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Teil B1

Aufgaben
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Eine ebene viereckige Werbefläche wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $P(4\;|\;2\;|\;0)$, $Q(2\;|\;4\;|\;0)$, $R(0\;|\;4\;|\;2)$ und $S(0\;|\;2\;|\;4)$ beschrieben (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter).

1.1
Stelle das Viereck $PQRS$ in einem kartesischen Koordinatensystem dar. Weise nach, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist.

(6P)

1.2
Ermittle den Flächeninhalt der Werbefläche.

(3P)

Für eine Sonderausstellung wird die Werbefläche so zu einem Sechseck $PQRSTU$ vergrößert, dass die Gerade durch die Punkte $P$ und $S$ eine Symmetrieachse dieses Sechsecks ist.

1.3
Weise nach, dass der Punkt $T$ die Koordinaten $T(2\;|\;0\;|\;4)$ besitzt.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $U$.

(4P)

1.4
Zur Stabilisierung dieser sechseckigen Werbefläche verlaufen von einem Punkt $Z$ jeweils gleich lange Metallstreben zu jedem Eckpunkt des Sechsecks $PQRSTU$, sodass die gerade Pyramide $PQRSTUVZ$ entsteht. Der Punkt $Z$ liegt in der $x$-$y$-Koordinatenebene.
Ermittle die Koordinaten dieses Punktes $Z$.

(3P)

1.5
Träger für derartige Werbeflächen werden aus Kunststoff gefertigt.
$30\;\%$ der Träger werden aus recyceltem Kunststoff hergestellt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Materialfehler bei einem Träger aus nicht recyceltem Kunststoff beträgt $0,3\;\%$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Träger einen Materialfehler besitzt, beträgt $1,5\;\%$.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht und keinen Materialfehler besitzt.
Ermittle den prozentualen Anteil der Träger mit Materialfehler an allen aus recyceltem Kunststoff hergestellten Trägern.

(4P)

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Aufgabe B1

1.1
$\blacktriangleright$  Viereck in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen
Aus den Punkten $P (4 \mid 2 \mid 0)$, $Q (2 \mid 4 \mid 0 )$, $R (0 \mid 4 \mid 2)$, $S(0 \mid 2 \mid4)$ kannst du ein Trapez konstruieren. Um nachzuweisen, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist, musst du zuerst zeigen, dass dieses Viereck ein Trapez ist.
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten.
Um nachzuweisen, dass das Trapez gleichschenklig ist, überprüfst du die Länge der beiden Seiten, die nicht parallel sind.
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Werbefläche ermitteln
Um die Größe der Werbefläche zu ermitteln, benutzt du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:
$A = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$
1.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes nachweisen
Das Trapez wird nun zu einem Sechseck erweitert, wobei die Gerade durch die Punkte $P$ und $S$ die Symmetrieachse ist.
Teil B1
Abb. 1: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Teil B1
Abb. 1: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Nutze dazu, dass du Vektoren ersetzen kannst, die parallele Seiten beschreiben. Zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes $U$ kannst du analog zum vorigen Aufgabenteil vorgehen. Nutze dazu, dass gilt
1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Eckpunktes der Pyramide berechnen
Nun wird das Sechseck durch gleich lange Verbindungsstücke zu einem Punkt in der $xy - $ Ebene zu einer Pyramide erweitert. Die Koordinaten dieses Punktes $Z$ sollen ermittelt werden. Es gilt wegen der gleichen Länge aller Seiten
$\left | \overrightarrow{RZ} \right | = \left | \overrightarrow{PZ} \right |$
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit eines Materialfehlers berechnen
Jetzt musst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht und keinen Materialfehler besitzt. Das Ereignis $X$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff besteht. Das Ereignis $Y$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff keinen Materialfehler hat, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff einen Materialfehler hat.
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Aufgabe B1

1.1
$\blacktriangleright$  Viereck in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen
Aus den Punkten $P (4 \mid 2 \mid 0)$, $Q (2 \mid 4 \mid 0 )$, $R (0 \mid 4 \mid 2)$, $S(0 \mid 2 \mid4)$ kannst du ein Trapez konstruieren.
Teil B1
Abb.1: Viereck $PQRS$
Teil B1
Abb.1: Viereck $PQRS$
$\blacktriangleright$  Nachweis des gleichschenkligen Trapezes
Um nachzuweisen, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist, musst du zuerst zeigen, dass dieses Viereck ein Trapez ist.
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten.
Zwei Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ sind zueinander parallel, wenn sie voneinander linear abhängig sind, wenn du also die Gleichung
$\overrightarrow{v} = r \cdot \overrightarrow{w}$
nach $r$ auflösen kannst. Wähle also die Seiten $\overrightarrow{RQ}$ und $\overrightarrow{PS}$ und untersuche sie auf lineare Abhängigkeit.
$\overrightarrow{RQ} = \pmatrix{2\\4\\0} - \pmatrix{0\\4\\2} = \pmatrix{2\\0\\-2} = r \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
$\overrightarrow{RQ} = r \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
Du erhältst als Ergebnis $r = - \dfrac{1}{2}$. Weil diese Lösung eindeutig ist, sind die Vektoren voneinander linear abhängig. Das bedeutet, dass diese Seiten zueinander parallel sind und es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
Um nachzuweisen, dass das Trapez gleichschenklig ist, überprüfst du die Länge der beiden Seiten, die nicht parallel sind. Sind diese gleich lang, handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez.
Berechne also die Beträge von $ \overrightarrow{PQ}$ und $ \overrightarrow{RS}$ und vergleiche sie miteinander:
$\left | \overrightarrow{PQ} \right | = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \left | \overrightarrow{RS} \right |$
Damit hast du nachgewiesen, dass es sich bei dem Viereck um ein gleichschenkliges Trapez handelt.
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Werbefläche ermitteln
Um die Größe der Werbefläche zu ermitteln, benutzt du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:
$A = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$
Darin sind $a = \vert \overrightarrow{RQ} \vert $ und $b = \vert \overrightarrow{SP} \vert$ die Längen der parallelen Seiten und $h$ entspricht ihrem Abstand.
Den Abstand berechnest du als Abstand zweier paralleler Geraden $\overrightarrow{g} = \overrightarrow{p_1} + r \cdot \overrightarrow{v_1} $ und $\overrightarrow{h} = \overrightarrow{p_2} + r \cdot \overrightarrow{v_2}$ mit der Formel
$d(\overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2}) = \left | \overrightarrow{v_1} \times (\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}) \right | \cdot \dfrac{1}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |}$
$d(\overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2}) = \frac{\left | \overrightarrow{v_1} \times (\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}) \right |}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |}$
Stelle dazu die Geradengleichungen auf, die die beiden parallelen Seiten des Trapezes modellieren. Mit $\overrightarrow{OQ}$ und $\overrightarrow{OP}$ als Stützvektoren und $\overrightarrow{RQ}$ und $\overrightarrow{PS}$ als Richtungsvektoren lauten diese
$\overrightarrow{g_1} = \pmatrix{2\\4\\0} + r \cdot \pmatrix{2\\0\\-2}$
$\overrightarrow{g_2} = \pmatrix{4\\2\\0} + s \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
Den Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ kannst du mit dem CAS über den Befehl berechnen
$MENU \longrightarrow 7 \longrightarrow 7 \longrightarrow MENU \longrightarrow 7 \longrightarrow C \longrightarrow 2 $
MENU $\longrightarrow$ 7 $\longrightarrow$ 7 $\longrightarrow$ MENU $\longrightarrow$ 7 $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ 2
Rechne also
$\left | \pmatrix{2\\0\\-2} \times \pmatrix{2\\-2\\0} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}= \left | \pmatrix{4\\4\\4} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}} = \sqrt{6}$
$ \left | \pmatrix{2\\0\\-2} \times \pmatrix{2\\-2\\0} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}= \sqrt{6} $
Teil B1
Abb. 2: Zur Berechnung des Betrages des Kreuzproduktes
Teil B1
Abb. 2: Zur Berechnung des Betrages des Kreuzproduktes
Die Seitenlänge der parallelen Seiten ergibt sich zu
$\vert \overrightarrow{RQ} \vert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8} = \sqrt{2} \cdot 2$
$ \vert \overrightarrow{RQ} \vert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{2} \cdot 2 $
$\vert \overrightarrow{PS} \vert = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = \sqrt{2} \cdot 4$
$ \vert \overrightarrow{PS} \vert = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{2} \cdot 4 $
Somit erhältst du
$A = \dfrac{\sqrt{2} \cdot( 2 + 4)}{2} \cdot \sqrt{6} \approx 10,4 $
Da eine LE einem Meter entspricht, ist der gesuchte Flächeninhalt des Trapezes $10,4 \text{m}^2$.
1.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes nachweisen
Das Trapez wird nun zu einem Sechseck erweitert, wobei die Gerade durch die Punkte $P$ und $S$ die Symmetrieachse ist.
Teil B1
Abb. 3: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Teil B1
Abb. 3: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Nutze dazu, dass du Vektoren ersetzen kannst, die parallele Seiten beschreiben
$\overrightarrow{OT} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{QP}$
Berechne zunächst $\overrightarrow{QP}$:
$\overrightarrow{QP} = \pmatrix{4\\2\\0} - \pmatrix{2\\4\\0} = \pmatrix{2\\-2\\0}$
Du erhältst also für
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\2\\4} + \pmatrix{2\\-2\\0} = \pmatrix{2\\0\\4}$
Damit hast du nachgewiesen, dass der Punkt $T$ die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid 4)$ hat.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes U bestimmen
Zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes $U$ kannst du analog zum vorigen Aufgabenteil vorgehen. Nutze dazu, dass gilt
$\overrightarrow{OU} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PU} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{RS}$
Rechne also
$\pmatrix{4\\2\\0} + \pmatrix{0-0\\2-4\\4-2} = \pmatrix{4\\0\\2}$
Also hat $U$ die Koordinaten $(4 \mid 0 \mid 2)$.
1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Eckpunktes der Pyramide berechnen
Nun wird das Sechseck durch gleich lange Verbindungsstücke zu einem Punkt in der $xy - $ Ebene zu einer Pyramide erweitert. Die Koordinaten dieses Punktes $Z$ sollen ermittelt werden. Es gilt wegen der gleichen Länge aller Seiten
$\left | \overrightarrow{RZ} \right | = \left | \pmatrix{0\\y-4\\-2} \right | = \left | \overrightarrow{PZ} \right | = \left | \pmatrix{0\\y-2\\-4} \right |$
$ \left | \overrightarrow{RZ} \right | = \left | \overrightarrow{PZ} \right | $
Schreibe dies mit $Z(x \mid y \mid0)$ als Gleichung
$\sqrt{(y-4)^2 + (-2)^2}= \sqrt{(y-2)^2 + (-4)^2}$
$ \sqrt{(y-4)^2 + (-2)^2}= … $
Die Lösung dieser Gleichung kannst du mit deinem CAS bestimmen. Den Befehl zur Lösung einer Gleichung findest du
$MENU \longrightarrow 3 \longrightarrow 1$
$MENU \longrightarrow 3 \longrightarrow 1$
Teil B1
Abb. 4: Die Lösung der Gleichung für $y$
Teil B1
Abb. 4: Die Lösung der Gleichung für $y$
Damit erhältst du $y = 0$. Bestimme analog $x$.
Dann erhältst du $x = 0$. Somit liegt $Z$ im Urpsrung.
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit eines Materialfehlers berechnen
Jetzt musst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht und keinen Materialfehler besitzt. Das Ereignis $X$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff besteht. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit
$P(X) = 1 - 0,3 = 0,7$.
Das Ereignis $Y$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff keinen Materialfehler hat, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff einen Materialfehler hat. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du erneut mit dem Gegenereignis
$P(Y) = 1 - 0,003 = 0,997$.
Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, berechnest du
$P(X) \cdot P(Y) = 0,7 \cdot 0,997 = 0,6979$
$ P(X) \cdot P(Y) = 0,6979 $
.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil der Träger berechnen
Jetzt musst du den Anteil der Träger mit Materialfehler unter den aus recycelten Kunstoff hergestellten Trägern berechnen.
Gehe dazu von einer Grundmenge an allen Trägern aus. Diese nennst du $A$. Von diesen Trägern sind $0,7 \cdot A$ aus nicht recyceltem Kunstoff. Von diesen Trägern haben genau $0,3 \%$ einen Materialfehler.
Dies enstpricht $0,003 \cdot 0,7 \cdot A$ Stück. Insgesamt haben $1,5 \%$ einen Materialfehler, also $0,015 \cdot A$. Du erhältst also als Anzahl von Kunststoffträgern mit Materialfehler
$(0,015 - 0.003 \cdot 0,7) \cdot A $.
Der Anteil dieser Träger an der Gesamtmenge der Kunststoffträger ist
$\dfrac{(0,015 - 0,003 \cdot 0,7) \cdot A}{0,3 \cdot A} = 0,043$
$ \dfrac{(0,015 - 0,003 \cdot 0,7) \cdot A}{0,3 \cdot A} = $
.
Also beträgt der prozentuale Anteil der Träger mit Materialfehler an allen aus recyceltem Kunststoff hergestellten Trägern $4,3 \% $.
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1.1
$\blacktriangleright$  Viereck in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen
Aus den Punkten $P (4 \mid 2 \mid 0)$, $Q (2 \mid 4 \mid 0 )$, $R (0 \mid 4 \mid 2)$, $S(0 \mid 2 \mid4)$ kannst du ein Trapez konstruieren.
Teil B1
Abb.1: Viereck $PQRS$
Teil B1
Abb.1: Viereck $PQRS$
$\blacktriangleright$  Nachweis des gleichschenkligen Trapezes
Um nachzuweisen, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist, musst du zuerst zeigen, dass dieses Viereck ein Trapez ist.
Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten.
Zwei Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ sind zueinander parallel, wenn sie voneinander linear abhängig sind, wenn du also die Gleichung
$\overrightarrow{v} = r \cdot \overrightarrow{w}$
nach $r$ auflösen kannst. Wähle also die Seiten $\overrightarrow{RQ}$ und $\overrightarrow{PS}$ und untersuche sie auf lineare Abhängigkeit.
$\overrightarrow{RQ} = \pmatrix{2\\4\\0} - \pmatrix{0\\4\\2} = \pmatrix{2\\0\\-2} = r \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
$\overrightarrow{RQ} = r \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
Du erhältst als Ergebnis $r = - \dfrac{1}{2}$. Weil diese Lösung eindeutig ist, sind die Vektoren voneinander linear abhängig. Das bedeutet, dass diese Seiten zueinander parallel sind und es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
Um nachzuweisen, dass das Trapez gleichschenklig ist, überprüfst du die Länge der beiden Seiten, die nicht parallel sind. Sind diese gleich lang, handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez.
Berechne also die Beträge von $ \overrightarrow{PQ}$ und $ \overrightarrow{RS}$ und vergleiche sie miteinander:
$\left | \overrightarrow{PQ} \right | = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \left | \overrightarrow{RS} \right |$
Damit hast du nachgewiesen, dass es sich bei dem Viereck um ein gleichschenkliges Trapez handelt.
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt der Werbefläche ermitteln
Um die Größe der Werbefläche zu ermitteln, benutzt du die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes:
$A = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$
Darin sind $a = \vert \overrightarrow{RQ} \vert $ und $b = \vert \overrightarrow{SP} \vert$ die Längen der parallelen Seiten und $h$ entspricht ihrem Abstand.
Den Abstand berechnest du als Abstand zweier paralleler Geraden $\overrightarrow{g} = \overrightarrow{p_1} + r \cdot \overrightarrow{v_1} $ und $\overrightarrow{h} = \overrightarrow{p_2} + r \cdot \overrightarrow{v_2}$ mit der Formel
$d(\overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2}) = \left | \overrightarrow{v_1} \times (\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}) \right | \cdot \dfrac{1}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |}$
$d(\overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2}) = \frac{\left | \overrightarrow{v_1} \times (\overrightarrow{p_2}-\overrightarrow{p_1}) \right |}{\left | \overrightarrow{v_1} \right |}$
Stelle dazu die Geradengleichungen auf, die die beiden parallelen Seiten des Trapezes modellieren. Mit $\overrightarrow{OQ}$ und $\overrightarrow{OP}$ als Stützvektoren und $\overrightarrow{RQ}$ und $\overrightarrow{PS}$ als Richtungsvektoren lauten diese
$\overrightarrow{g_1} = \pmatrix{2\\4\\0} + r \cdot \pmatrix{2\\0\\-2}$
$\overrightarrow{g_2} = \pmatrix{4\\2\\0} + s \cdot \pmatrix{-4\\0\\4}$
Den Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ kannst du mit dem CAS über den Befehl berechnen
$Action \longrightarrow Vector \longrightarrow norm \longrightarrow Action \longrightarrow Vector \longrightarrow crossP $
Action $\longrightarrow$ Vector $\longrightarrow$ norm $\longrightarrow$ Action $\longrightarrow$ Vector $\longrightarrow$ crossP
Rechne also
$\left | \pmatrix{2\\0\\-2} \times \pmatrix{2\\-2\\0} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}= \left | \pmatrix{4\\4\\4} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}} = \sqrt{6}$
$ \left | \pmatrix{2\\0\\-2} \times \pmatrix{2\\-2\\0} \right | \cdot \dfrac{1}{\sqrt{8}}= \sqrt{6} $
Teil B1
Abb. 2: Zur Berechnung des Betrages des Kreuzproduktes
Teil B1
Abb. 2: Zur Berechnung des Betrages des Kreuzproduktes
Die Seitenlänge der parallelen Seiten ergibt sich zu
$\vert \overrightarrow{RQ} \vert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8} = \sqrt{2} \cdot 2$
$ \vert \overrightarrow{RQ} \vert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{2} \cdot 2 $
$\vert \overrightarrow{PS} \vert = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{32} = \sqrt{2} \cdot 4$
$ \vert \overrightarrow{PS} \vert = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{2} \cdot 4 $
Somit erhältst du
$A = \dfrac{\sqrt{2} \cdot( 2 + 4)}{2} \cdot \sqrt{6}\approx 10,4 $
Da eine LE einem Meter entspricht, ist der gesuchte Flächeninhalt des Trapezes $10,4 \text{m}^2$.
1.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes nachweisen
Das Trapez wird nun zu einem Sechseck erweitert, wobei die Gerade durch die Punkte $P$ und $S$ die Symmetrieachse ist.
Teil B1
Abb. 3: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Teil B1
Abb. 3: Die beiden türkis eingefärbten Vektoren entsprechen $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{QP}$. Man kann den einen also durch den anderen ersetzen.
Nutze dazu, dass du Vektoren ersetzen kannst, die parallele Seiten beschreiben
$\overrightarrow{OT} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{QP}$
Berechne zunächst $\overrightarrow{QP}$:
$\overrightarrow{QP} = \pmatrix{4\\2\\0} - \pmatrix{2\\4\\0} = \pmatrix{2\\-2\\0}$
Du erhältst also für
$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{0\\2\\4} + \pmatrix{2\\-2\\0} = \pmatrix{2\\0\\4}$
Damit hast du nachgewiesen, dass der Punkt $T$ die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid 4)$ hat.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes U bestimmen
Zur Bestimmung der Koordinaten des Punktes $U$ kannst du analog zum vorigen Aufgabenteil vorgehen. Nutze dazu, dass gilt
$\overrightarrow{OU} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PU} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{RS}$
Rechne also
$\pmatrix{4\\2\\0} + \pmatrix{0-0\\2-4\\4-2} = \pmatrix{4\\0\\2}$
Also hat $U$ die Koordinaten $(4 \mid 0 \mid 2)$.
1.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Eckpunktes der Pyramide berechnen
Nun wird das Sechseck durch gleich lange Verbindungsstücke zu einem Punkt in der $xy - $ Ebene zu einer Pyramide erweitert. Die Koordinaten dieses Punktes $Z$ sollen ermittelt werden. Es gilt wegen der gleichen Länge aller Seiten
$\left | \overrightarrow{RZ} \right | = \left | \pmatrix{0\\y-4\\-2} \right | = \left | \overrightarrow{PZ} \right | = \left | \pmatrix{0\\y-2\\-4} \right |$
$ \left | \overrightarrow{RZ} \right | = \left | \overrightarrow{PZ} \right | $
Schreibe dies mit $Z(x \mid y \mid0)$ als Gleichung
$\sqrt{(y-4)^2 + (-2)^2}= \sqrt{(y-2)^2 + (-4)^2}$
$ \sqrt{(y-4)^2 + (-2)^2}= … $
Die Lösung dieser Gleichung kannst du mit deinem CAS bestimmen. Den Befehl zur Lösung einer Gleichung findest du
$Action \longrightarrow Advanced \longrightarrow Solve$
$Action \longrightarrow Advanced \longrightarrow Solve$
Teil B1
Abb. 4: Die Lösung der Gleichung für $y$
Teil B1
Abb. 4: Die Lösung der Gleichung für $y$
Damit erhältst du $y = 0$. Bestimme analog x.
Dann erhältst du $x = 0$. Somit liegt $Z$ im Urpsrung.
1.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit eines Materialfehlers berechnen
Jetzt musst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht und keinen Materialfehler besitzt. Das Ereignis $X$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff besteht, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff besteht. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du mit
$P(X) = 1 - 0,3 = 0,7$.
Das Ereignis $Y$, dass ein Träger aus nicht recyceltem Kunststoff keinen Materialfehler hat, ist gerade das Gegenereignis dazu, dass ein Träger aus recyceltem Kunststoff einen Materialfehler hat. Die Wahrscheinlichkeit berechnest du erneut mit dem Gegenereignis
$P(Y) = 1 - 0,003 = 0,997$.
Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, berechnest du
$P(X) \cdot P(Y) = 0,7 \cdot 0,997 = 0,6979$
$ P(X) \cdot P(Y) = 0,6979 $
.
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil der Träger berechnen
Jetzt musst du den Anteil der Träger mit Materialfehler unter den aus recycelten Kunstoff hergestellten Trägern berechnen.
Gehe dazu von einer Grundmenge an allen Trägern aus. Diese nennst du $A$. Von diesen Trägern sind $0,7 \cdot A$ aus nicht recyceltem Kunstoff. Von diesen Trägern haben genau $0,3 \%$ einen Materialfehler.
Dies enstpricht $0,003 \cdot 0,7 \cdot A$ Stück. Insgesamt haben $1,5 \%$ einen Materialfehler, also $0,015 \cdot A$. Du erhältst also als Anzahl von Kunststoffträgern mit Materialfehler
$(0,015 - 0.003 \cdot 0,7) \cdot A $.
Der Anteil dieser Träger an der Gesamtmenge der Kunststoffträger ist
$\dfrac{(0,015 - 0,003 \cdot 0,7) \cdot A}{0,3 \cdot A} = 0,043$
$ \dfrac{(0,015 - 0,003 \cdot 0,7) \cdot A}{0,3 \cdot A} = $
.
Also beträgt der prozentuale Anteil der Träger mit Materialfehler an allen aus recyceltem Kunststoff hergestellten Trägern $4,3 \% $.
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