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Teil A

Aufgaben
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1.
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Für $\in\mathbb{R} \, (x\neq 0)$ ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{2}{x^3}$ gegeben.
Welche Gleichung beschreibt die Stammfunktion von $f$?
$F(x)=\dfrac{1}{x^2}+1\,$ $ (x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
$F(x)= \dfrac{1}{x^2}+1 \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
$F(x)= \dfrac{2}{x^2} \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
$F(x)=- \dfrac{6}{x^4} \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
$F(x)= \dfrac{1}{2\cdot x^4}+1 \,$ $(x\in\mathbb{R}, x\neq 0)$
#stammfunktion
1.2
Für die in $\mathbb{R}$ definierte Funkton $f$ mit $f(x)=e^{x+1}$ ist folgende Aussage wahr:
Die Funktion $f$ hat eine Nullstelle.
Es gilt: $f'(x)\neq f(x)$.
Der Graph von $f$ ist symmetrisch.
Der Graph von $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0$.
Der Graph von $f$ besitzt einen Wendepunkt.
#wendepunkt#asymptote#nullstelle#symmetrie
1.3
Die Gerade $g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\4\\5} + t\cdot \pmatrix{2\\1\\-1} \,$ $(t\in\mathbb{R})$ schneidet die $x-y-\text {Ebene}$ im Punkt:
$(0\mid 0 \mid 0)$
$(-7 \mid -1 \mid 0)$
$( 13 \mid 9 \mid 0)$
$(11\mid 0 \mid 1)$
$(-5 \mid 0 \mid 9)$
1.4
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt der Ebene $E$ in einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung $O$.
Die Ebene $E$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$E:x+y+z=0$
$E:x+y+z=1$
$E:x+y+z=3$
$E:y+z=1$
$E:x=1$
1.5
Beim Wurf einer verbeulten Münze fällt Wappen mit der Wahrscheinlichkeit $p$.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim 10-maligen Werfen dieser Münze genau zweimal Wappen fällt, lässt sich mit folgendem Term berechnen:
$p^2\cdot (1-p)^8$
$2\cdot p^2\cdot (1-p)^8$
$\pmatrix{10\\2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^8$
$p^8 \cdot (1-p)^2$
$\pmatrix{10\\2} \cdot p^8 \cdot (1-p)^2$
Für Aufgabe 1 erreichbare BE-Anzahl: 05
2.
Der Inhalt einer Fläche wird durch den Term $\displaystyle\int_{0}^{3}(x+1)\;\mathrm dx$ berechnet.
#integral
2.1
Stelle diese Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
Erreichbare BE-Anzahl:02
2.2
Ermittle den Wert des Terms.
Erreichbare BE-Anzahl:02
3.
Die Geraden $g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\1\\3} + t\cdot \pmatrix{2\\0\\2} \,$ $(t\in \mathbb{R})$ und $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\6} + r\cdot \pmatrix{-1\\1\\1}\,$ $(r\in \mathbb{R})$ schneiden sich im Punkt $S$.
3.1
Bestimme die Koordinaten von $S$.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
3.2
Untersuche, ob $g$ und $h$ orthogonal zueinander verlaufen.
Erreichnare BE-Anzahl: 02
#orthogonal
4.
Ein Vater kann mit einem seiner drei Söhne ein Fußballspiel besuchen. Alle drei Söhne möchten gern mitkommen. Um zu einer Entscheidung zu kommen, fertigt der Vater drei äußerlich nicht unterscheidbare Lose an. Darunter befindet sich genau ein Los, welches den Besuch des Fußballspiels ermöglicht. Die drei Söhne ziehen nacheinander ohne Zurücklegen ein Los zufällig. Erst nachdem alle drei Söhne gezogen haben, werden die Lose geöffnet.
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit für den Besuch des Fußballspiels für jeden Sohn gleich ist.
Erreichbare BE-Anzahl: 02
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung einer Stammfunktion auswählenTeil A
Du kannst den Funktionsterm von $f$ umschreiben zu:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{2}{x^3}\\[5pt] &=& 2\cdot x^{-3} \end{array}$
Für eine Stammfunktion folgt also beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& \frac{2}{-2}\cdot x^{-2}\\[5pt] &=& -\frac{1}{x^2} \\[5pt] \end{array}$
Alle Funktionen der Form $F_c(x) = -\frac{1}{x^2} +c$ sind also Stammfunktionen von $f.$
Die erste Antwortmöglichkeit ist also die richtige.
1.2
$\blacktriangleright$  Aussage auswählen
$f(x)=\mathrm e^{x+1}$ beschreibt den Graph einer $\mathrm e$-Funktion, der um eine Einheit entlang der $x$-Achse verschoben wurde.
  • Die $\mathrm e$-Funktion besitzt keine Nullstelle. Eine Verschiebung entlang der $x$-Achse ändert daran nichts.
    Die erste Anwort ist also falsch.
  • $f'(x)= \mathrm e^{x+1}.$
    Die zweite Antwort ist also auch falsch.
  • Der Graph der $\mathrm e$-Funktion ist nicht symmetrisch. Eine Verschiebung entlang der $x$-Achse ändert daran nichts.
    Die erste Anwort ist also falsch.
  • Der Graph der $\mathrm e$-Funktion besitzt eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0.$ Waagerechte Asymptoten bleiben bei der Verschiebung entlang der $x$-Achse erhalten.
    Diese Antwort ist also richtig.
  • Da $f'(x)=f(x)$ gilt, gilt auch $f''(x)=f(x).$ Da $f$ keine Nullstelle besitzt, kann also auch die zweite Ableitungsfunktion keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keine Stelle, an der das notwendige Kriterium für Wendestellen $f''(x_W)=0$ erfüllt sein kann.
    Diese Antwort ist falsch.
1.3
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Alle Punkte in der $xy$-Ebene besitzen die $z$-Koordinate Null. Dies muss daher auch für den Schnittpunkt mit der Geraden $g$ gelten. Setzt du die letzte Koordinate in der Geradengleichung gleich Null, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 5 + t\cdot (-1) &\quad \scriptsize \mid\;+t \\[5pt] t&=& 5 \end{array}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\pmatrix{3\\4\\5} + 5\cdot \pmatrix{2\\1\\-1} = \pmatrix{13\\ 9\\0}$
Die dritte Antwortmöglichkeit $(13\mid 9\mid 0)$ ist also die richtige Antwort.
1.4
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung auswählen
Aus der Abbildung kannst du die Koordinaten der Spurpunkte von $E$ ablesen $S_x(1\mid 0 \mid 0),$ $S_y(0\mid 1\mid 0)$ und $S_z(0\mid 0\mid 1).$
Setzt du diese nach und nach in die Ebenengleichungen ein, so bleibt nur die zweite angegebene Gleichung, die alle drei gegebenen Koordinaten erfüllen.
Die zweite Antwort ist die richtige.
1.5
$\blacktriangleright$  Term für die Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bei dem zehnmaligen Werfen der Münze handelt es sich um eine Bernoullikette. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, wie oft Wappen fällt, können daher mithilfe der Formel für die Binomialverteilung für $n=10$ und $p$ berechnet werden.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zehnmaligen Werfen zweimal Wappen fällt ist also: $\binom{10}{2}\cdot p^2 \cdot (1-p)^8.$
Die dritte Antwort ist die richtige.
#bernoullikette
2.1
$\blacktriangleright$  Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen
Das Integral beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph zu $x+1$ im Bereich $0\leq x \leq 3$ mit der $x$-Achse begrenzt.
Du erhältst in etwa folgendes Schaubild:
Teil A
Abb. 1: Fläche
Teil A
Abb. 1: Fläche
2.2
$\blacktriangleright$  Wert des Terms ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} &\displaystyle\int_{0}^{3}(x+1)\;\mathrm dx \\[5pt] =& \left[\frac{1}{2}x^2 +x \right]_0^3\\[5pt] =&\frac{1}{2}\cdot 3^2 +3 - \left(\frac{1}{2}\cdot 0^2 +0 \right)\\[5pt] =& \frac{15}{2} \\[5pt] \end{array}$
3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\1\\3} + t\cdot \pmatrix{2\\0\\2} &=& \pmatrix{1\\2\\6} + r\cdot \pmatrix{-1\\1\\1} &\quad \scriptsize \mid\; -t\cdot \pmatrix{2\\0\\2} ; - \pmatrix{1\\2\\6} \\[5pt] \pmatrix{-1\\-1\\-3} &=& r\cdot \pmatrix{-1\\1\\1} - t\cdot \pmatrix{2\\0\\2} \end{array}$
$ \pmatrix{-1\\-1\\-3} = … $
Daraus erhältst du folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -1 &= -r -2t \\ \text{II}\quad& -1 &= r \\ \text{III}\quad& -3 &= r -2t \\ \end{array}$
Es ist $r=-1.$ Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass sich die beiden Geraden $g$ und $h$ schneiden, musst du das Gleichungssystem nicht weiter lösen, sondern kannst nun direkt $r=-1$ in die Gleichung von $h$ einsetzen:
$\pmatrix{1\\2\\6} -1\cdot \pmatrix{-1\\1\\1} = \pmatrix{2\\1\\5}$
$ …= \pmatrix{2\\1\\5} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h$ lauten $S(2\mid 1\mid 5).$
3.2
$\blacktriangleright$  Orthogonalität untersuchen
Die beiden Geraden $g$ und $h$ sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander sind. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\0\\2}\circ \pmatrix{-1\\1\\1} &=& 2\cdot (-1) + 0\cdot 1 +2\cdot 1 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \pmatrix{2\\0\\2}\circ \pmatrix{-1\\1\\1} = 0 $
Die beiden Geraden $g$ und $h$ verlaufen also orthogonal zueinander.
#skalarprodukt
4
$\blacktriangleright$  Gleiche Wahrscheinlichkeit zeigen
Der Sohn, der zuerst zieht, hat noch drei Lose zur Verfügung, von denen eines das Los für das Fußballspiel ist. Bei ihm beträgt die Wahrscheinlichkeit also $\frac{1}{3}.$
Der Sohn, der an zweiter Stelle zieht, kann nur das Gewinnlos ziehen, wenn der erste Sohn es nicht gezogen hat. Mit den Pfadregeln ergibt sich:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
Der Sohn, der zuletzt zieht, kann nur das Gewinnlos ziehen, wenn beide Söhne zuvor es nicht gezogen haben. Mit den Pfadregeln ergibt sich auch hier:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$
Jeder Sohn zieht also jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ das Los für den Besuch des Fußballspiels.
#pfadregeln
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