Hz}$ besitzen. Ob dieser Unterschied wahrnehmbar ist, geht aus den Materialien jedoch nicht hervor.

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