Pflichtbereich
1
In den Teilaufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.
1.1
Bei Spiegelung des Punktes 
an der 
-
-Ebene entsteht der Punkt:
an der --Ebene entsteht der Punkt:
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1.2
Ein möglicher Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte 
und 
ist:
und ist:
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1.3
Die Gerade 
kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
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1.4
Die Ebene 
| enthält den Koordinatenursprung. | |
verläuft senkrecht zur  -Achse. |
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| verläuft parallel zur -Achse. |
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| verläuft senkrecht zur --Ebene. |
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| verläuft senkrecht zur --Ebene. |
1.5
Der Punkt 
teilt die Strecke 
im Verhältnis 1:1.
Welche Aussage ist falsch?
teilt die Strecke im Verhältnis 1:1.
Welche Aussage ist falsch?
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(5 BE)
2
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen der in 
definierten Funktion 
mit 
im Punkt 
definierten Funktion mit im Punkt
2.1
Zeige, dass die Tangente die Steigung 
hat.
hat.
(2 BE)
2.2
Bestimme eine Gleichung der Gerade, die in 
senkrecht zur Tangente verläuft.
senkrecht zur Tangente verläuft.
(3 BE)
3
In einer Lostrommel befinden sich 
von außen nicht unterscheidbare Lose: drei Nieten und drei Gewinnlose.
Nacheinander wird je ein Los ohne Zurücklegen aus der Trommel solange zufällig entnommen, bis ein Gewinnlos gezogen ist.
Die Zufallsgröße
beschreibt die Anzahl der entnommenen Lose.
von außen nicht unterscheidbare Lose: drei Nieten und drei Gewinnlose.
Nacheinander wird je ein Los ohne Zurücklegen aus der Trommel solange zufällig entnommen, bis ein Gewinnlos gezogen ist.
Die Zufallsgröße
beschreibt die Anzahl der entnommenen Lose.
3.1
Zeige, dass gilt: 
(2 BE)
3.2
Bestimme den Erwartunswert von 
(3 BE)
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1
1.1
Die --Ebene ist definiert durch 
Wenn ein Punkt an dieser Ebene gespiegelt wird, wird nur das Vorzeichen der -Koordinate geändert, die - und -Koordinaten bleiben gleich:
Aus 
wird 
Die dritte Antwort ist somit der gespiegelte Punkt.
--Ebene ist definiert durch
Wenn ein Punkt an dieser Ebene gespiegelt wird, wird nur das Vorzeichen der -Koordinate geändert, die - und -Koordinaten bleiben gleich:
Aus wird
Die dritte Antwort ist somit der gespiegelte Punkt.
1.2
Der Vektor ist ein Vielfaches dieses Vektors, somit ist Antwort fünf richtig.
1.3
Aus der Parametergleichung der Gerade ergibt sich:
und 
Auflösen der ersten Gleichung nach 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x&=&4r &\mid\; :4\\[5pt]
r &=&\dfrac{x}{4}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/053608596c2a70f5b2d452916781f30a5f7a1d378072888b9ba4ba46fba5eee8_light.svg)
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
Antwort zwei ist somit die richtige.
und
Auflösen der ersten Gleichung nach liefert:
Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:
Antwort zwei ist somit die richtige.
1.4
Die Ebene verläuft parallel zur -Achse, weil die Ebenengleichung keinen -Anteil hat.
Antwort drei ist damit korrekt.
-Achse, weil die Ebenengleichung keinen -Anteil hat.
Antwort drei ist damit korrekt.
1.5
ist die falsche Antwort, da der Vektor 
in die entgegengesetzte Richtung des Vektors 
zeigt.
2
2.1
Für die Ableitung von gilt:
Einsetzen von 
liefert: 
Somit hat die Tangente die Steigung 
gilt:
Einsetzen von liefert:
Somit hat die Tangente die Steigung
2.2
Wenn 
die Steigung der Tangenten ist, ergibt sich die Steigung der gesuchten Geraden als 
Somit gilt für die Steigung der Geraden, die senkrecht zur Tangente im Punkt 
verläuft 
Es gilt 
Einsetzen der Steigung und der Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung 
liefert somit:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
1&=&-\dfrac{1}{2}\cdot0+n \\[5pt]
1&=&n
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/65042ccbfac103d6453ae46d2c2a8506654fb435889766e5663caa350bfd8486_light.svg)
Die Gleichung der gesuchten Gerade ist damit 
die Steigung der Tangenten ist, ergibt sich die Steigung der gesuchten Geraden als Somit gilt für die Steigung der Geraden, die senkrecht zur Tangente im Punkt verläuft
Es gilt Einsetzen der Steigung und der Koordinaten des Punktes in die allgemeine Gleichung liefert somit:
Die Gleichung der gesuchten Gerade ist damit
3
3.1
3.2
Spätestens nach 4 mal Ziehen muss ein Gewinnlos gezogen worden sein, da die Lostrommel nur 3 Nieten enthält. Für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten folgt damit:
Für den Erwartungswert folgt somit:
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