Aufgabe C — Blitzdetektor

Blitze sind gefährliche Naturereignisse. Um Blitze zu detektieren, können Blitzdetektoren verwendet werden. Manche besitzen als zentrales Bauelement einen elektromagnetischen Schwingkreis.

Da die Energie des Blitzes einen Schwingkreis anregen kann, werden zunächst die Energieumwandlungen in einem idealisierten ungedämpften Schwingkreis betrachtet (siehe Material 1).

Beschreibe die während der ersten Viertel-Periodendauer stattfindenden Energieumwandlungen.

4 BE

Skizziere in Material 1 Abbildung 1 zu den dargestellten Zeitpunkten passende Feldlinien sowohl für die elektrischen als auch für die magnetischen Felder.

Begründe jeweils die Orientierung der von dir eingezeichneten Feldlinien.

5 BE

Erläutere qualitativ die Veränderung der maximalen Stromstärke im Schwingkreis, falls die anfängliche Aufladung zum Zeitpunkt Formula: t = t_0 des Kondensators gleich zu der in Material 1 Abbildung 1 ist, sich jedoch ein Eisenkern in der Spule befindet.

5 BE

In einem Forum, in dem Blitzdetektoren diskutiert werden, findet sich das in Material 2 dargestellte Diagramm.

Bestimme anhand der Abbildung 2 möglichst genau die Periodendauer Formula: T der gedämpften Schwingung im Schwingkreis.

[Kontrollwert: $Formula: T = 3,6\;\mu\mathrm{s}$ $Formula: T = 3,6\;\mu\mathrm{s}$ ]

3 BE

Zeige, dass die theoretisch zu erwartende Periodendauer eines ungedämpften Schwingkreises mit den Daten von Material 2 kaum vom Ergebnis in Teilaufgabe a abweicht.

3 BE

Begründe mit den Beziehungen aus Material 3, ob der Wert aus Teilaufgabe b größer oder kleiner als der Wert von Teilaufgabe a ist.

Erkläre, dass mit dieser Veränderung der Periodendauer der Widerstand dieses Schwingkreises nur sehr ungenau bestimmbar wäre.

8 BE

Erläutere einem Schüler, der am Tag der Mitschrift (Material 4) krank war, die Schritte (i) und (ii) unter Verwendung von Material 3.

Bestimme auf diesem Weg den Widerstand des Schwingkreises.

8 BE

Anna unterbreitet in Material 5 einen Vorschlag zur Entfernungsbestimmung von Blitzen und einen Vorschlag zu einer Sicherheitsmaßnahme.

Beurteile die Vorschläge von Anna hinsichtlich der Zuverlässigkeit der Entfernungsbestimmung und der getroffenen Sicherheitsmaßnahme.

4 BE

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Material 1: Der elektromagnetische Schwingkreis

Anregung eines Schwingkreises durch einen Blitz

Bei jedem Blitz wird elektromagnetische Strahlung emittiert.

Zur Detektion dieser elektromagnetischen Strahlung kann man einen Schwingkreis verwenden, dessen Kondensator als Folge der elektromagnetischen Strahlung geladen wird.

Modell des ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreises

In einem ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis können sowohl der Ohm’sche Widerstand als auch die Abstrahlung von Energie vernachlässigt werden.

Schaltbild: Kondensator (zwei Platten mit Feldpfeilen) links, Spule rechts, verbundenes Kabel.

Formula: t=t_0

Schaltbild mit Spule rechts und zwei Anschlussplatten links.

$Formula: t=t_0+\tfrac{1}{4}T$ $Formula: t=t_0+\tfrac{1}{4}T$

$Formula: t=t_0+\tfrac{1}{2}T$ $Formula: t=t_0+\tfrac{1}{2}T$

Abbildung 1: ungedämpfter Schwingkreis zu drei Zeitpunkten

Material 2: Messdaten eines Blitzdetektors

Ein einfacher Blitzdetektor besteht nur aus einem Schwingkreis. Dieser wird durch die Energie eines Blitzes zu einer Schwingung angeregt. Abbildung 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator dieses Schwingkreises.

Daten des Schwingkreises:

$Formula: C = 69\;\mathrm{pF}$ $Formula: C = 69\;\mathrm{pF}$

$Formula: L = 4,7\;\mathrm{mH}$ $Formula: L = 4,7\;\mathrm{mH}$

Gedämpfte Sinuskurve: Spannung U in mV gegen Zeit t in µs, abklingende Amplitude

Abbildung 2: Spannung am Kondensator des Schwingkreises in Abhängigkeit von der Zeit

Material 3: Formeln für den gedämpften harmonischen Schwingkreis

$Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t)$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{max}} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t)$

Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung:

$Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}$ mit $Formula: \omega = \dfrac{1}{\sqrt{C \cdot L}}$ $Formula: \omega = \dfrac{1}{\sqrt{C \cdot L}}$

Für die Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ gilt:

$Formula: \delta = \dfrac{R}{2 \cdot L}$ $Formula: \delta = \dfrac{R}{2 \cdot L}$

Material 4: Mitschrift aus dem Unterricht

Auswertung von Abbildung 2 (Material 2):

(i)	$Formula: \tfrac{1}{3} U_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot 72\;\mu\mathrm{s}}$ $Formula: \tfrac{1}{3} U_{\mathrm{max}} = U_{\mathrm{max}} \cdot \text{e}^{-\delta \cdot 72\;\mu\mathrm{s}}$
(ii)	$Formula: \delta = 1,53 \cdot 10^4\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: \delta = 1,53 \cdot 10^4\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$

Material 5: Vorschlag von Anna zur Entfernungsbestimmung von Blitzen

Ein Blitzdetektor wie in Material 2, wird um eine Elektronik erweitert. Diese zählt die Schwingungen bis zur dauerhaften Unterschreitung eines fest vorgegeben Schwellenwertes der Spannung am Kondensator. Diese Anzahl Formula: N wird von der Elektronik angegeben.

Anna formuliert folgende Vorschläge:

Befindet sich der Blitzdetektor nahe des Hauses, so liefert der Zählwert Formula: N die Entfernung des Blitzes zum Haus.

Wird ein gewisser Zählwert Formula: N überschritten, so werden automatisiert zum Schutz des Hauses vor Unwetter alle Fenster geschlossen.

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Zu Beginn des Schwingungsvorgangs, zum Zeitpunkt $Formula: t=0 \; \mathrm{s},$ $Formula: t=0 \; \mathrm{s},$ ist der Kondensator vollständig aufgeladen und die gesamte Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Sobald der Kondensator über die Spule entladen wird, entsteht durch den Stromfluss in der Spule ein Magnetfeld, was bedeutet, dass ein Teil der zuvor elektrischen Energie in magnetische Energie umgewandelt wird. Die Lenz'sche Regel verhindert dabei den sofortigen Anstieg des Stroms durch die Spule, indem eine Gegenspannung induziert wird, die den Anstieg der Stromstärke hemmt.

Zum Zeitpunkt $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ $Formula: t = \tfrac{1}{4} \; T$ (mit als der Periodendauer der Schwingung) ist der Kondensator vollständig entladen und die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ fließt durch die Spule. In dieser Phase ist die gesamte Energie im magnetischen Feld der Spule gespeichert.

Skizzieren der Feldlinien

	und
Magnetisches Feld der Spule	$Formula: t=t_0+\tfrac{1}{4}T$ $Formula: t=t_0+\tfrac{1}{4}T$
Elektrisches Feld des Kondensators	$Formula: t=t_0+\tfrac{1}{2}T$ $Formula: t=t_0+\tfrac{1}{2}T$ und

Begründung der Feldlinienorientierung

Magnetisches Feld (mittleres Bild): Die Orientierung der magnetischen Feldlinien innerhalb der Spule ergibt sich aus der Anwendung der Linke-Faust-Regel.
Elektrisches Feld (rechtes Bild): Die elektrischen Feldlinien zwischen den Kondensatorplatten sind von unten nach oben gerichtet. Diese Ausrichtung resultiert daraus, dass die untere Platte des Kondensators zu diesem Zeitpunkt positiv und die obere Platte negativ geladen ist.

In einem ungedämpften Schwingkreis bleibt die Gesamtenergie des Schwingkreises erhalten. Daher kann die maximale elektrische Energie mit der maximalen magnetischen Energie gleichgesetzt werden:

$Formula: \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2}$ $Formula: \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2}$

Diese Gleichung kann nun nach der maximalen Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt] I_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L} \\[5pt] I_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{1}{2} \cdot L \cdot I_{\mathrm{max}}^{2} \\[5pt] I_{\mathrm{max}}^{2} & = & \dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L} \\[5pt] I_{\mathrm{max}} & = & \sqrt{\dfrac{C \cdot U_{\mathrm{max}}^{2}}{L}} \end{array}$

Das Einbringen eines Eisenkerns in das Innere der Spule führt zu einer deutlichen Vergrößerung ihrer Induktivität Formula: L. Da sowohl die anfängliche maximale Ladespannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ als auch die Kapazität Formula: C des Kondensators konstant bleiben, führt das dazu, dass sich die maximale Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{max}}$ $Formula: I_{\mathrm{max}}$ im Schwingkreis verkleinert.

Aus der Abbildung 2 lässt sich ablesen, dass die Spannung am Kondensator in einem Zeitintervall von $Formula: 50 \; \mu\mathrm{s}$ $Formula: 50 \; \mu\mathrm{s}$ insgesamt Formula: 14 -mal ihren positiven Maximalwert erreicht. Daraus berechnet sich die Periodendauer Formula: T des Schwingkreises wie folgt:

$Formula: T = \frac{50 \; \mu\mathrm{s}}{14} \approx 3,6 \; \mu\mathrm{s}$ $Formula: T = \frac{50 \; \mu\mathrm{s}}{14} \approx 3,6 \; \mu\mathrm{s}$

Für den idealen ungedämpften Schwingkreis gilt die Thomson'sche Schwingungsgleichung:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{C \cdot L}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{C \cdot L}$

Das Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{69 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{F} \cdot 4,7 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{H}} \\[5pt] & \approx & 3,57 \cdot 10^{-6}\; \mathrm{s} \\[5pt] & \approx & 3,6\; \mu\mathrm{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{69 \cdot 10^{-12}\; \mathrm{F} \cdot 4,7 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{H}} \\[5pt] & \approx & 3,57 \cdot 10^{-6}\; \mathrm{s} \\[5pt] & \approx & 3,6\; \mu\mathrm{s} \end{array}$

Der theoretisch berechnete Wert für den ungedämpften Schwingkreis stimmt im Rahmen der Ablesegenauigkeit exakt mit dem experimentell bestimmten Wert der gedämpften Schwingung aus Teilaufgabe 2a überein.

Vergleich der Periodendauern:

Gemäß Material 3 berechnet sich die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung über den Zusammenhang $Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}.$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}} = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}.$ Da der Term unter der Wurzel auf Grund der Dämpfungskonstante $Formula: \delta^2$ $Formula: \delta^2$ verkleinert wird, folgt $Formula: \omega_{\mathrm{D}} < \omega.$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}} < \omega.$

Weil die Periodendauer umgekehrt proportional zur Kreisfrequenz ist ( $Formula: T = \tfrac{2 \cdot \pi}{\omega}$ $Formula: T = \tfrac{2 \cdot \pi}{\omega}$ ), gilt $Formula: T_{\mathrm{D}} > T.$ $Formula: T_{\mathrm{D}} > T.$ Die Periodendauer des gedämpften Schwingkreises ist somit größer als die des ungedämpften Schwingkreises.

Begründung zur ungenauen Bestimmung des Widerstands:

Um den genauen Widerstandswert Formula: R aus dieser Periodenveränderung zu berechnen, müsste die Gleichung für die Kreisfrequenz nach der Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ umgestellt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \omega_{\mathrm{D}} & = & \sqrt{\omega^2 - \delta^2} &\quad\scriptsize\mid\, (\;)^2 \\[5pt] \omega_{\mathrm{D}}^2 & = & \omega^2 - \delta^2 &\quad\scriptsize\mid\, + \delta^2 \\[5pt] \omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2 & = & \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, - \omega_{\mathrm{D}}^2 \\[5pt] \delta^2 & = & \omega^2 - \omega_{\mathrm{D}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] \delta & = & \sqrt{\omega^2 - \omega_{\mathrm{D}}^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \omega_{\mathrm{D}} & = & \sqrt{\omega^2 - \delta^2} &\quad\scriptsize\mid\, (\;)^2 \\[5pt] \omega_{\mathrm{D}}^2 & = & \omega^2 - \delta^2 &\quad\scriptsize\mid\, + \delta^2 \\[5pt] \omega_{\mathrm{D}}^2 + \delta^2 & = & \omega^2 &\quad\scriptsize\mid\, - \omega_{\mathrm{D}}^2 \\[5pt] \delta^2 & = & \omega^2 - \omega_{\mathrm{D}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] \delta & = & \sqrt{\omega^2 - \omega_{\mathrm{D}}^2} \end{array}$

Dann könnte mit der Gleichung $Formula: \delta=\tfrac{R}{2\cdot L}$ $Formula: \delta=\tfrac{R}{2\cdot L}$ der Widerstand berechnet werden.

Da sich die gemessene Kreisfrequenz $Formula: \omega_{\mathrm{D}}$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}}$ jedoch nur minimal von $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ unterscheidet (wie in 2a und 2b gezeigt), wäre eine sehr hohe Messgenauigkeit erforderlich, um die Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ zu berechnen. Diese erforderliche Präzision ist bei der Auswertung des Diagramms nicht gegeben. Die berechnete Differenz $Formula: \omega_{\mathrm{D}}^2 - \omega^2$ $Formula: \omega_{\mathrm{D}}^2 - \omega^2$ und damit die Dämpfungskonstante $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ würden einen sehr fehlerbehafteten Wert liefern, was zwangsläufig zu einer sehr ungenauen Bestimmung des Widerstands Formula: R führen würde.

Erläuterung der Auswertungsschritte:

Schritt (i): In der Abbildung 2 lässt sich die anfängliche Maximalspannung $Formula: U_{\mathrm{max}} = 150 \; \mathrm{mV}$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = 150 \; \mathrm{mV}$ ablesen. Nach einer Zeit von $Formula: t = 72 \; \mu\mathrm{s}$ $Formula: t = 72 \; \mu\mathrm{s}$ sinkt der Wert der einhüllenden Kurve auf $Formula: 50 \; \mathrm{mV}$ $Formula: 50 \; \mathrm{mV}$ ab, was exakt einem Drittel der Maximalspannung entspricht ( $Formula: \tfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}}$ $Formula: \tfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}}$ ).

Zu den Zeitpunkten der Spannungsmaxima gilt zudem $Formula: \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t) = 1.$ $Formula: \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t) = 1.$

Das kann in die gegebene Spannungsgleichung aus Material 3 eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}U(t) &=& U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t) \\[5pt]\dfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}} &=& U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\;\mu\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}U(t) &=& U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot t} \cdot \cos(\omega_{\mathrm{D}} \cdot t) \\[5pt]\dfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}} &=& U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\;\mu\mathrm{s}}\end{array}$
Schritt (ii): Durch Umstellen ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}} & = & U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{U_{\mathrm{max}}} \\[5pt] \dfrac{1}{3} & = & \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{3}\right) & = & -\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{-72\; \mu\mathrm{s}} \\[5pt] \delta & = & -\dfrac{\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)}{72\; \mu\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 1,53 \cdot 10^4\; \mathrm{\dfrac{1}{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{3} \cdot U_{\mathrm{max}} & = & U_{\mathrm{max}} \cdot \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{U_{\mathrm{max}}} \\[5pt] \dfrac{1}{3} & = & \mathrm{e}^{-\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{3}\right) & = & -\delta \cdot 72\; \mu\mathrm{s} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{-72\; \mu\mathrm{s}} \\[5pt] \delta & = & -\dfrac{\ln\left(\tfrac{1}{3}\right)}{72\; \mu\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 1,53 \cdot 10^4\; \mathrm{\dfrac{1}{s}} \end{array}$

Bestimmung des Widerstands:

Aus der Formel für die Dämpfungskonstante $Formula: \delta = \tfrac{R}{2 \cdot L}$ $Formula: \delta = \tfrac{R}{2 \cdot L}$ lässt sich der Widerstand Formula: R durch Umstellen direkt berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \delta & = & \dfrac{R}{2 \cdot L} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot 2 \cdot L \\[5pt] R & = & \delta \cdot 2 \cdot L \\[5pt] & = & 1,53 \cdot 10^4\; \mathrm{\dfrac{1}{s}} \cdot 2 \cdot 4,7 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{H} \\[5pt] & \approx & 143,8\; \Omega \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \delta & = & \dfrac{R}{2 \cdot L} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot 2 \cdot L \\[5pt] R & = & \delta \cdot 2 \cdot L \\[5pt] & = & 1,53 \cdot 10^4\; \mathrm{\dfrac{1}{s}} \cdot 2 \cdot 4,7 \cdot 10^{-3}\; \mathrm{H} \\[5pt] & \approx & 143,8\; \Omega \end{array}$

Der Widerstand des Schwingkreises beträgt somit gerundet $Formula: 0,14 \; \mathrm{k\Omega}.$ $Formula: 0,14 \; \mathrm{k\Omega}.$

Beurteilung der Zuverlässigkeit der Entfernungsbestimmung

Der Zählwert Formula: N der elektrischen Schwingungen bis zum Unterschreiten der vorgegebenen Schwellenspannung liefert keinen verlässlichen Wert für die tatsächliche Entfernung eines Blitzes.

Ein weit entfernter, aber sehr starker Blitz kann dem System mehr Energie zuführen als ein naher, aber schwacher Blitz. Folglich würde der ferne Blitz unter Umständen einen höheren Zählwert erzeugen, während der nahe, schwache Blitz fälschlicherweise als weit entfernt interpretiert werden würde.

Eine zuverlässige Aussage über die Entfernung ist mit dem Schwingkreis daher prinzipiell nicht möglich.

Beurteilung der vorgeschlagenen Sicherheitsmaßnahme

Es wäre ein Fehler, sich beim automatischen Schließen der Fenster auf diese ungenaue Entfernungsbestimmung zu verlassen.

Zudem liefert die vorgestellte Methode ausschließlich Werte als direkte Folge eines bereits aufgetretenen Blitzes. Da Unwetter jedoch auch schon vor dem ersten Blitz auftreten können (abgesehen davon, dass Unwetter auch ohne einen Blitz auftreten), stellt die Maßnahme keinen ausreichenden Schutz für das Haus dar.

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