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Teil A

Aufgaben
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In den Aufgaben 1 bis 6 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.
Welche der folgenden Funktionen mit $x \in D_f$ ist eine Exponentialfunktion?
$f(x)=2\cdot x+3$
$f(x)=x^2+1$
$f(x)=x^3$
$f(x)=2^x$
$f(x)= \dfrac{1}{x^2}$
(1 BE)
#exponentialfunktion
2.
Die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{1}{x-2}$ besitzt den größtmöglichen Definitionsbereich:
$\{x \mid x\in\mathbb{R} , x\leq -2\}$
$\{x \mid x\in \mathbb{R}, x\neq -2\}$
$\{x \mid x\in\mathbb{R}, x \neq 0\}$
$\{x \mid x\in\mathbb{R}, x \neq 2\}$
$\{x \mid x\in\mathbb{R}, x \geq 2\}$
(1 BE)
#definitionsbereich
3.
Die Lösungen der Gleichung $x^2-4\cdot x-2=0$ sind:
$x_1=-4+\sqrt{18}$
$x_2=-4-\sqrt{18}$
$x_1=4+\sqrt{18}$
$x_2=4-\sqrt{18}$
$x_1=-2+\sqrt{6}$
$x_2=-2-\sqrt{6}$
$x_1=2+\sqrt{6}$
$x_2=2-\sqrt{6}$
$x_1=2+\sqrt{2}$
$x_2=2-\sqrt{2}$
(1 BE)
4.
Welches lineare Gleichungssystem besitzt mit $x\in\mathbb{R}$ und $y\in\mathbb{R}$ keine Lösung.
$\begin{vmatrix}y=2\cdot x+1\\y=-2\cdot x+1\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}y=2\cdot x+1\\y=2\cdot x+1\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}y=2\cdot x+1\\y=2\cdot x-1\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}y=3\cdot x-4\\y=2\cdot x+3\end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}y=1\\x=2\end{vmatrix}$
(1 BE)
#gleichverteilung
5.
Ein Rechteck wird mit $16$ gleich großen Quadraten vollständig und ohne Überlappungen ausgelegt.
Wie viele gleichgroße Quadrate mit halb so langen Seiten sind notwendig, um dasselbe Rechteck vollständig und ohne Überlappung auszulegen.
4
8
32
64
128
(1 BE)
#rechteck#quadrat
6.
Gegeben sind drei von vier Messwerten: $1,20 \, \text {m},$ $1,80 \, \text {m}$ und $1,40 \, \text {m}$.
Das arithmetische Mittel der vier Messwerte beträgt $1,50 \, \text {m}$.
Der vierte Messwert ist:
$1,50 \, \text {m}$
$1,60 \, \text {m}$
$2,10 \, \text {m}$
$3,00 \, \text {m}$
$4,40 \, \text {m}$
(1 BE)
#arithmetischesmittel
7.
Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich: $6\cdot x^5 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot x^4$.
(2 BE)
#term
8.
8.1
Gib die Koordinaten des Punktes $C$ an.
(1 BE)
8.2
Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf einer Geraden.
Gib eine Gleichung dieser Geraden an.
(2 BE)
#gerade
8.3
Begründe, dass die Dreiecke $COB$ und $BOA$ den gleichen Flächeninhalt haben.
(2 BE)
8.4
Nur das Dreieck $COB$ des Glücksrades ist rot gefärbt. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keinmal die Farbe Rot erzielt wird.
(2 BE)
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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1
$\blacktriangleright$  Exponentialfunktion auswählenTeil A
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, bei der die Funktionsvariable $(x)$ im Exponenten vorkommt. Die einzige Antwortmöglichkeit, bei der dies der Fall ist, ist die vierte.
Die vierte Antwort ist die richtige.
2
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich wird lediglich dadurch eingeschränkt, dass der Nenner eines Bruchs nicht Null sein darf. Bestimme also die Nullstellen des Nenners:
$\begin{array}[t]{rll} x -2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] x &=& 2 \end{array}$
Der größtmögliche Definitionsbereich von $f$ ist also $\{ x\mid x\in \mathbb{R}, x\neq 2 \}.$
Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
3
$\blacktriangleright$  Lösungen bestimmen
Mit der $pq$-Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 4\cdot x -2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 -(-2)} \\[5pt] &=& 2\pm \sqrt{6} \\[5pt] \end{array}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{6} $
Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#pq-formel
4
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem bestimmen
Das erste Gleichungssystem besitzt für $x=0$ mindestens eine Lösung. Gleiches gilt für das zweite Gleichungssystem.
Das letzte Gleichungssystem ist bereits so aufgebaut, dass es die Lösung direkt angibt.
Überprüfe also noch das dritte und das vierte Gleichungssystem:
Setzt du beim dritten Gleichungssystem beide Darstellungen für $y$ gleich, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& y\\[5pt] 2\cdot x +1 &=& 2\cdot x -1 & \quad \scriptsize \mid\; -2\cdot x\\[5pt] 1 &=& -1 \end{array}$
$ 1 = -1 $
Dieses Gleichungssystem besitzt für $x \in \mathbb{R}$ und $y\in \mathbb{R}$ also keine Lösung.
Die richtige Antwortmöglichkeit ist die dritte.
5
$\blacktriangleright$  Anzahl kleinerer Quadrate bestimmen
6
$\blacktriangleright$  Vierten Messwert bestimmen
Bezeichne den fehlenden Messwert mit $x.$ Mit der Formel für das arithmetische Mittel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,20 + 1,80 + 1,40 + x}{4}&=& 1,50 \\[5pt] \dfrac{4,40 + x }{4} &=& 1,50 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] 4,40 + x &=& 6,00 &\quad \scriptsize \mid\;- 4,40 \\[5pt] x &=& 1,60 \end{array}$
$ x = 1,60 $
Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.
7
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} & 6\cdot x^5 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot x^4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{sortieren} \\[5pt] =& 6\cdot \left(-\frac{1}{2} \right) \cdot x^5 \cdot x^4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Zahlen zusammenfassen} \\[5pt] =& - \frac{6}{2} \cdot x^5\cdot x^4 \\[5pt] =& -3 \cdot x^5\cdot x^4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen zusammenfassen} \\[5pt] =& -3\cdot x^9 \end{array}$
$ … = -3\cdot x^9 $
8.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten angeben
$2$ Kästchen entsprechen $2$ Einheiten.
$C(-4\mid 0)$
8.2
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Der Punkt $A$ liegt auf der $y$-Achse $A(0\mid 4)$ und gibt daher direkt den $y$-Achsenabschnitt der Geraden an:
$y = m\cdot x + 4$
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $B(-3\mid 3).$ Setze diese Koordinaten in die Geradengleichung ein, um $m$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x +4 &\quad \scriptsize \mid\; B(-3\mid 3) \\[5pt] 3 &=& m\cdot (-3) +4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] -1 &=& m\cdot (-3) &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] \frac{1}{3} &=& m \end{array}$
$ m = \frac{1}{3} $
Eine Gleichung der Geraden, auf der $A$ und $B$ liegen, lautet:
$y = \frac{1}{3}x +4$
8.3
$\blacktriangleright$  Gleichen Flächeninhalt begründen
Eine mögliche Begründung ist:
Die Seiten $\overline{OA}$ und $\overline{OC}$ sind jeweils $4$ Längeneinheiten lang.
Verwendet man diese jeweils als Grundseite, dann kann man durch die Koordinaten von $B$ die jeweils zugehörigen Höhen bestimmen:
$B(-3\mid 3)$
Die Höhe des Dreiecks $COB$ zur Grundseite $OC$ ist also $3$ Längeneinheiten lang. Die Höhe des Dreiecks $BOA$ zur Grundseite $\overline{OA}$ ist ebenfalls $3$ Längeneinheiten lang.
Beide Dreiecke besitzen also eine Grundseite mit der gleichen Länge, deren zugehörigen Höhen ebenfalls gleich lang sind. Da der Flächeninhalt eines Dreiecks aus der Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe berechnet wird, sind also auch die Flächeninhalte gleich lang.
8.4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Das Glücksrad besteht aus acht Feldern, wovon eines rot ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Dreh nicht das rote Feld angezeigt wird, beträgt also $\frac{7}{8}.$ Es wird zweimal gedreht. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\frac{7}{8}\cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{64}$
Beim zweimaligen Drehen wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{49}{64}$ keinmal die Farbe Rot angezeigt.
#pfadregeln#dreieck
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