Teil B2
Eine Kletterhalle kann in einem kartesischen Koordinatensystem (
Längeneinheit entspricht Meter) dargestellt werden (siehe Abbildung).
Der ebene Hallenboden der Kletterhalle befindet sich in der
-
-Koordinatenebene.
Die beiden zum Hallenboden senkrechten Kletterwände befinden sich in der-
- bzw. --Koordinatenebene.
Zwischen diesen beiden Kletterwänden befindet sich eine schräge Kletterwand, ein sogenannter Überhang.
Dieser dreieckige Überhang befindet sich in der Ebene
mit 
Ein Eckpunkt des Überhangs liegt auf der-Achse.
Die beiden anderen Eckpunkte des Überhangs befinden sich auf den senkrechten Kletterwänden
über dem Hallenboden.
Längeneinheit entspricht Meter) dargestellt werden (siehe Abbildung).
Der ebene Hallenboden der Kletterhalle befindet sich in der
--Koordinatenebene.
Die beiden zum Hallenboden senkrechten Kletterwände befinden sich in der
-- bzw. --Koordinatenebene.
Zwischen diesen beiden Kletterwänden befindet sich eine schräge Kletterwand, ein sogenannter Überhang.
Dieser dreieckige Überhang befindet sich in der Ebene
mit
Ein Eckpunkt des Überhangs liegt auf der
-Achse.
Die beiden anderen Eckpunkte des Überhangs befinden sich auf den senkrechten Kletterwänden
über dem Hallenboden.
Abb. 1 (nicht maßstäblich)
2.1
Ein Eckpunkt des Überhangs besitzt die geringste Höhe über dem Hallenboden. Weise nach, dass diese geringste Höhe 
beträgt.
beträgt.
(2 BE)
2.2
Bestimme den Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden.
(2 BE)
2.3
Vom Punkt 
verläuft ein geradliniges Spannseil senkrecht zum Überhang.
Dieses Spannseil ist im Punkt
des Überhangs befestigt. Ermittle die Koordinaten des Punktes 
Gib die Länge des Spannseils zwischen den Punkten 
und an.
verläuft ein geradliniges Spannseil senkrecht zum Überhang.
Dieses Spannseil ist im Punkt
des Überhangs befestigt. Ermittle die Koordinaten des Punktes Gib die Länge des Spannseils zwischen den Punkten und an.
(4 BE)
2.4
Der dreieckige Überhang soll ausgetauscht werden. Die Materialkosten betragen 
pro Quadratmeter ohne Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt 
Ermittle die Materialkosten einschließlich Mehrwertsteuer für den Austausch des dreieckigen Überhangs.
pro Quadratmeter ohne Mehrwertsteuer. Die Mehrwertsteuer beträgt
Ermittle die Materialkosten einschließlich Mehrwertsteuer für den Austausch des dreieckigen Überhangs.
(4 BE)
2.5
Es gibt Kletterrouten, die entlang der beiden zum Hallenboden senkrechten Kletterwände vom Punkt 
über einen Punkt 
auf der -Achse zum Punkt 
verlaufen. Unter diesen Kletterrouten gibt es eine kürzeste Route.
Bestimme die Koordinaten des Punktes für diese kürzeste Route.
In der Kletterhalle können Kletterrouten der Kategorie über einen Punkt auf der -Achse zum Punkt verlaufen. Unter diesen Kletterrouten gibt es eine kürzeste Route.
Bestimme die Koordinaten des Punktes
für diese kürzeste Route.
(3 BE)
und Kletterrouten der Kategorie 
gewählt werden.
Erfahrungsgemäß sind von allen gewählten Kletterrouten
Kletterrouten der Kategorie 
Von diesen werden 
ohne Absturz bewältigt.
Insgesamt werden
aller gewählten Kletterrouten ohne Absturz bewältigt.
2.6
Ermittle die Anzahl der zu erwartenden Abstürze bei 
gewählten Kletterrouten.
gewählten Kletterrouten.
(2 BE)
2.7
Eine Kletterroute der Kategorie wurde gewählt.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dabei ein Absturz erfolgt. Eine Kletterroute der Kategorie wurde gewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei kein Absturz erfolgt.
Bildnachweise [nach oben]
wurde gewählt.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass dabei ein Absturz erfolgt. Eine Kletterroute der Kategorie
wurde gewählt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei kein Absturz erfolgt.
(3 BE)
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2.1
Geringste Höhe nachweisen
Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der -Achse liegen ist mit 
Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse. Alle Punkte auf der -Achse haben die Koordinaten 
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der 
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
E:\, 3x+3y-4z&=& -16 &\quad \scriptsize \mid\;x=0, y=0 \\[5pt]
-4z&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt]
z&=&4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/53e37e7bbd7381f38b6d579be2af955a8d5c5962db0cb07836f5f4c310612f43_light.svg)
-Achse liegt hat die Koordinaten 
und damit eine Höhe von 
Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich Meter über dem Hallenboden. Damit ist Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.
2.2
Neigungswinkel bestimmen
Der Neigungswinkel 
des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene gegenüber der --Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von , beispielsweise aus der Ebenengleichung 
, und einem Normalenvektor der --Ebene, beispielsweise 
wie folgt berechnet werden:
Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E \circ\overrightarrow{n}_z\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_z \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \circ\pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{3\\3\\-4} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{3^2+3^2+(-4)^2}\cdot 1} \\[5pt]
\cos \alpha&=& \dfrac{4}{\sqrt{34}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt]
\alpha &\approx& 46,69^{\circ} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8bdc09a1bfc30be94673e9e6637b1bdbfd5d665f683476128319bee780a02642_light.svg)
geneigt.
2.3
Koordinaten ermitteln
Der Punkt ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene und der Geraden 
, die senkrecht zum Überhang durch den Punkt verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten
![\(\begin{array}[t]{rll}
g:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OP}+t\cdot \overrightarrow{n}_E \\[5pt]
&=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1b94e0f416a316f1ff057bfb6879eb4aaa95b8497af92026ad5005f8ee694c71_light.svg)
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
Einsetzen in die Geradengleichung von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt]
3\cdot 3t +3\cdot 3t -4\cdot (10,0-4t)&=& -16 \\[5pt]
34t-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\; +40\\[5pt]
34t&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;:34 \\[5pt]
t&=& \frac{12}{17} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9949fa2bf1573865bb75ffcef4b5a5dc15ee6c320c5f3dc2cea5ebc9f09b46bb_light.svg)
liefert den Ortsvektor von 
Der Punkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ t\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} &\quad \scriptsize \mid\;t= \frac{12}{17} \\[5pt]
&=& \pmatrix{0,0\\0,0\\10,0}+ \frac{12}{17}\cdot \pmatrix{3\\3\\-4} \\[5pt]
&=& \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{122}{17}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b54a87b8ef3ccc9745e30fcced7c6c293f64318a092d102570742d7aac2a0a6a_light.svg)
hat die Koordinaten 
Länge des Seils bestimmen
Die Länge des Seils kann über den Betrag des Verbindungsvektors 
berechnet werden:
berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{PQ} \right|&=& \left| \pmatrix{\frac{36}{17}\\ \frac{36}{17}\\ \frac{-48}{17}}\right|&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
&=& \frac{12\cdot \sqrt{34}}{17} \\[5pt]
&\approx& 4,12 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/236538b7868283ec194665d2e0a1fa71c3ecac95e7cacbebedaff0c1b6e8834a_light.svg)
7: Matrix und Vektor und ist ca. 
lang.
2.4
Materialkosten berechnen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen
Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten 
Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von 
Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die -Koordinate 
Einer von ihnen befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinaten 
der zweite befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinate 
Beide Punkte müssen auf der Ebene liegen:
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten 
![\(\begin{array}[t]{rll}
E:\, 3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt]
3\cdot 0 +3\cdot y_R -4\cdot 10&=&-16 \\[5pt]
3\cdot y_R -40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt]
3y_R&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt]
y_R&=& 8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/57adbbb70344c5809339b0357803d368f478746c9ec223a887b818d4bae1f87c_light.svg)
Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten 
![\(\begin{array}[t]{rll}
E:\,3x+3y-4z&=& -16 \\[5pt]
3\cdot x_S +3\cdot 0-4\cdot 10&=&-16 \\[5pt]
3x_S-40&=&-16 &\quad \scriptsize \mid\;+40 \\[5pt]
3x_S&=&24 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
x_S&=&8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b95235a4508c691d93b93efc4044836e65729f6f53d09ccbb95d2ea0b0606b73_light.svg)
2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ERS}&=&\frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{ER}\times \overrightarrow{RS} \right| \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\8\\6}\times \pmatrix{8\\-8\\0} \right| &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt]
&=& 8\cdot \sqrt{34} \\[5pt]
&\approx& 46,65
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/eebc052203a56564ff42bebba9d159df52521eb21e0d9cc44ba3134d113ccb97_light.svg)
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
groß.
3. Schritt: Kosten berechnen
Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
K&=& A\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt]
&=& 46,65\,\text{m}^2\cdot 50\,\frac{€}{\text{m}^2}\cdot 1,19 \\[5pt]
&\approx& 2.776\,€ \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f80647f3232b61902fedc6f34adda16c79f1f024beb19d1267e3e88554532be3_light.svg)
2.5
Koordinaten berechnen
Der Punkt liegt auf der -Achse und hat demnach folgende Koordinaten:
Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von 
dargestellt werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d(z_B)&=& \left| \overrightarrow{AB}\right|+ \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt]
&=& \left| \pmatrix{-4,0\\0,0\\z_B} \right| + \left|\pmatrix{0,0\\6,0\\6,0-z_B} \right| \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/68f87323c9ff8b5d30d636e0e796aa1fd47ddb625c12a5a52c0aff456b26cfd9_light.svg)
Gesucht ist nun 
sodass 
minimal ist. Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
d‘\left(z_B\right)&=&0 \\[5pt]
z_B&=& \frac{12}{5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d0787b603ca3799a4e49070877d1f434052a82ee45cb0e7f30ab4e1c00481e4b_light.svg)
Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:
sodass minimal ist. Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:
handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle von 
Da dies das einzige Extremum von 
ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von .
Der Punkt
hat für die kürzeste Route die Koordinaten 
2.6
Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen
aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von Kletterrouten sind also 
Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen 
wird ein Absturz erwartet.
Bei gewählten Kletterrouten werden also 
Abstürze erwartet.
2.7
Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen
Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie beträgt. Wir bezeichnen mit 
das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie handelt.
Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P_{\text{I}}(A)&=&1-P_{\text{I}}(\overline{A}) \\[5pt]
&=& 1- 0,54 \\[5pt]
&=&0,46 \\[5pt]
&=& 46\,\%
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0fe519e3ed74c74de6fbd8103bed6ec18c87663cefd7e0da252fab8fd138343d_light.svg)
erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie ein Absturz.
Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit 
Bekannt ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Kletterroute ohne Absturz unabhängig von der Kategorie der Route mit 
und die Wahrscheinlichkeit einer Route ohne Absturz bei einer Route der Kategorie mit 
Bekannt ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Kletterroute ohne Absturz unabhängig von der Kategorie der Route mit und die Wahrscheinlichkeit einer Route ohne Absturz bei einer Route der Kategorie mit
Abb. 4: Baumdiagramm
wie folgt zusammen:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+P(\text{II})\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) &\quad \scriptsize \mid\; P(\text{II}) = 1-P(\text{I}) \\[5pt]
P(\overline{A})&=& P(\text{I})\cdot P_{\text{I}}(\overline{A})+(1-P(\text{I}))\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt]
0,62&=& 0,68\cdot 0,54+0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt]
0,62&=& 0,3672 +0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;-0,3672 \\[5pt]
0,2528&=& 0,32\cdot P_{\text{II}}(\overline{A})&\quad \scriptsize \mid\;:0,32 \\[5pt]
0,79&=& P_{\text{II}}(\overline{A}) \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d3134db2f8685d21803b611ca2665b930dded05fdee70bb9e6fe0603d0c4dc1c_light.svg)
erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie kein Absturz.
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2.1
Geringste Höhe nachweisen
Die Höhe der beiden Eckpunkte, die nicht auf der -Achse liegen ist mit Metern angegeben. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse. Alle Punkte auf der -Achse haben die Koordinaten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
Der Eckpunkt des Überhangs, der auf der -Achse liegt hat die Koordinaten und damit eine Höhe von Metern über dem Hallenboden. Die anderen beiden Eckpunkte des dreieckigen Überhangs befinden sich Meter über dem Hallenboden. Damit ist Meter die geringste Höhe über dem Hallenboden.
2.2
Neigungswinkel bestimmen
Der Neigungswinkel des Überhangs gegenüber dem Hallenboden entspricht dem Neigungswinkel der Ebene gegenüber der --Ebene. Dessen Größe kann mithilfe eines Normalenvektors von , beispielsweise aus der Ebenengleichung , und einem Normalenvektor der --Ebene, beispielsweise wie folgt berechnet werden:
Der Überhang ist gegenüber dem Hallenboden um ca. geneigt.
2.3
Koordinaten ermitteln
Der Punkt ist der Schnittpunkt des Überhangs und des Seils, also der Schnittpunkt der Ebene und der Geraden , die senkrecht zum Überhang durch den Punkt verläuft.
Diese Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: Die Punkte auf der Geraden haben also die Koordinten
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
Einsetzen in die Geradengleichung von liefert den Ortsvektor von
Der Punkt hat die Koordinaten
Länge des Seils bestimmen
Die Länge des Seils kann über den Betrag des Verbindungsvektors berechnet werden:
berechnet werden:
Abb. 1: Berechnung mit dem CAS
und ist ca. lang.
2.4
Materialkosten berechnen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte berechnen
Der erste Eckpunkt des dreieckigen Überhangs hat die Koordinaten Die übrigen beiden befinden sich an den beiden Kletterwänden jeweils in einer Höhe von Metern über dem Hallenboden. Beide haben also die -Koordinate Einer von ihnen befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinaten der zweite befindet sich in der --Ebene und hat daher die -Koordinate
Beide Punkte müssen auf der Ebene liegen:
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten
Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten
2. Schritt: Flächeninhalt des Überhangs berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
kann mit dem Kreuzprodukt wie folgt berechnet werden:
Abb. 2: Berechnung mit dem CAS
groß.
3. Schritt: Kosten berechnen
Einschließlich Mehrwertsteuer betragen die Materialkosten für den Austausch des Überhangs ca.
2.5
Koordinaten berechnen
Der Punkt liegt auf der -Achse und hat demnach folgende Koordinaten:
Die Länge der Kletterroute kann in Abhängigkeit von dargestellt werden:
Gesucht ist nun sodass minimal ist. Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:
sodass minimal ist. Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:
handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle von Da dies das einzige Extremum von ist, ist dies die Stelle mit dem kleinsten Funktionswert von .
Der Punkt
hat für die kürzeste Route die Koordinaten
2.6
Anzahl der zu erwartenden Abstürze berechnen
aller gewählten Kletterrouten werden ohne Absturz bewältigt. Von Kletterrouten sind also Kletterrouten ohne Absturz erwartet. Bei den übrigen wird ein Absturz erwartet.
Bei gewählten Kletterrouten werden also Abstürze erwartet.
2.7
Wahrscheinlichkeit für einen Absturz berechnen
Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Kletterroute ohne Absturz bei einer Kletterroute der Kategorie beträgt. Wir bezeichnen mit das Ereignis, dass bei einer Kletterroute ein Absturz erfolgt, mit das Ereignis, dass es sich bei einer Kletterroute um eine Kletterroute der Kategorie handelt.
Alle Kletterrouten, die nicht ohne Absturz bewältigt werden, führen zu einem Absturz. Mit der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, bzw. dem Gegenereignis, folgt daher:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie ein Absturz.
Wahrscheinlichkeit für keinen Absturz berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit Bekannt ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Kletterroute ohne Absturz unabhängig von der Kategorie der Route mit und die Wahrscheinlichkeit einer Route ohne Absturz bei einer Route der Kategorie mit
Bekannt ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Kletterroute ohne Absturz unabhängig von der Kategorie der Route mit und die Wahrscheinlichkeit einer Route ohne Absturz bei einer Route der Kategorie mit
Abb. 4: Baumdiagramm
wie folgt zusammen:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von erfolgt bei einer Kletterroute der Kategorie kein Absturz.
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