Aufgabe A — Kondensatoren in Kraftfahrzeugen

Mit Kondensatoren lassen sich in vielen Bereichen der Elektronik zeitabhängige Prozesse oder Schaltvorgänge steuern.

In einem Schülerexperiment ist die Kapazität eines gegebenen Kondensators aus Aufladevorgängen zu bestimmen.

Zeichne einen Schaltplan für einen Versuchsaufbau, mit dem dieses Experiment durchgeführt werden kann. Beachte die Hinweise im Material 1.

Hinweis: Sollte das Zeichnen des Schaltplans nicht gelingen, so kann ein Schaltplan angefordert werden. Entsprechend der nicht erbrachten Teilleistung werden bis zu fünf Bewertungseinheiten bei dieser Teilaufgabe nicht erteilt.

5 BE

Baue den Versuch auf und führe ihn durch. Erfasse und protokolliere die Messwerte. Beachte dabei die Hinweise im Material 1.

Hinweis: Sollte der Aufbau und das Aufnehmen der Messwerte nicht gelingen, so können Ersatzmesswerte angefordert werden. Entsprechend der nicht erbrachten Teilleistung werden bis zu sieben Bewertungseinheiten nicht erteilt.

7 BE

Berechne für beide Messungen jeweils die Kapazität des Kondensators in der Einheit $Formula: \mu\mathrm{F}$ $Formula: \mu\mathrm{F}$ mithilfe der im Material 2 angegebenen Gleichung.

4 BE

Stelle eine Hypothese darüber auf, welche der beiden berechneten Kapazitäten die größere Messunsicherheit besitzt. Begründe deine Aussage.

4 BE

In einem PKW schaltet sich bei Dunkelheit die Innenraumbeleuchtung automatisch ein, wenn eine oder mehrere Türen geöffnet werden. Ab dem Moment, in dem alle Türen wieder geschlossen sind, soll innerhalb einer Zeitspanne $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ die Helligkeit der Innenraumbeleuchtung allmählich abnehmen. Das wird dadurch realisiert, dass sich ein an der $Formula: 12\;\mathrm{V}$ $Formula: 12\;\mathrm{V}$ –Gleichspannungsversorgung des PKW aufgeladener Kondensator der Kapazität $Formula: 0,01\;\mathrm{F}$ $Formula: 0,01\;\mathrm{F}$ über die Leuchtmittel der Innenraumbeleuchtung entlädt.

Berechne die Zeitspanne $Formula: \Delta t,$ $Formula: \Delta t,$ wenn davon ausgegangen wird, dass der Widerstand der angeschlossenen Leuchtmittel insgesamt $Formula: 330\;\Omega$ $Formula: 330\;\Omega$ beträgt und dass sie unterhalb einer Spannung von $Formula: 4,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 4,0\;\mathrm{V}$ nicht mehr leuchten.

4 BE

Erläutere zwei Möglichkeiten, die Zeitspanne Formula: ∆t zu vergrößern.

4 BE

Ordne den beiden in Material 3 beschriebenen Fällen die beiden Graphen in dem Diagramm in Abbildung 1 dieses Materials zu und erkläre die unterschiedlichen Verläufe der beiden Graphen.

4 BE

Beim Ein- und Ausschalten der Innenraumbeleuchtung kommt ein elektronischer Schalter zum Einsatz. Dieser schließt oder öffnet dann einen Stromkreis, wenn ein spezieller Taster betätigt wird. Ein solcher Taster ist im Material 4 näher beschrieben. Beim Betätigen des Tasters ändert sich die Kapazität der Anordnung.

Die Plattenfläche des Kondensators beträgt $Formula: 60\;\mathrm{mm}^2.$ $Formula: 60\;\mathrm{mm}^2.$ Beim Drücken der Taste verringert sich der Abstand zwischen den beiden Platten von $Formula: 4,0\;\mathrm{mm}$ $Formula: 4,0\;\mathrm{mm}$ auf $Formula: 1,0\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 1,0\;\mathrm{mm}.$ Die relative Permittivität des elastischen Nichtleiters zwischen den Platten beträgt Formula: 26 und wird als konstant angenommen.

Berechne die Kapazitätsänderung des Kondensators des Tasters, wenn er gedrückt wird.

4 BE

Um den Schaltvorgang im elektronischen Schalter auszulösen, muss die Änderung der Kapazität in andere elektrische Größen umgewandelt werden. Dabei werden verschiedene Prinzipien unterschieden. Einige elektronische Schalter wandeln die Kapazitätsänderung in eine Wechselstromänderung um, andere in eine Gleichstrom- oder Gleichspannungsänderung oder aber in eine Frequenzänderung.

Erläutere zwei der drei genannten Möglichkeiten, die Änderung der Kapazität des Tasters in eine der genannten elektrischen Größen umzuwandeln.

4 BE

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Material 1: Experiment zur Bestimmung der Kapazität eines Kondensators

Bereitstehende Geräte und Hilfsmittel:

Stromversorgungsgerät (Gleichspannungsquelle)
Gleichspannungsmessgerät
Kondensator unbekannter Kapazität
Widerstand (Der Widerstandswert wird von der Fachlehrkraft mitgeteilt.)
Stoppuhr
Umschalter
Verbindungskabel

Hinweise zum Schaltplan und zur Durchführung:

Entwickle den Schaltplan so, dass in einer Schalterstellung des Umschalters der Kondensator entladen wird und in der anderen Schalterstellung über den Widerstand aufgeladen wird.
Bestimme zunächst die Spannung an der Gleichspannungsquelle und ändere diesen Wert während des gesamten Versuchs nicht.
Entlade den Kondensator vollständig.
Lade in einem ersten Versuch den Kondensator bis auf eine Spannung $Formula: U_{{C},1} = 0,1 \cdot U_0$ $Formula: U_{{C},1} = 0,1 \cdot U_0$ auf und miss die dazu erforderliche Zeit

Lade anschließend in einem zweiten Versuch den Kondensator bis auf eine Spannung $Formula: U_{{C},2} = 0,5 \cdot U_0$ $Formula: U_{{C},2} = 0,5 \cdot U_0$ auf und miss die dazu erforderliche Zeit

Material 2: Kapazität eines Kondensators

Wird ein Kondensator in der Zeit Formula: t von $Formula: 0\;\mathrm{V}$ $Formula: 0\;\mathrm{V}$ auf die Spannung $Formula: U_{\mathrm{C}}$ $Formula: U_{\mathrm{C}}$ aufgeladen, wobei sich der Kondensator in einer Reihenschaltung mit einem Widerstand Formula: R und einer Gleichspannungsquelle befindet, dann kann seine Kapazität mit folgender Gleichung berechnet werden:

$Formula: C = \dfrac{-t}{R \cdot \ln \left(1 - \tfrac{U_{{C}}}{U_0}\right)}$ $Formula: C = \dfrac{-t}{R \cdot \ln \left(1 - \tfrac{U_{{C}}}{U_0}\right)}$

Material 3: Entladekurven eines Kondensators

In einem Modellversuch zur Untersuchung des Abklingens der Helligkeit der Innenraumbeleuchtung eines PKW wurden zwei Entladekurven eines Kondensators der Kapazität Formula: C aufgenommen (vgl. Abbildung 1). Im ersten Fall wurde der Kondensator über einen Widerstand Formula: R entladen. Im zweiten Fall fand die Entladung des Kondensators über eine Reihenschaltung aus dem Widerstand und einer Leuchtdiode (LED) statt.

Leuchtdioden (LED) sind in der Elektronik weit verbreitet, z. B. als einfache Kontrollleuchten, stromsparende Beleuchtungsmittel oder als Komponenten in LED-Bildschirmen.

In der Abbildung 2 ist die Kennlinie einer LED dargestellt. Mit zunehmender Stromstärke steigt auch die Helligkeit der Leuchtdiode an.

Diagramm mit zwei abklingenden Spannungsverläufen (Graph A, Graph B) über die Zeit; Achsenbeschriftungen U in V, t in s.

Abbildung 1: Ein Kondensator wird entladen – einmal über einen Widerstand $Formula: \small{R,}$ $Formula: \small{R,}$ ein weiteres Mal über eine Reihenschaltung aus einer Leuchtdiode und diesem Widerstand $Formula: \small{R.}$ $Formula: \small{R.}$

Diagramm: Strom (mA) gegen Spannung (V), Strom ~0 bis 2,2 V, dann steiler Anstieg bis etwa 30 mA.

Abbildung 2: Kennlinie einer LED in Durchlassrichtung

Material 4: Taster

Schaltvorgänge können mithilfe eines Tasters ausgelöst werden, der mit einer Anordnung gemäß Abbildung 3 verbunden ist. Der Nichtleiter besteht dabei aus einem elastischen Material. Beim Betätigen des Druckknopfes ändert sich die Kapazität der Anordnung.

Schematische Darstellung eines Kondensators mit Druckknopf, beweglicher und fester Metallplatte sowie elastischem Nichtleiter

Abbildung 3: Aufbau des Tasters

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Einfacher Schaltplan mit Batterie U0, Widerstand R, Kondensator C und Voltmeter V

Versuchsdurchführung:

Zuerst wird die konstante Quellenspannung an der Gleichspannungsquelle eingestellt und gemessen.
Vor jedem Messdurchgang wird der Kondensator vollständig entladen.
Für die erste Messung wird der Kondensator über den Widerstand geladen. Mithilfe einer Stoppuhr wird die Zeit erfasst, die bis zum Erreichen der Spannung $Formula: U_{\mathrm{C},1} = 0,1 \cdot U_0$ $Formula: U_{\mathrm{C},1} = 0,1 \cdot U_0$ vergeht.
Für die zweite Messung wird der Vorgang wiederholt, wobei die Zeit bis zum Erreichen der Spannung $Formula: U_{\mathrm{C},2} = 0,5 \cdot U_0$ $Formula: U_{\mathrm{C},2} = 0,5 \cdot U_0$ gemessen wird.

Beispielhaftes Messprotokoll:

Gegebene Parameter: $Formula: U_0 = 10\; \mathrm{V},$ $Formula: U_0 = 10\; \mathrm{V},$ $Formula: R = 47\; \mathrm{k}\Omega = 47000\; \Omega$ $Formula: R = 47\; \mathrm{k}\Omega = 47000\; \Omega$

Daraus ergeben sich beispielsweise folgende Messwerte:

Messung 1: Für $Formula: U_{{C},1} = 0,1 \cdot 10\; \mathrm{V} = 1,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},1} = 0,1 \cdot 10\; \mathrm{V} = 1,0\; \mathrm{V}$ ergibt sich eine Ladezeit von $Formula: t_1 = 2,2\; \mathrm{s}.$ $Formula: t_1 = 2,2\; \mathrm{s}.$
Messung 2: Für $Formula: U_{{C},2} = 0,5 \cdot 10\; \mathrm{V} = 5,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},2} = 0,5 \cdot 10\; \mathrm{V} = 5,0\; \mathrm{V}$ ergibt sich eine Ladezeit von $Formula: t_2 = 15,5\; \mathrm{s}.$ $Formula: t_2 = 15,5\; \mathrm{s}.$

Die Berechnung der Kapazität Formula: C erfolgt über die gegebene Gleichung für den Aufladevorgang:

$Formula: C = \frac{-t}{R \cdot \ln\left(1 - \tfrac{U_{{C}}}{U_0}\right)}$ $Formula: C = \frac{-t}{R \cdot \ln\left(1 - \tfrac{U_{{C}}}{U_0}\right)}$

Durch Einsetzen der Werte $Formula: t_1 = 2,2\; \mathrm{s}$ $Formula: t_1 = 2,2\; \mathrm{s}$ und $Formula: U_{{C},1} = 1,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},1} = 1,0\; \mathrm{V}$ (Messung 1) ergibt sich für die Kapazität $Formula: C_1\text{:}$ $Formula: C_1\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C_1 & = & \dfrac{-2,2\; \mathrm{s}}{47000\; \Omega \cdot \ln\left(1 - \tfrac{1,0\; \mathrm{V}}{10\; \mathrm{V}}\right)} \\[5pt] & \approx & 2,44 \cdot 10^{-4}\; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 444\; \mathrm{\mu F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C_1 & = & \dfrac{-2,2\; \mathrm{s}}{47000\; \Omega \cdot \ln\left(1 - \tfrac{1,0\; \mathrm{V}}{10\; \mathrm{V}}\right)} \\[5pt] & \approx & 2,44 \cdot 10^{-4}\; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 444\; \mathrm{\mu F} \end{array}$

Durch Einsetzen der Werte $Formula: t_2 = 15,5\; \mathrm{s}$ $Formula: t_2 = 15,5\; \mathrm{s}$ und $Formula: U_{{C},2} = 5,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},2} = 5,0\; \mathrm{V}$ (Messung 1) ergibt sich für die Kapazität $Formula: C_2\text{:}$ $Formula: C_2\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C_2 & = & \dfrac{-15,5\; \mathrm{s}}{47000\; \Omega \cdot \ln\left(1 - \tfrac{5,0\; \mathrm{V}}{10\; \mathrm{V}}\right)} \\[5pt] & \approx & 4,76 \cdot 10^{-4}\; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 476\; \mathrm{\mu F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C_2 & = & \dfrac{-15,5\; \mathrm{s}}{47000\; \Omega \cdot \ln\left(1 - \tfrac{5,0\; \mathrm{V}}{10\; \mathrm{V}}\right)} \\[5pt] & \approx & 4,76 \cdot 10^{-4}\; \mathrm{F} \\[5pt] & = & 476\; \mathrm{\mu F} \end{array}$

Die aus der ersten Messung berechnete Kapazität Formula: C_1 weist vermutlich die größere Messunsicherheit auf.

Das liegt daran, dass die Stromstärke im Kreis zu Beginn des Aufladevorgangs maximal ist, wodurch die zeitliche Änderung der Spannung am Kondensator extrem schnell verläuft. Das exakte Stoppen der Zeit beim Erreichen des relativ kleinen Spannungswertes $Formula: U_{{C},1} = 1,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},1} = 1,0\; \mathrm{V}$ ist aufgrund menschlicher Reaktionszeiten mit einem verhältnismäßig großen Fehler behaftet.

Im weiteren Verlauf flacht die Ladekurve zunehmend ab. Zum Zeitpunkt Formula: t_2 ändert sich die Spannung pro Zeiteinheit deutlich langsamer, wodurch sich der Moment des Erreichens von $Formula: U_{{C},2} = 5,0\; \mathrm{V}$ $Formula: U_{{C},2} = 5,0\; \mathrm{V}$ wesentlich präziser erfassen lässt.

Da die Zeitmessung für Formula: t_1 ungenauer ist, besitzt folglich auch der daraus resultierende Kapazitätswert Formula: C_1 die größere Messunsicherheit.

Ausgangsspannung (Spannungsversorgung des PKW): $Formula: U_0 = 12,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U_0 = 12,0\;\mathrm{V}$
Kapazität des Kondensators: $Formula: C = 0,01\;\mathrm{F}$ $Formula: C = 0,01\;\mathrm{F}$
Widerstand der Leuchtmittel: $Formula: R = 330\;\mathrm{\Omega}$ $Formula: R = 330\;\mathrm{\Omega}$
Spannung, unterhalb derer die Leuchtmittel erlöschen: $Formula: U(t) = 4,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U(t) = 4,0\;\mathrm{V}$

Der zeitliche Verlauf der Spannung während des Entladevorgangs eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand wird durch die folgende Entladefunktion beschrieben, die nach $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ aufgelöst wird:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U(t) & = & U_0 \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{\Delta t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{U_0} \\[5pt] \dfrac{U(t)}{U_0} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{\Delta t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\dots) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{U(t)}{U_0}\right) & = & -\dfrac{\Delta t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-R \cdot C) \\[5pt] \Delta t & = & -R \cdot C \cdot \ln\left(\dfrac{U(t)}{U_0}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U(t) & = & U_0 \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{\Delta t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{U_0} \\[5pt] \dfrac{U(t)}{U_0} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{\Delta t}{R \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\dots) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{U(t)}{U_0}\right) & = & -\dfrac{\Delta t}{R \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-R \cdot C) \\[5pt] \Delta t & = & -R \cdot C \cdot \ln\left(\dfrac{U(t)}{U_0}\right) \end{array}$

Das Einsetzen der gegebenen Werte führt zu folgendem Ergebnis:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta t & = & -330\; \mathrm{\Omega} \cdot 0,01\; \mathrm{F} \cdot \ln\left(\dfrac{4,0\; \mathrm{V}}{12,0\; \mathrm{V}}\right) \\[5pt] & \approx & -3,3\; \mathrm{s} \cdot \ln\left(0,3333\right) \\[5pt] & \approx & -3,3\; \mathrm{s} \cdot \left(-1,0986\right) \\[5pt] & \approx & 3,6\; \mathrm{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta t & = & -330\; \mathrm{\Omega} \cdot 0,01\; \mathrm{F} \cdot \ln\left(\dfrac{4,0\; \mathrm{V}}{12,0\; \mathrm{V}}\right) \\[5pt] & \approx & -3,3\; \mathrm{s} \cdot \ln\left(0,3333\right) \\[5pt] & \approx & -3,3\; \mathrm{s} \cdot \left(-1,0986\right) \\[5pt] & \approx & 3,6\; \mathrm{s} \end{array}$

Die Innenraumbeleuchtung verringert ihre Helligkeit allmählich und leuchtet nach dem Schließen aller Türen somit noch für eine Zeitspanne von circa $Formula: 3,6\;\mathrm{s}.$ $Formula: 3,6\;\mathrm{s}.$

Aus der hergeleiteten Beziehung $Formula: \Delta t = -R \cdot C \cdot \ln\left(\tfrac{U(t)}{U_0}\right)$ $Formula: \Delta t = -R \cdot C \cdot \ln\left(\tfrac{U(t)}{U_0}\right)$ ergeben sich zwei wesentliche Anpassungsmöglichkeiten:

Erhöhung des Gesamtwiderstandes: Wird ein größerer Widerstand im Entladestromkreis verbaut, sinkt die elektrische Stromstärke während des Entladens. Die auf dem Kondensator gespeicherte elektrische Ladung fließt somit langsamer ab, was den Spannungsabfall verzögert und die Zeitspanne $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ verlängert.
Erhöhung der Kapazität des Kondensators: Ein Kondensator mit einer größeren Kapazität kann bei der gleichen Ladespannung von $Formula: 12,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 12,0\;\mathrm{V}$ eine insgesamt größere Ladungsmenge speichern ( $Formula: Q = C \cdot U_0$ $Formula: Q = C \cdot U_0$ ). Bei unverändertem Widerstand braucht der Kondensator somit länger, um sich zu entladen. Dadurch beansprucht der Entladevorgang bis zum Erreichen der Grenzspannung von $Formula: 4,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 4,0\;\mathrm{V}$ ebenfalls mehr Zeit, wodurch sich $Formula: \Delta t$ $Formula: \Delta t$ vergrößert.

Zuordnen der Graphen:

Graph (B) beschreibt den ersten Fall (Entladung des Kondensators ausschließlich über den konstanten Widerstand Formula: R ).

Graph (A) beschreibt den zweiten Fall (Entladung des Kondensators über die Reihenschaltung aus dem Widerstand Formula: R und einer Leuchtdiode (LED)).

Erklären der unterschiedlichen Verläufe:

Verlauf von Graph (B): Im ersten Fall entlädt sich der Kondensator nur über den ohmschen Widerstand dessen Wert über den gesamten Entladevorgang hinweg konstant bleibt. Die Spannung am Kondensator fällt somit allmählich ab und erreicht nach einiger Zeit den Wert $Formula: 0\;\mathrm{V}.$ $Formula: 0\;\mathrm{V}.$
Verlauf von Graph (A): Im zweiten Fall liegt die Entladekurve zu jedem Zeitpunkt oberhalb von Graph (B). Der Gesamtwiderstand über den sich der Kondensator entlädt ist hierbei die Summe aus dem konstanten Widerstand und dem Widerstand der LED ( $Formula: R_{\mathrm{LED}}$ $Formula: R_{\mathrm{LED}}$ ). Der Widerstand der LED ist jedoch nicht konstant, sondern stark spannungsabhängig. Wie aus der LED-Kennlinie (Abbildung 2) hervorgeht, steigt der Widerstand der LED sehr stark umso kleiner die Spannung ist, die an der LED abfällt. Dadurch vergrößert sich der Gesamtwiderstand des Entladekreises im Laufe der Zeit massiv, wodurch der Entladevorgang stark abgebremst wird und die Spannung im Kondensator nur noch sehr langsam sinkt.

Beim Betätigen des Tasters verringert sich dieser Plattenabstand. Die resultierende Kapazitätsänderung $Formula: \Delta C$ $Formula: \Delta C$ bestimmt sich aus der Differenz zwischen der Endkapazität Formula: C_2 und der Anfangskapazität $Formula: C_1\text{:}$ $Formula: C_1\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & C_2 - C_1 \\[5pt] & = & \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d_2} - \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d_1} \\[5pt] & = & \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot A \cdot \left(\dfrac{1}{d_2} - \dfrac{1}{d_1}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & C_2 - C_1 \\[5pt] & = & \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d_2} - \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{A}{d_1} \\[5pt] & = & \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\mathrm{r}} \cdot A \cdot \left(\dfrac{1}{d_2} - \dfrac{1}{d_1}\right) \end{array}$

Das Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot \left(\dfrac{1}{0,001\; \mathrm{m}} - \dfrac{1}{0,004\; \mathrm{m}}\right) \\[5pt] & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot 750\; \mathrm{\dfrac{1}{m}} \\[5pt] & \approx & 1,036 \cdot 10^{-11}\; \mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 10\; \mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot \left(\dfrac{1}{0,001\; \mathrm{m}} - \dfrac{1}{0,004\; \mathrm{m}}\right) \\[5pt] & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot 750\; \mathrm{\dfrac{1}{m}} \\[5pt] & \approx & 1,036 \cdot 10^{-11}\; \mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 10\; \mathrm{pF} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \\[5pt] &\phantom{=}&\cdot \left(\dfrac{1}{0,001\; \mathrm{m}} - \dfrac{1}{0,004\; \mathrm{m}}\right) \\[5pt] & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot 750\; \mathrm{\dfrac{1}{m}} \\[5pt] & \approx & 1,036 \cdot 10^{-11}\; \mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 10\; \mathrm{pF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta C & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \\[5pt] &\phantom{=}&\cdot \left(\dfrac{1}{0,001\; \mathrm{m}} - \dfrac{1}{0,004\; \mathrm{m}}\right) \\[5pt] & = & 8,854 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot 26 \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot 6,0 \cdot 10^{-5}\; \mathrm{m}^2 \cdot 750\; \mathrm{\dfrac{1}{m}} \\[5pt] & \approx & 1,036 \cdot 10^{-11}\; \mathrm{F} \\[5pt] & \approx & 10\; \mathrm{pF} \end{array}$

Die Kapazitätsänderung des Kondensators beim Drücken des Tasters beträgt somit circa $Formula: 10 \; \mathrm{pF}.$ $Formula: 10 \; \mathrm{pF}.$

Von den folgenden drei Erläuterungen werden nur zwei erwartet:

Umwandlung der Kapazitätsänderung in eine Wechselstromänderung: Der Kondensator des Tasters wird in einen Stromkreis integriert, an dem eine konstante Wechselspannung anliegt. In diesem Stromkreis wird die Wechselstromstärke kontinuierlich gemessen. Da der Widerstand des Kondensators umgekehrt proportional zu seiner Kapazität ist, bewirkt die Änderung der Kapazität eine Änderung der fließenden Wechselstromstärke, die gemessen werden kann.
Umwandlung der Kapazitätsänderung in eine Frequenzänderung: Der Kondensator wird Teil eines elektromagnetischen Schwingkreises mit einer Spule bekannter, konstanter Induktivität. Gemäß der Thomson'schen Schwingungsgleichung bestimmt die Kapazität des Kondensators die Eigenfrequenz dieses Schwingkreises. Eine Änderung der Kapazität führt folglich zu einer direkten Veränderung der Frequenz, die gemessen werden kann.
Umwandlung der Kapazitätsänderung in eine Gleichspannungsänderung: Der Kondensator wird zunächst an einer Gleichspannungsquelle auf eine feste Ausgangsspannung aufgeladen und anschließend über einen definierten ohmschen Widerstand bis zu einer Zielspannung entladen. Die Entladezeit für diese Spannungsänderung wird erfasst. Weil die Kapazität direkt proportional zu dieser Entladezeit ist, äußert sich jede Kapazitätsänderung in einer proportionalen Veränderung der gemessenen Entladezeit.

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