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Teil A

Aufgaben
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1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Antwortmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=2\cdot x\cdot (x+4)^2$ $(x\in \mathbb{R}).$
Welche Nullstellen besitzt $f?$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& -2\\[5pt] x_3&=& 4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] x_3&=& 2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4 \\[5pt] x_2&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 4\\[5pt] \end{array}$
#nullstelle
1.2
#stammfunktion
1.3
Welcher Punkt liegt in der Ebene $E$ mit $E:\quad -4\cdot x +2\cdot y -2\cdot z = 8?$
$P_1(-1\mid-1\mid-1)$
$P_2(-1\mid1\mid-1)$
$P_3(-1\mid 1\mid 1)$
$P_4(1\mid-1\mid-1)$
$P_5(1\mid 1\mid 1)$
1.4
Für welchen Wert von $a$ verläuft der Vektor $\pmatrix{-2\\a\\1}$ senkrecht zum Vektor $\pmatrix{1\\-2\\4}?$
$a=-1$
$a=0$
$a=0,5 $
$a=1$
$a=2$
1.5
In einem Gefäß befinden sich Kugeln, $12$ davon sind rot. Der Anteil der roten Kugeln an der Gesamtzahl der Kugeln im Gefäß beträgt $60\,\%.$
Wie groß ist die Gesamtanzahl der Kugeln in dem Gefäß?
$8$
$18$
$20$
$30$
$40$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 5
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6\cdot x^2 +11\cdot x -6$ $(x\in \mathbb{R}).$ Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau einen Wendepunkt.
Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.
(4 BE)
#wendepunkt#tangente
3
Für jedes $m\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $g$ mit $g: \quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{11\\m\\10}+r\cdot \pmatrix{4\\-2\\2}$ $(r\in \mathbb{R})$ gegeben.
Für jedes $n\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $h$ mit $h: \quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{-1\\2\\4}+s\cdot \pmatrix{n\\-3\\3}$ $(s\in \mathbb{R})$ gegeben.
Bestimme $m$ und $n$ so, dass $g$ und $h$ identisch sind.
(3 BE)
4
Ein idealer Würfel mit den Augenzahlen $1$ bis $6$ wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie oft dabei die Augenzahl $1$ auftritt.
Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße $X.$
(3 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Wegen des Satzes vom Nullprodukt besitzt $f$ die Nullstelle $x=0.$ Weitere Nullstellen ergeben sich aus den Nullstellen von $(x+4)^2,$ also $x=-4.$
Die vierte Antwortmöglichkeit ist richtig.
1.2
$\blacktriangleright$  Funktionenpaar bestimmen
Anhand der Graphen lässt sich vermuten, dass es sich bei $f,$ $g$ und $h$ um ganzrationale Funktionen handelt.
  • $f$ hat den Grad $1.$
  • $g$ hat den Grad $3.$
  • $h$ hat den Grad $2.$
Alle Stammfunktionen einer ganzrationalen Funktion besitzen immer den Grad der Ausgangsfunktion plus $1.$ Für die abgebildeten Funktionsgraphen gilt:
  • Der Grad von $g$ ist eins höher als der von $h,$ sodass $g$ eine Stammfunktion von $h$ sein kann.
  • Der Grad von $h$ ist eins höher als der von $f,$ sodass $h$ eine Stammfunktion von $f$ sein kann.
Es ist nur eine der beiden Möglichkeiten als Antwortmöglichkeit angegeben. Daher ist die vierte Antwortmöglichkeit richtig.
1.3
$\blacktriangleright$  Punkt auswählen
Führe Punktproben durch, indem du die Koordinaten der Punkte in die Ebenengleichung einsetzt. Der einzige Punkt, dessen Koordinaten die Gleichung erfüllen, ist $P_2.$
Die zweite Antwortmöglichkeit ist richtig.
1.4
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Zwei Vektoren verlaufen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2\\a\\1}\circ \pmatrix{1\\-2\\4}&=& 0 \\[5pt] -2\cdot 1 +a\cdot (-2) +1\cdot 4 &=& 0 \\[5pt] 2-2a&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -2a&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] a&=& 1 \end{array}$
$ a=1 $
Die vierte Antwort ist richtig.
#skalarprodukt
1.5
$\blacktriangleright$  Gesamtzahl der Kugeln bestimmen
Die $12$ roten Kugeln machen einen Anteil von $60\,\%$ aus:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{12}{x}&=& 0,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] 12&=& 0,6x&\quad \scriptsize \mid\; :0,6 \\[5pt] 20&=& x \end{array}$
$ x = 20 $
Die dritte Antwort ist richtig.
2
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
1. Schritt: Wendestelle bestimmen
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6\cdot x^2 +11\cdot x - 6 \\[5pt] f'(x)&=& 3x^2-12x +11 \\[5pt] f''(x)&=& 6x-12 \\[10pt] f''(x)&=& 0 \\[5pt] 6x-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] 6x&=& 12&\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$ x = 2 $
Da der Graph von $f$ laut Aufgabenstellung genau einen Wendepunkt besitzt, liegt dieser an der Stelle $x_W=2.$
2. Schritt: Steigung und $\boldsymbol{y}$-Koordinaten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f'(2)&=& 3\cdot 2^2-12\cdot 2 +11 \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] f(2)&=& 2^3-6\cdot 2^2 +11\cdot 2 -6 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(2)&=&-1 \\[10pt] f(2)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Tangentengleichung aufstellen
Die Steigung der Tangente beträgt also $m_t = f'(2)=-1.$ Mit einer Punktprobe kann noch der $y$-Achsenabschnitt bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y&=& m_t\cdot x +b \\[5pt] y&=& -1\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W(2\mid 0) \\[5pt] 0&=& -1\cdot 2 +b &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$
$ b = 2 $
Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt lautet:
$t:\quad y = -x+2$
3
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Damit die beiden Geraden identisch sind, muss $n$ so gewählt werden, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Es muss also ein $a\in \mathbb{R}$ geben mit:
$\pmatrix{4\\-2\\2} = a\cdot \pmatrix{n\\-3\\3}$
Die zweite und dritte Zeile sind für $a= \frac{2}{3}$ erfüllt. Für die erste Zeile folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& \frac{2}{3}\cdot n &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{2}{3} \\[5pt] 6&=& n \end{array}$
$ n = 6 $
$m$ muss nun so bestimmt werden, dass der Stützpunkt $(11\mid m \mid 10)$ von $g$ auch auf $h$ liegt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{11\\m\\10}&=&\pmatrix{-1\\2\\4}+s\cdot \pmatrix{6\\-3\\3} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{-1\\2\\4} \\[5pt] \pmatrix{12\\m-2\\6}&=& s\cdot \pmatrix{6\\-3\\3} \end{array}$
$ \pmatrix{12\\m-2\\6}= s\cdot \pmatrix{6\\-3\\3} $
Die erste und dritte Zeile sind für $s=2$ erfüllt. Für die zweite Zeile folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} m-2&=& 2\cdot (-3) &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] m&=& -4 \end{array}$
$ m = -4 $
Für $m=-4$ und $n=6$ sind $g$ und $h$ identisch.
#lineareabhängigkeit
4
$\blacktriangleright$  Erwartungswert berechnen
$X$ kann als binomialverteilt mit $n=2$ und $p=\frac{1}{6}$ angenommen werden. Der Erwartungswert ergibt sich daher zu $\mu = 2\cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{3}.$
Der Erwartungswert von $X$ beträgt $\frac{1}{3}.$
#binomialverteilung
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