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Teil A

Teil A

1.
In den Aufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=x\cdot{e}^x\) \((x\in\mathbb{R})\).
Die erste Ableitungsfunktion \(f‘\) von \(f\) kann beschrieben werden durch:
\(f‘(x)=e^x\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(f‘(x)=e^{x-1}\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(f‘(x)=x\cdot{e}^{x}\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(f‘(x)=e^{x}\cdot\left({1+x}\right)\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(f‘(x)=x\cdot(e^x+1)\) \((x\in\mathbb{R})\)


1.2
Der Graph der Funktion \(f\) mit \(y=f(x)=\dfrac{2\cdot{x^2}-3\cdot{x}+4}{-6\cdot{x^2}}\) \((x\in\mathbb{R}; x\neq0)\) besitzt eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung:
▢ \(y=-3\)
▢ \(y=-\dfrac{1}{3}\)
\(y=0\)
\(y=\dfrac{1}{3}\)
\(y=3\)



1.3
Gegeben ist die Funktion \(g\) mit \(g(x)=(2\cdot{x}-4)^3\) \((x\in\mathbb{R})\).
Eine mögliche Stammfunktion \(G\) von \(g\) kann beschrieben werden durch:
\(G(x)=\dfrac{1}{6}\cdot(2\cdot{x}-4)^2\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(G(x)=\dfrac{1}{3}\cdot(2\cdot{x}-4)^2\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(G(x)=\dfrac{1}{8}\cdot(2\cdot{x}-4)^4\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(G(x)=\dfrac{1}{4}\cdot(2\cdot{x}-4)^4\) \((x\in\mathbb{R})\)
\(G(x)=\dfrac{1}{2}\cdot(2\cdot{x}-4)^4\) \((x\in\mathbb{R})\)


1.4
In einem kartesischen Koordinatensystem verläuft eine Gerade \(g\) senkrecht zur \(y\)-\(z\)-Koordinatenebene.
Eine mögliche Gleichung der Geraden \(g\) ist:
\(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\)
\(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\)
\(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\)
\(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\)
\(\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 0\\-1\\-1 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\)


1.5
In einer Urne befinden sich \(3\) grüne und \(5\) rote Kugeln.
Der Urne wird eine Kugel zufällig entnommen. Nach Feststellung ihrer Farbe wird die gezogene Kugel in die Urne zurückgelegt.
Dieser Vorgang wird insgesamt dreimal durchgeführt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der dabei gezogenen grünen Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X=2)\) kann mit folgendem Term berechnet werden:
\(2\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\dfrac{5}{7}}\)
\(3\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\dfrac{2}{7}}\cdot{\dfrac{5}{6}}\)
\(\left(\dfrac{3}{8}\right)^2\cdot{\dfrac{5}{8}}\)
\(3\cdot{\left(\dfrac{3}{8}\right)^2}\cdot{\dfrac{5}{8}}\)
\(3\cdot{\dfrac{3}{8}}\cdot{\left(\dfrac{5}{8}\right)^2}\)

(5P)



2.
Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)=2\cdot{x}^3-6\cdot{x^2}\) \((x\in\mathbb{R})\) besitzt genau einen Wendepunkt \(W\).
Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) in diesem Wendepunkt \(W\).


(5P)



3.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade \(g\) mit \(g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 3\\3\\2 \end{pmatrix}+t\cdot{\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}}\) \((t\in\mathbb{R})\) und für jeden Wert von \(a(a\in\mathbb{R})\) der Punkt \(P_a(2\;|\;a\;|\;0)\) gegeben.
Es existiert ein Wert von \(a\), sodass der Punkt \(P_a\) auf der Geraden \(g\) liegt.
Berechne diesen Wert von \(a\).


(2P)



4.
Gegeben ist die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\).

\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
\(P(X=x_i)\) \(0,25\) \(0,4\) \(P(X=2)\) \(0,2\)

Berechne den Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\).


(3P)