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Teil A

Aufgaben
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1
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
#hilfsmittelfreieaufgaben
1.1
Welche der angegebenen Gleichungen beschreibt die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{3}\cdot x^3 -\sin (3\cdot x +2)$ $(x\in D_f)?$
$f'(x)= x^2-3\cdot \cos(3\cdot x+2)$ $(x\in D_{f'})$
$f'(x)=x^2+3\cdot \cos(3\cdot x+2)$ $(x\in D_{f'})$
$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2-\frac{1}{3}\cdot \cos(3\cdot x +2)$ $(x\in D_{f'})$
$f'(x)=x^4+\frac{1}{3}\cdot \sin(2\cdot x)$ $(x\in D_{f'})$
$f'(x)=\frac{1}{4}\cdot x^4+3\cdot \cos(3\cdot x+2)$ $(x\in D_{f'})$
#ableitung
1.2
Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{4}{x^2-9}$ $(x\in D_f)$ besitzt
zwei waagerechte Asymptoten mit den Gleichungen $y=-3$ bzw. $y=3$ und keine senkrechte Asymptote.
eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0$ als einzige Asymptote.
keine waagerechte Asymptote und eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=0.$
eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0$ und zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen $x=-3$ bzw. $x=3.$
keine waagerechte Asymptote und keine senkrechte Asymptote.
#asymptote
1.3
Für welchen Wert von $a$ $(a\in \mathbb{R})$ verläuft der Vektor $\pmatrix{2\\a\\-1}$ senkrecht zur Ebene $E$ mit $E:\, 4\cdot x+2\cdot y-2\cdot z =3$
$a=-5$
$a=-3$
$a=1$
$a=3$
$a=5$
#ebenengleichung
1.4
Gegeben sind die Gerade $g$ und der Punkt $P_k$ mit $g:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{6\\-3\\-1}+ t\cdot \pmatrix{0\\2\\1}$ $(t\in \mathbb{R})$ bzw. $P_k(6\mid k\mid -4)$ $(k\in \mathbb{R}).$
Für welchen Wert von $k$ liegt der Punkt $P_k$ auf der Geraden $g?$
$k=-9$
$k=-3$
$k = 0$
$k=3$
$k = 5$
1.5
Ein idealer Würfel wird zweimal jeweils zufällig geworfen und die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen gebildet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „ Die Augensumme ist größer als $8.$“ beträgt:
$\frac{2}{9}$
$\frac{5}{18}$
$\frac{11}{36}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{4}{9}$
(5 BE)
#wahrscheinlichkeit
2
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= (x-1)\cdot \mathrm e^x$ $(x\in\mathbb{R}).$
2.1
Zeige, dass die Funktion $f''$ mit $f''(x)= (x+1)\cdot \mathrm e^x$ $(x\in \mathbb{R})$ die zweite Ableitungsfunktion der Funktion $f$ ist.
(2 BE)
2.2
Der Graph der Funktion $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Gib die Koordinaten dieses Wendepunktes an.
(2 BE)
#ableitung#wendepunkt
3
Die Geraden $g$ und $h$ mit $g: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\-1\\4}+t\cdot \pmatrix{1\\3\\-2}$ $(t\in \mathbb{R})$ bzw. $h: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\5\\4}+r\cdot \pmatrix{-1\\3\\2}$ $(r\in \mathbb{R})$ schneiden sich im Punkt $S.$
3.1
Berechne die Koordinaten des Punkts $S.$
(3 BE)
3.2
Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ nicht senkrecht schneiden.
(1 BE)
4
Bei einer Lotterie werden Lose angeboten. Jedes Los ist mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel ein Gewinnlos.
Ein Spieler zieht bei dieser Lotterie vier Lose zufällig.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter diesen vier gezogenen Losen mindestens ein Gewinnlos befindet.
(2 BE)
#wahrscheinlichkeit
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ableitung zuordnen
Mit der Kettenregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\frac{1}{3}\cdot x^3 -\sin(3\cdot x+2) \\[10pt] f'(x)&=&\frac{1}{3}\cdot 3\cdot x^2- \cos(3x+2)\cdot 3 \\[5pt] &=& x^2- 3\cos(3x+2)\\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)= …$
Die erste Antwortmöglichkeit ist also die richtige.
#kettenregel
1.2
$\blacktriangleright$  Graphen auf Asymptoten untersuchen
Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationele Funktion. Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, besitzt der Graph von $f$ eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y =0$ und keine weitere waagerechte Asymptote.
Der Nenner besitzt die beiden Nullstellen $x_1 = -3$ und $x_2 = 3.$ An diesen Stellen besitzt $f$ also jeweils eine Definitionslücke. Der Graph von $f$ besitzt daher zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen $x=-3$ und $x=3.$
Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#gebrochenrationalefunktion
1.3
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Der Vektor verläuft senkrecht zur Ebene, wenn er ein Normalenvektor von $E$ ist. Ein möglicher Normalenvektor von $E$ lässt sich aus der Ebenengleichung ablesen: $\overrightarrow{n} = \pmatrix{4\\2\\-2}.$
Damit der gegebene Vektor ein Normalenvektor ist, müssen er und $\overrightarrow{n}$ linear abhängig sein:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{4\\2\\-2}&=&b\cdot \pmatrix{2\\a\\-1} \\[5pt] \end{array}$
Aus der ersten Zeile folgt $b =2.$ Für $a$ folgt dann aus der zweiten Zeile $a=1.$
Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.
#koordinatenform#normalenvektor
1.4
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{k}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{6\\k\\-4}&=& \pmatrix{6\\-3\\-1}+t\cdot \pmatrix{0\\2\\1} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{6\\k\\-4} = … $
Aus der letzten Zeile folgt $t = -3$. Die erste Zeile ist unabhängig von $k$ und $t$ und daher erfüllt. Für die zweite Zeile folgt:
$\begin{array}[t]{rll} k&=&-3-3\cdot 2 \\[5pt] &=&-9 \end{array}$
Die erste Antwortmöglichkeit ist die richtige.
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Für eine Augenzahl, die größer als $8$ ist, gibt es für die beiden einzelnen Würfe folgende Kombinationen:
  • $3+6$
  • $4+5$
  • $4+6$
  • $5+4$
  • $5+5$
  • $5+6$
  • $6+3$
  • $6+4$
  • $6+5$
  • $6+6$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also $P(>8) = 10\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18}.$ Die zweite Antwortmöglichkeit ist die richtige.
2.1
$\blacktriangleright$  Zweite Ableitungsfunktion zeigen
Mit der Produktregel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x-1)\cdot \mathrm e^x\\[10pt] f'(x)&=& 1\cdot \mathrm e^x + (x-1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (1+x-1)\cdot \mathrm e^x\\[5pt] &=& x\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f''(x)&=& 1\cdot \mathrm e^x + x\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (x+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&(x-1)\cdot \mathrm e^x\\[10pt] f'(x)&=& x\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f''(x)&=& (x+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendespunkt angeben
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte $f''(x)$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 \\[5pt] (x+1)\cdot \mathrm e^x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=& -1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=&0 \\[5pt] …\\[5pt] x&=& -1 \end{array}$
$f$ besitzt genau eine mögliche Wendestelle bei $x =-1.$ An anderen Stellen kann der Graph von $f$ keinen Wendepunkt besitzen, da dort das notwendige Kriterium nicht erfüllt ist.
Laut Aufgabenstellung besitzt der Graph von $f$ genau einen Wendepunkt, dieser muss sich daher an der Stelle $x=-1$ befinden und das hinreichende Kriterium muss daher nicht mehr überprüft werden.
$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=&(-1-1)\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& -2\mathrm e^{-1}\\[5pt] &=& \frac{-2}{\mathrm e}\\[5pt] \end{array}$
$ f(-1)=\frac{-2}{\mathrm e} $
Die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von $f$ lauten $W\left(-1\mid \frac{-2}{\mathrm e}\right).$
#produktregel
3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\-1\\4}+t\cdot \pmatrix{1\\3\\-2}&=& \pmatrix{1\\5\\4}+r\cdot \pmatrix{-1\\3\\2}&\quad \scriptsize \mid\;- \pmatrix{1\\5\\4}; -t\cdot \pmatrix{1\\3\\-2}\\[5pt] \pmatrix{0\\-6\\0}&=& r\cdot \pmatrix{-1\\3\\2}-t\cdot \pmatrix{1\\3\\-2} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{0\\-6\\0}= … $
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& -1r-1t &\quad \scriptsize\mid\;+r\\ &r&=&-t \\ \text{II}\quad&-6&=& 3r-3t &\quad \\ \text{III}\quad&0&=& 2r+2t &\quad \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}&0&=& -1r-1t \\ &r&=&-t \\ \text{II}&-6&=& 3r-3t \\ \text{III}&0&=& 2r+2t \\ \end{array}$
Einsetzen der ersten Zeile in die zweite bringt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad -6&=& 3r-3t &\quad \scriptsize \mid\; r= -t \\[5pt] -6&=& 3\cdot (-t) -3t \\[5pt] -6&=& -6t &\quad \scriptsize \mid\; :(-6)\\[5pt] 1&=& t \end{array}$
$ 1 = t$
Also ist $r = -1.$ Durch Einsetzen in die dritte Gleichung wird die Lösung überprüft:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad 0&=&2r+2t &\quad \scriptsize \mid\;r = -1, t= 1 \\[5pt] 0&=& 2\cdot (-1)+2\cdot 1 \\[5pt] 0&=& -2+2 \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$
$ 0 = 0 $
Die dritte Gleichung ist also auch erfüllt. Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen liefert den Ortsvektor von $S:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \pmatrix{1\\-1\\4}+t\cdot \pmatrix{1\\3\\-2}&\quad \scriptsize \mid\; t= 1 \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\-1\\4}+\pmatrix{1\\3\\-2} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\2\\2} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{2\\2\\2} $
Die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden $g$ und $h$ lauten $S(2\mid 2\mid2).$
3.2
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass sich die Geraden nicht senkrecht schneiden
Die Geraden schneiden sich senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueianander liegen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt dieser Richtungsvektoren Null ist. Ist das Skalarprodukt nicht Null, liegen die beiden Vektoren nicht senkrecht zueinander.
Ein Richtungsvektor von $g$ ergibt sich aus der Geradengleichung zu $ \overrightarrow{r}_g = \pmatrix{1\\3\\-2},$ einer von $h$ zu $\overrightarrow{r}_h= \pmatrix{-1\\3\\2}.$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}_g\circ \overrightarrow{r}_h&=& \pmatrix{1\\3\\-2} \circ \pmatrix{-1\\3\\2} \\[5pt] &=&1\cdot (-1) +3\cdot 3 - 2\cdot 2 \\[5pt] &=& 4\neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{r}_g\circ \overrightarrow{r}_h = 4 \neq 0$
Es ist $\overrightarrow{r}_g\circ \overrightarrow{r}_h =4\neq 0$. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden $g$ und $h$ verlaufen nicht senkrecht zueinander, die beiden Geraden also ebenfalls nicht. Sie können sich also nicht senkrecht schneiden.
#skalarprodukt
4
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Wir betrachten die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Gewinnlose unter vier gezogenen Losen beschreibt. Da jedes Los mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel ein Gewinnlos ist, kann $X$ als binomialverteilt mit $n=4$ und $p= \frac{1}{3}$ angenommen werden.
Gesucht ist dann $P(X\geq 1).$ Diese kann mit dem Gegenereignis und der Formel für die Binomialverteilung wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=&1- P(X < 1) \\[5pt] &=& 1- P(X=0) \\[5pt] &=& 1- \binom{4}{0}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \\[5pt] &=& 1-\left(\frac{2}{3}\right)^4 \\[5pt] &=& 1- \frac{16}{81} \\[5pt] &=& \frac{65}{81} \end{array}$
$ P(X\geq 1) = \frac{65}{81}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{65}{81}$ befindet sich unter den vier gezogenen Losen mindestens ein Gewinnlos.
#binomialverteilung
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