Das Licht einer LED kann mit der objektiven Methode untersucht werden.

In dieser Aufgabe werden die Bewegungen eines Feder-Masse-Pendels (Material 2a) und eines horizontalen Federschwingers (Material 2b) betrachtet.

Hinweis: Reibungseffekte sollen nicht berücksichtigt werden.

In dieser Aufgabe geht es um Elektronen in elektrischen Feldern und beim Franck-Hertz-Versuch.

In dieser Aufgabe geht es um Magnetfelder im Inneren von stromdurchflossenen Spulen und deren Untersuchung mit einer Hallsonde.

Das Licht einer LED kann mithilfe der objektiven Methode untersucht werden.

Entstehung der Intensitätsmaxima und -minima

Die Entstehung der Intensitätsmaxima und -minima lässt sich mithilfe des Huygensschen Prinzips erklären: Jede der beiden Spaltmitten kann als Ausgangspunkt für eine neue kreisförmige Elementarwelle aufgefasst werden. Diese Wellen breiten sich hinter dem Spalt kreisförmig in der Ebene aus.

Auf dem Schirm überlagern sich diese beiden Wellen. An den Stellen auf dem Schirm, an denen jeweils Wellenberg auf Wellenberg oder Wellental auf Wellental der kreisförmigen Elementarwellen treffen, findet konstruktive Interferenz statt, was zu maximaler Helligkeit (Lichtflecken) führt. Hier beträgt der Gangunterschied beider Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge

In den Bereichen dazwischen, wo Wellenberg auf Wellental trifft, löschen sich die Wellen gegenseitig aus (destruktive Interferenz), wodurch Orte minimaler Helligkeit entstehen. Hier beträgt der Gangunterschied beider Elementarwellen ein Vielfaches der Wellenlänge plus die Hälfte der Wellenlänge

Herleitung der Beugungsbedingung

Da der Abstand zwischen Spalt und Schirm wesentlich größer als die Spaltbreite ist (), verlaufen die Strecken von Spalt 1 und 2 zu einem Punkt auf dem Schirm näherungsweise parallel. Dadurch ist das kleine Dreieck am Spalt rechtwinklig und der Beugungswinkel tritt sowohl im kleinen Dreieck am Spalt als auch im großen Dreieck zum Schirm auf.

Aus dem kleinen rechtwinkligen Dreieck am Spalt ergibt sich für den Gangunterschied

Für das te Maximum muss der Gangunterschied betragen. Durch Einsetzen folgt:

Im großen Dreieck zwischen Gitter und Schirm gilt für den Abstand des Maximums ter Ordnung zum nullten Maximum:

Wird dieser Ausdruck in die nach dem Gangunterschied umgestellte erste Gleichung eingesetzt, ergibt sich die gesuchte Beziehung:

Darstellung der Messwerte im -Diagramm

Ermittlung der Wellenlänge maximaler Intensität

Der höchste Spannungswert und damit die maximale Lichtintensität liegt bei einem Abstand von Da es sich um das Maximum 1. Ordnung handelt, ist Mit der Gitterkonstanten und dem Schirmabstand folgt durch Einsetzen in die Beugungsgleichung

Beurteilung der Herstellerangabe

Laut Material 1b betragen die Messunsicherheiten für den Abstand genau und für den Schirmabstand genau Daraus können die obere und die untere Grenze der im Rahmen der Messungenauigkeit liegenden Wellenlängen berechnet werden.

In der Beugungsgleichung steht im Zähler und im Nenner. Der maximal mögliche Wert für die Wellenlänge ergibt sich folglich bei maximalem () und minimalem ()

Der minimal mögliche Wert resultiert aus einem minimalen () und maximalem ()

Die tatsächliche Wellenlänge muss demnach im Intervall zwischen und liegen. Die Herstellerangabe von liegt in diesem Bereich und stimmt somit mit den experimentellen Daten überein.

Gemäß der für kleine Winkel umgestellten Näherungsgleichung wächst der Abstand mit wachsendem Das Maximum 2. Ordnung liegt folglich weiter vom Hauptmaximum entfernt als das Maximum 1. Ordnung.

Aufgrund dieses größeren Abstands legen die Lichtwellen einen längeren Weg bis zum Detektor zurück. Da sich die Energie der Welle räumlich auf eine größere Kugeloberfläche verteilt, nimmt die Intensität ab.

Das -Diagramm des Maximums 2. Ordnung entspricht somit der qualitativen Verteilungsform des Diagramms des 1. Maximums, allerdings fallen sämtliche Spannungsmesswerte (Intensitäten) geringer aus.

• Amplitude: Die Amplitude bezeichnet die maximale Auslenkung eines schwingenden Systems aus der Ruhelage. Beim gezeigten Feder-Masse-Pendel in Material 2a entspricht dies der maximalen Strecke nach oben oder unten, ausgehend von der Gleichgewichtslage.

• Periodendauer: Die Periodendauer beschreibt die benötigte Zeit für eine vollständige Schwingung. Nach Ablauf einer Periodendauer befindet sich das schwingende System also wieder im exakt selben Zustand wie zu Beginn (selbe Auslenkung und selbe Bewegungsrichtung). Wenn das Massestück in Material 2a zum Zeitpunkt losgelassen wird, ist somit eine Periodendauer die Zeit, nach der sich das Massestück nach einer vollständigen Schwingung erstmals wieder unten am Ausgangspunkt befindet.

• Frequenz: Die Frequenz gibt die Anzahl der durchlaufenen Schwingungsperioden pro Zeiteinheit an.

• Harmonische Schwingung: Eine Schwingung wird als harmonisch bezeichnet, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist und keine Energieverluste (etwa durch Reibung) auftreten. Beim Feder-Masse-Pendel ist diese Bedingung erfüllt, da die Feder dem Hooke'schen Gesetz folgt und Reibungseffekte laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden.

Planung des Experiments

Zur genauen Untersuchung der Abhängigkeit der Periodendauer von der Masse wird das Feder-Masse-Pendel zunächst mit einer bekannten Masse bestückt und nach unten ausgelenkt.

Nach dem Loslassen wird die Zeit für eine größere Anzahl an Schwingungen, beispielsweise bis Perioden, mit einer Stoppuhr gemessen. Durch Division der gemessenen Gesamtzeit durch die Anzahl der Schwingungen lässt sich die Periodendauer sehr präzise ermitteln, da auf diese Weise die Reaktionszeit beim Starten und Stoppen der Uhr minimiert wird. Dieser Messvorgang wird anschließend für verschiedene angehängte Massen wiederholt.

Ermittlung der Masse

Aus dem Zeit-Auslenkung-Diagramm (Material 2c) lässt sich die Periodendauer ablesen. Für vier vollständige Perioden vergehen exakt Die Periodendauer beträgt somit:

Mit der vorgegebenen Federkonstanten lässt sich die Masse über die Formel für die Periodendauer berechnen. Durch Quadrieren und Umstellen der Gleichung ergibt sich:

Skizzieren des Graphen bei veränderten Bedingungen

Wird die Masse vervierfacht, verdoppelt sich die Periodendauer, da gemäß der Gleichung aus der Aufgabenstellung der Zusammenhang gilt. Die neue Schwingung weist demnach eine Periodendauer von auf. Da das Pendel zudem nur um ausgelenkt wird, beträgt die neue Amplitude Daraus folgt:

Beschreibung der Energieumwandlungen

Während des Schwingungsvorgangs kommt es kontinuierlich zu einer Umwandlung zwischen Federspannenergie und kinetischer Energie (Bewegungsenergie). Reibungseffekte werden nicht berücksichtigt.

Wird der Wagen ausgelenkt, wird durch das Dehnen einer Feder und das Stauchen der anderen Feder Arbeit an den Federn verrichtet. Die aufgewendete Energie ist im System als Federspannenergie gespeichert.

Nach dem Loslassen beschleunigen die Rückstellkräfte den Wagen in Richtung der Ruhelage. Die Spannenergie wandelt sich zunehmend in kinetische Energie um.

Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Federspannenergie null, sie wurde vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie ist maximal und die gesamte Energie im System ist als kinetische Energie gespeichert.

Anschließend bewegt sich der Wagen über die Ruhelage hinaus, wodurch die Federn entgegengesetzt verformt werden. Die kinetische Energie nimmt ab und wird wieder in Spannenergie umgewandelt.

In den Umkehrpunkten kommt der Wagen kurzzeitig zur Ruhe, die kinetische Energie ist null und die Spannenergie ist wieder maximal.

Dieser Schwingungsvorgang wiederholt sich periodisch.

Ermittlung des funktionalen Zusammenhangs

Die Messreihe legt aufgrund der Verdopplung der Periodendauer bei Vervierfachung der Masse einen Wurzelzusammenhang nahe. Zur Überprüfung und zur Bestimmung der Konstanten wird für jedes Wertepaar der Quotient berechnet:

Die Quotienten sind annähernd konstant.

Die Mittelwertbildung der Quotienten liefert Der gesuchte funktionale Zusammenhang lautet folglich:

Hypothese zum Zusammenhang von und

Für die Periodendauer eines horizontalen Federschwingers gilt die Gleichung aus der Aufgabenstellung:

Wird der theoretische Vorfaktor mit dem zuvor experimentell ermittelten Wert gleichgesetzt, ergibt sich:

Die gegebene Federkonstante einer einzelnen im Versuch verwendeten Feder beträgt Der Vergleich zeigt, dass gilt.

Daraus resultiert folgende Hypothese: Bei einem horizontalen Federschwinger, der zwischen zwei identischen Federn eingespannt ist, addieren sich die Federkonstanten, sodass die effektive Gesamtfederkonstante der Summe der beiden Einzelfederkonstanten entspricht.

Erläuterung der verschiedenen Spannungen

• Die Heizspannung dient dem Betrieb der Glühkathode. Durch das Anlegen dieser Spannung fließt ein elektrischer Strom durch die Glühkathode, dadurch erhitzt sich diese so stark, dass Elektronen aus der Glühkathode freigesetzt werden (glühelektrischer Effekt).

• Zwischen der Glühkathode und der Lochanode ist die Beschleunigungsspannung angelegt, welche die freigesetzten Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt und ihnen kinetische Energie zuführt.

• Die Gitterspannung (oder Gegenspannung) ist entgegengesetzt zur Beschleunigungsspannung gepolt und bewirkt, dass die Elektronen im Raum zwischen Gitter und Auffangelektrode stark abgebremst werden.

Erläuterung der Elektronenbewegung bei bestimmten Spannungen

Ein Elektron wird mit beschleunigt, gelangt also mit einer kinetischen Energie von an das Gitter. Im anschließenden Raum wird es durch die betragsmäßig größere Gegenspannung von abgebremst. Folglich verliert das Elektron bereits vor Erreichen der Auffangelektrode seine gesamte kinetische Energie, kehrt um und gelangt somit nicht zur Elektrode.

Versuchsdurchführung

Die Beschleunigungsspannung wird kontinuierlich von auf etwa erhöht, während die resultierende Stromstärke im Gitterstromkreis gemessen wird. Daraus ergibt sich die abgebildete Kennlinie. Die Gitterspannung und die Heizspannung bleiben während der gesamten Messreihe konstant.

Deutung des Verlaufs des Graphen

Im Bereich von bis nimmt der Stromfluss kontinuierlich zu. Immer mehr Elektronen besitzen ausreichend Energie, um die Auffangelektrode trotz des Gegenfelds zu erreichen.

Bei erreicht der Strom ein lokales Maximum und bricht danach bis etwa ein. Dies lässt sich durch eine wachsende Anzahl an inelastischen Stößen mit den Gasatomen erklären. Die Elektronen geben dabei ihre kinetische Energie an die Atome ab und verfügen anschließend nicht mehr über ausreichend Restenergie, um das Gegenfeld überwinden zu können. Ein gewisser Basisstrom verbleibt, da einige Elektronen den Raum ohne Kollisionen passieren.

Zwischen etwa und steigt die Stromstärke wieder deutlich bis zu einem zweiten Maximum an. Aufgrund der hohen Beschleunigungsspannung wächst die Anzahl der Elektronen, die nach einem ersten inelastischen Stoß auf dem restlichen Weg wieder genug Energie aufnehmen, um die Anode zu erreichen.

Im Bereich von bis kommt es zu einem erneuten Stromstärkeeinbruch. Das lässt sich durch die wachsende Anzahl an Elektronen erklären, die zwei Mal inelastisch mit den Heliumatomen zusammenstoßen und dadurch nicht mehr genug Energie haben, um die Anode zu erreichen.

Hinweis: Es muss nicht erklärt werden, warum die erste Anregung erst bei und nicht schon bei erfolgt.

Auswertung der Messdaten

Dem Diagramm aus Material 3a b lässt sich entnehmen, dass sich die Einbrüche des Stromflusses nach einer Differenz von etwa wiederholen. Die Energie, die ein elektrisches Feld bei einer Spannung von an ein Elektron überträgt, beträgt exakt

Im Energieniveauschema des Heliumatoms (Material 3a c) entspricht dies annähernd der Energiedifferenz des Übergangs vom Grundzustand (Niveau A) in den ersten angeregten Zustand (Niveau B):

Das bestätigt die experimentelle Beobachtung, dass ein Elektron erstmals bei einer Beschleunigungsspannung von circa und ein weiteres Mal bei seine kinetische Energie von jeweils etwa durch einen inelastischen Stoß an ein Heliumatom abgibt und dieses dadurch anregt.

Das Leuchten entsteht, wenn Elektronen durch inelastische Stöße die Heliumatome anregen und auf höhere Energieniveaus heben. Das tritt bei höheren Beschleunigungsspannungen aufgrund der größeren zur Verfügung stehenden kinetischen Energie der Elektronen auf. Beim anschließenden Rückfall der Atome in energetisch tiefer liegende Zustände wird die Energiedifferenz der beiden jeweils beteiligten Energieniveaus in Form von Photonen emittiert.

Laut Aufgabenstellung besitzt violettes Licht Wellenlängen im Bereich Daraus lässt sich das Intervall der zugehörigen Photonenenergien über die Gleichung berechnen:

Im Energieniveauschema des Heliumatoms weisen die Übergänge von Niveau D nach Niveau B sowie von Niveau E nach Niveau C Energiedifferenzen in exakt dieser Größenordnung (zwischen und ) auf. Daher kommen diese beiden Übergänge als Ursache für die violett erscheinende Fluoreszenz infrage.

Entstehung der Hallspannung

Das Hallplättchen wird von einem elektrischen Strom durchflossen, wodurch sich Ladungsträger (Elektronen) senkrecht zum anliegenden Magnetfeld bewegen. Das Magnetfeld übt folglich eine Lorentzkraft auf die bewegten Elektronen aus, die diese senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung ablenkt. Durch diese Ablenkung sammeln sich Elektronen an einer Kante des Plättchens (Elektronenüberschuss, negative Ladung), während an der gegenüberliegenden Kante ein Elektronenmangel entsteht (positive Ladung).

Diese Ladungstrennung erzeugt ein elektrisches Feld im Inneren des Plättchens. Die daraus resultierende elektrische Feldkraft wirkt der Lorentzkraft entgegen. Sobald die elektrische Feldkraft betragsmäßig genauso groß ist wie die Lorentzkraft, stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein und die Elektronen bewegen sich wieder geradlinig durch den Leiter. Die im Gleichgewichtszustand zwischen den Rändern des Plättchens messbare Spannung entspricht der konstanten Hallspannung.

Herleitung der Gleichung für die Hallspannung

Im Zustand des Kräftegleichgewichts heben sich die Lorentzkraft und die elektrische Feldkraft gegenseitig auf:

Das elektrisch leitende Plättchen lässt sich in diesem Bereich näherungsweise als Plattenkondensator betrachten. Für die elektrische Feldstärke im homogenen Feld gilt der Zusammenhang Einsetzen in die Kräftegleichung liefert die gesuchte Formel:

Berechnung der Driftgeschwindigkeit

Aus der soeben hergeleiteten Gleichung lässt sich die Driftgeschwindigkeit durch Umstellen nach berechnen:

Mit den gegebenen Werten folgt durch Einsetzen:

Überprüfung der Gleichung für schlanke Spulen

Gemäß der Gleichung aus der Aufgabenstellung für schlanke Spulen ist die magnetische Flussdichte direkt proportional zur Stromstärke Der erwartete theoretische Proportionalitätsfaktor berechnet sich wie folgt:

Aus dem vorliegenden Messdiagramm (Material 3b c) lässt sich die tatsächliche Steigung der Ursprungsgeraden experimentell ablesen:

Mithilfe eines Steigungsdreiecks (beispielsweise bei ) ergibt sich:

Unter Berücksichtigung der relativen Messunsicherheit von muss der tatsächliche Wert der experimentell bestimmten Steigung im folgenden Intervall liegen:

Also etwa zwischen und

Da der theoretisch erwartete Wert von weit oberhalb dieses Intervalls liegt, gilt die Gleichung für schlanke Spulen bei der hier verwendeten Spule nicht.

Einfluss von Position und Richtung der Hallsonde

• Einfluss der Richtung: Die Hallsonde misst ausschließlich die Komponente des Magnetfelds, die senkrecht das Hallplättchen durchsetzt. Wird die Sonde am Messort gedreht, verändert sich der Eintrittswinkel der Feldlinien. Dadurch wird nur noch ein Bruchteil der tatsächlichen Flussdichte registriert. Bei einer vollständigen Drehung um verläuft das Magnetfeld parallel zum Plättchen und die gemessene Hallspannung sinkt auf null.

• Einfluss der Position: Im Inneren einer idealen, langen Spule herrscht ein weitgehend homogenes Magnetfeld. Eine reine Verschiebung der Sonde entlang der Längsachse im mittleren Spulenbereich beeinflusst den Messwert daher nicht. Wird die Sonde jedoch an die Ränder oder aus der Spule heraus bewegt, wird das Feld stark inhomogen und der Betrag der magnetischen Flussdichte nimmt deutlich ab, sodass die Sonde kleinere Werte als im Zentrum anzeigt.