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Teil B

Aufgaben
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1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y= f(x)= 3\cdot 2^x -1$ $(x\in \mathbb{R}).$
#exponentialfunktion
1.1
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse. Gib den Wertebereich von $f$ an.
(3 BE)
#wertebereich
1.2
Ermittle das Argument zum Funktionswert $47.$
(2 BE)
1.3
Der Punkt $A\left(-2\mid -\frac{7}{8}\right)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $g$ mit
$y = g(x) = a \cdot 2^x− 1$ $(x\in \mathbb{R}; a\in \mathbb{R}).$
Bestimme den Wert von $a.$
(2 BE)
2
Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB} = 6 , 8\,\text{cm} ,$ $\overline{AC} = 6 , 0\,\text{cm}$ und $\sphericalangle BAC = 43 , 0 ^{\circ}.$
Der Punkt $M$ ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks $ABC$ (siehe Abbildung).
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
Teil B
Abb. 1: nicht maßstäblich
#kreis#dreieck
3
Ein Smartphonehersteller entwickelt ein neues Modell.
3.1
Ein herausragendes Produktmerkmal dieses Smartphones wird die kurze Ladedauer seines Akkus sein. Die Funktion $t$ mit $t(r)= -0,0075\cdot r^2 +75$ $(r\in \mathbb{R},0\leq r\leq 100)$ beschreibt in Abhängigkeit von der Restkapazität $r$ des Akkus zu Ladebeginn die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus.
Dabei gilt:
$r$ … Restkapazität des Akkus zu Ladebeginn in Prozent
$t(r)$ … Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus in Minuten bei der Restkapazität $r$
3.1.1
Die Restkapazität eines Akkus dieses Smartphonemodells beträgt $20\,\%.$
Zeige, dass die Zeit bis zum vollständigen Aufladen dieses Akkus $72$ Minuten beträgt.
(2 BE)
3.1.2
Ein Akku dieses Smartphonemodells wird innerhalb einer halben Stunde vollständig aufgeladen.
Ermittle die Restkapazität des Akkus zu Ladebeginn.
(3 BE)
3.1.3
Bestimme die Nullstelle der Funktion $t.$
Interpretiere den Wert dieser Nullstelle im Sachzusammenhang.
(3 BE)
#nullstelle
3.2
Das neue Smartphonemodell wird in den Farben Silber und Weiß produziert.
Eine Prognose des Herstellers besagt, dass dieses Modell in $60\,\%$ aller Käufe von weiblichen und in $40\,\%$ aller Käufe von männlichen Käufern erworben wird. $80\,\%$ der weiblichen Käufer kaufen ein weißes Smartphone, $90\,\%$ aller männlichen Smartphonekäufer ein silbernes.
Ermittle auf Grund dieser Prognose, wie hoch der Anteil weißer Smartphones an der Gesamtanzahl verkaufter Smartphones sein wird.
(3 BE)
3.3
Die Bildschirmdiagonale des neuen Smartphonemodells beträgt $4,5\,\text{Zoll}$ $(1\,\text{Zoll}$ entspricht $2,54\,\text{cm}).$
3.3.1
Zeige, dass die Bildschirmdiagonale dieses Smartphonemodells $11,43\,\text{cm}$ beträgt.
(2 BE)
3.3.2
Der rechteckige Bildschirm wird das Format $16 : 9$ haben.
Ermittle die Höhe und die Breite des Bildschirms.
(2 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt angebenTeil B
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 3\cdot 2^0 -1 \\[5pt] &=& 3\cdot 1 -1\\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ f(0)=2 $
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 2).$
$\blacktriangleright$  Wertebereich angeben
Der Wertebereich beinhaltet alle Funktionswerte, die $f$ annehmen kann. Da $3\cdot 2^x$ niemals negativ werden kann, sich für große negative Werte von $x$ aber Null annähert, sind alle Funktionswerte größer als $-1.$ Für sehr große Werte von $x$ werden auch die Funktionswerte größer. Insgesamt ist der Wertebereich daher:
$W_f =$ $\{y\mid y\in \mathbb{R}, y> -1 \}$
1.2
$\blacktriangleright$  Argument ermitteln
Mit dem solve-Befehl deines CAS kannst du die Gleichung $f(x)=47$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 47 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 4 \end{array}$
$ x=4 $
Das Argument zum Funktionswert $47$ ist $x=4.$
1.3
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Die Koordinaten von $A$ müssen die Funktionsgleichung erfüllen. Einsetzen der Koordinaten liefert eine Gleichung, die du auch wieder mit deinem CAS lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} -\frac{7}{8}&=& g(-2) \\[5pt] -\frac{7}{8}&=& a\cdot 2^{-2} -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \frac{1}{8} &=& a\cdot \frac{1}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] \frac{1}{2}&=& a \end{array}$
$ a= \frac{1}{2} $
2.1
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Benenne die Angaben des Dreiecks wie folgt:
  • $a= \overline{BC}$
  • $b= \overline{AC}$
  • $c= \overline{AB}$
  • $\alpha = \sphericalangle BAC$
Dann gilt mit dem Kosinussatz:
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& b^2+c^2 - 2\cdot b\cdot c \cdot \cos \alpha \\[5pt] a^2&=& (6,0\,\text{cm})^2 + (6,8\,\text{cm})^2 -2\cdot (6,0\,\text{cm})\cdot (6,8\,\text{cm})\cdot \cos 43,0^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] a&\approx& 4,7\,\text{cm} \end{array}$
$ a \approx 4,7\,\text{cm} $
Die Seite $\overline{BC}$ ist ca. $4,7\,\text{cm}$ lang.
#kosinussatz
2.2
$\blacktriangleright$  Seitenlänge zeigen
Da $A$ und $C$ auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen, gilt mit den Bezeichnungen aus der Abbildung:
  • $r=\overline{AM} = \overline{MC}$
  • $\alpha_2 = \gamma = \sphericalangle ACM = 31,0^{\circ}$
  • $\beta = 180^{\circ} - 2\cdot 31^{\circ} = 118^{\circ}$
  • $b = \overline{AC} = 6,0\,\text{cm}$
Mit dem Sinussatz folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin \beta}&=& \dfrac{r}{\sin \gamma} \\[5pt] \dfrac{6,0\,\text{cm}}{\sin 118^{\circ}}&=& \dfrac{r}{\sin 31^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin 31^{\circ} \\[5pt] \dfrac{6,0\,\text{cm}}{\sin 118^{\circ}}\cdot \sin 31^{\circ}&=& r \\[5pt] 3,5\,\text{cm} &\approx& r \\[5pt] \end{array}$
$ r\approx 3,5\,\text{cm} $
Es gilt also $\overline{MC} = r\approx 3,5\,\text{cm}.$
#sinussatz
2.3
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Verwende die alternative Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Damit erhältst du im vorliegenden Fall:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \frac{1}{2}\cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 6,0\,\text{cm} \cdot 6,8\,\text{cm}\cdot \sin 43^{\circ} \\[5pt] &=& 20,4\cdot \sin 43^{\circ}\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_1=20,4\cdot \sin 43^{\circ}\,\text{cm}^2 $
2. Schritt: Flächeninhalt des Kreises berechnen
Der Radius des Umkreises beträgt laut 2.2: $r\approx 3,5\,\text{cm}.$ Mit der Flächenformel eines Kreises folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &\approx& \pi \cdot (3,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 12,25\cdot \pi\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_2\approx 12,25\cdot \pi\,\text{cm}^2 $
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_1}{A_2}&=& \dfrac{20,4\cdot \sin 43^{\circ}\,\text{cm}^2 }{12,25\cdot \pi\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 0,36 \\[5pt] &=& 36\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ … \approx 36\,\% $
Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $ABC$ am Flächeninhalt seines Umkreises beträgt ca. $36\,\%.$
3.1.1
$\blacktriangleright$  Restzeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} t(20)&=& -0,0075\cdot 20^2 +75 \\[5pt] &=& 72 \end{array}$
$ t(20)=72 $
Die Funktion $t$ beschreibt die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus in Minuten bei der Restkapazität $r.$ Es ist $t(20) = 72.$ Also benötigt ein Akku des Smartphonemodells mit einer Restkapazität von $20\,\%$ noch $72$ Minuten.
3.1.2
$\blacktriangleright$  Restkapazität ermitteln
Gesucht ist $r$ mit $t(r)=30,$ da die Zeit bis zum vollständigen Aufladen $30$ Minuten beträgt. Die Gleichung kannst du wie in Aufgabe 1 mit dem solve-Befehl des CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} t(r)&=& 30 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] r&\approx& 77,5 \end{array}$
$ r\approx 77,5 $
Ein Akku, der noch eine halbe Stunde bis zum vollständigen Aufladen benötigt, hat eine Restkapazität von ca. $77,5\,\%.$
3.1.3
$\blacktriangleright$  Nullstelle bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} t(r)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] r&=& 100 \end{array}$
$ r=100 $
Die Nullstelle von $t$ ist $r=100.$ Wenn der Akku also eine Restkapazität von $100\,\%$ hat, und damit voll aufgeladen ist, beträgt die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus $0$ Minuten, da der Akku bereits voll aufgeladen ist.
3.2
$\blacktriangleright$  Anteil weißer Smartphones ermitteln
Zur Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Mit den Pfadregeln folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{weiß})&=& 0,6\cdot 0,8 + 0,4\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,52 \\[5pt] &=& 52\,\% \end{array}$
$ P(\text{weiß}) =52\,\% $
Laut Prognose beträgt der Anteil der weißen Smartphones an der Gesamtzahl aller verkauften Smartphones $52\,\%.$
#baumdiagramm#pfadregeln
3.3.1
$\blacktriangleright$  Bildschirmdiagonale zeigen
Die Bildschrimdiagonale des Smartphones beträgt $4,5\,\text{Zoll}.$ Ein Zoll entspricht laut Aufgabenstellung $2,54\,\text{cm}.$
$4,5\cdot 2,54\,\text{cm} = 11,43\,\text{cm}$
Die Bildschirmdiagonale beträgt also $11,43\,\text{cm}.$
3.3.2
$\blacktriangleright$  Höhe und Breite des Bildschirms ermitteln
Das Format $16:9$ gibt an, dass wenn die Breite des Bildschirms $9x$ beträgt, die Höhe des Bildschirms dann $16x$ beträgt. Die Bildschirmdiagonale hast du bereits in $\,\text{cm}$ umgerechnet. Es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.
Mit dem Satz des Pythagoras folgt:
$\begin{array}[t]{rll} (11,43\,\text{cm})^2&=& (9x)^2 +(16x)^2 \\[5pt] 11,43^2\,\text{cm}^2&=& 337x^2 &\quad \scriptsize \mid\; : 337 \\[5pt] \dfrac{11,43^2}{337}\,\text{cm}^2&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm}&=& x \\[5pt] \end{array}$
$ x = \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm} $
Für die Breite und die Höhe folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 9x \\[5pt] &=& 9\cdot \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 5,6\,\text{cm} \\[10pt] h&=& 16x \\[5pt] &=& 16\cdot \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 10,0\,\text{cm} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&\approx& 5,6\,\text{cm} \\[10pt] h&\approx& 10,0\,\text{cm} \\[10pt] \end{array}$
Die Breite des Smartphonebildschirms beträgt ca. $5,6\,\text{cm},$ die Höhe ca. $10,0\,\text{cm}.$
#satzdespythagoras
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2],[3]
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