Teil B1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

$f(x)=...$

1.1

Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12 \mid 0)$ verläuft.

Geben Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(2 \mid f(2))$ an.

Geben Sie die besondere Lage dieser Tangente im Koordinatensystem an.

(03 BE)

1.2

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{25}{8}$ schneidet den Graphen von $f$ an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1}\lt x_{2}$ .

Geben Sie $x_{1}$ und $x_{2}$ an.

Deuten Sie den Term $\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \mathrm{d} x-\int_{x_{1}}^{x_{2}} g(x) \mathrm{d} x$ geometrisch und ermitteln Sie seinen Wert.

(06 BE)

1.3

Untersuchen Sie, ob die Anstiege an den Nullstellen von $f$ den gleichen Betrag besitzen.

(06 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ .

Sachsen Mathe Abi CAS GK Ableitungsfunktion

1.4

Beurteilen Sie jede der zwei folgenden Aussagen mithilfe des dargestellten Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ :

I Die Funktion $f$ ist im Intervall $5 \leq x \leq 7$ monoton steigend.

II Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte.

(06 BE)

1.5

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=f^{\prime}(x+4)-0,1$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Auch der Graph der Funktion $f^{\prime}$ ist symmetrisch zu einem Punkt.

Geben Sie die Koordinaten dieses Punkts an.

Begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von $h$ .

(04 BE)

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die Profillinie des Längsschnitts des Daches kann zwischen den Punkten $A\left(x_{A} \mid 2,5\right)$ und $B(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y=\frac{1}{5} \cdot x+3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $B$ und $C(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$ .

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die $x$ -Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

1.6

Zeigen Sie, dass der Carport 11,50 m lang ist.

Bestimmen Sie die Höhe des Carports an seiner höchsten Stelle.

Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von 7,05 m und einer Höhe von $3,10 \mathrm{~m}$ vollständig im Carport untergestellt werden kann.

(06 BE)

1.7

Abgesehen von einem $20 \mathrm{~cm}$ hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.

Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche.

(05 BE)

Ausgehend vom selben Punkt des Untergrundes verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von 60° ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch $D(6 \mid 0)$ und $E(8 \mid f(8))$ dargestellt.

1.8

Stellen Sie die Profillinie des Daches zwischen den Punkten $B$ und $C$ sowie die beiden Stützen in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

(04 BE)

1.9

Bestimmen Sie die $x$ -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt.

(05 BE)

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1.1

Punktprobe mit $P(12|0)$

Rechenweg anzeigen

$0=0$

Folglich verläuft der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12|0).$

Tangentengleichung aufstellen

Allgemeine Tangentengleichung:

$\(t: y= f$

$f(2)=3,125$

Erste Ableitung anzeigen

$\( f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es ergibt sich somit folgende Tangentengleichung im Punkt $Q(2|f(2)):$

$\begin{array}[t]{rll} t: y&=& 0\cdot (x-2)+3,125 & \\[5pt] y&=& 3,125 \end{array}$

Lage der Tangente beschreiben

Die Tangente $y=3,125$ ist eine zur $x$ -Achse parallele Gerade.

1.2

Schnittstellen berechnen

$f(x)=g(x)$

Rechenweg anzeigen

Mit dem solve-Befehl ergeben sich $x_1=2$ und $x_2=10.$

Term geometrisch deuten

Der Graph von $f(x)$ und der Graph von $g(x)$ schließen im Intervall $[x_1;x_2]$ eine Fläche ein. Der Wert des Terms gibt den Inhalt dieser Fläche an.

Wert des Terms bestimmen

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}g(x)\;\mathrm dx$

Rechenweg anzeigen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Mit dem CAS ergibt sich der Wert des Terms mit:

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}g(x)\;\mathrm dx \;\approx \;2,56$

1.3

1. Schritt: Nullstellen bestimmen

$f(x)=0$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich die Nullstellen an $x_3=-3,32$ und $x_4=12.$

2. Schritt: Anstiege an den Nullstellen berechnen

Die Anstiege an den beiden Nullstellen $x_3=-3,32$ und $x_4=12$ besitzen nicht die gleichen Beträge.

1.4

Aussage I : wahr

Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung des Graphen an. Da $\(f$ für $5\leq x\leq7$ , ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend.

Aussage II : falsch

Der Graph von $f$ besitzt einen Extrempunkt, wenn der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse schneidet.

An der Stelle $x=2$ berührt der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse, deshalb liegt hier kein Extrempunkt vor.

An der Stelle $x=8$ hingegen schneidet der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse. Dies ist somit die einzige Extremstelle von $f.$

1.5

Koordinaten des Symmetriepunkts

$P(4|0,1)$

Begründung

Der Graph von $h$ kann aus dem Graphen von $f^{\prime}$ erzeugt werden durch eine Verschiebung um 4 in negative $x$ -Richtung und um $\frac{1}{10}$ in negative $y$ -Richtung. Damit ist auch der Graph von $f^{\prime}$ punktsymmetrisch, und zwar bezüglich des Punktes $\left(4 \mid \frac{1}{10}\right)$ .

1.6

Länge des Carports nachweisen

Die Länge des Carports entspricht dem Abstand der $x$ -Koordinaten der Punkte $A$ und $C.$

Koordinaten von $A$ einsetzen und nach $x_A$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2,5 & \\[5pt] \dfrac{1}{5}\cdot x_A +3&=&2,5 &\\[5pt] x_A&=&-2,5 \end{array}$

Strecke zwischen $x_A$ und $x_C:$

$9\,\text{m}-(-2,5\,\text{m})=11,5 \,\text{m}$

Maximale Höhe des Carports bestimmen

Mit dem CAS werden die Koordinaten des Hochpunkts bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Die Koordinaten des Hochpunkts folgen mit $(8|3,8).$

Die höchste Stelle des Carports beträgt $3,8 \,\text{m}$ .

Wohnmobil untersuchen

Um feststellen zu können, ob das Wohnmobil vollständig unter den Carport passt, muss der Bereich berechnet werden, in welchem die Höhe des Carports über $3,10\,\text{m}$ beträgt.

$f(x)=3,1$

Lösungen für die Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl und sind $x=0,8$ und $x=10,03.$

Der Carport besitzt folglich für $0,8 \leq x \leq 9$ eine Höhe $h\geq 3,1\,\text{m}.$ Ein Wohnmobil mit der Länge $7,05\,\text{m}$ und der Höhe $3,1\,\text{m}$ kann also vollständig unter dem Carport abgestellt werden.

1.7

Wohnmobil Carport Verkleidung Flächeninhalt Abi Sachsen 2022

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{x_A}^{x_B}(g-h)\;\mathrm dx& \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-2,5}^{0}\left(\dfrac{1}{5}\cdot x+3-0,2\right)\;\mathrm dx& \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Mit dem CAS ergibt sich: $A_1=6,37 \,\text{m}^2$

$A_2=\displaystyle\int_{x_B}^{x_C}(f(x)-h)\;\mathrm dx$

Rechenweg anzeigen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Mit dem CAS ergibt sich: $A_2=28,52\,\text{m}^2$

Der Inhalt der verkleideten Fläche lässt sich berechnen durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1+A_2 & \\[5pt] &=&6,37 \,\text{m}^2 + 28,52 \,\text{m}^2& \\[5pt] &=& 34,89 \,\text{m}^2 \end{array}$

1.8

1.9

Winkel, unter dem $\overline{DE}$ die $x$ -Achse schneidet:

$m_E=\dfrac{f(8)-f(6)}{8-6}=\dfrac{3,8-0}{8-6}=\dfrac{3,8}{2}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& m&\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \alpha&=& \arctan \left(\dfrac{3,8}{2}\right)& \\[5pt] \alpha&\approx & 62,23^{\circ} \end{array}$

Winkel, unter dem $\overline{DF}$ die $x$ -Achse schneidet:

$60^{\circ}+62,23^{\circ}=122,23^{\circ}$

Steigung im Punkt $F$ berechnen:

$m_F=\tan(122,23)\approx -1,59$

Es gilt:

$m_F=\dfrac{f(x_F)-0}{x_F-6}$

Rechenweg anzeigen

Mit dem solve-Befehl ergib sich: $x_F\approx3,9$ als $x$ -Koordinate des Endpunkts der zweiten Stütze.

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