Aufgabe II — Abklingprozesse und Massenbestimmung

In Aufgabe 1 wird das Absorptionsvermögen von Graufiltern untersucht. Dazu wird Licht einer weiß leuchtenden Leuchtdiode verwendet. Aufgabe 2 thematisiert die Altersbestimmung mit der Radiocarbon-Methode ( $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren). Aufgabe 3 behandelt den Wien-Filter und eine vereinfachte Versuchsanordnung zur Massenbestimmung geladener Teilchen.

Aufgabenstellung ohne Experimentieren

In dieser Aufgabe wird das Licht einer weiß leuchtenden Leuchtdiode (LED-weiß) untersucht. Weiterhin wird die Intensität dieses Lichts beim Durchgang durch Graufilter betrachtet.

1.1

Material 1a zeigt das Wellenlänge-Intensität-Spektrum einer LED-weiß. Ermittle mit Material 1a die Frequenz des Lichts der LED-weiß, bei der Strahlung der höchsten Intensität emittiert wird.

Erläutere die Funktion des Leuchtstoffs in der LED-weiß.

Hinweis: Gehe nicht auf die Prozesse in der Atomhülle ein.

Die Spannung an der LED-weiß wird von $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ auf $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ halbiert.

Begründe, dass jetzt das Spektrum der LED-weiß im Vergleich zu Material 1a einen Wellenlängenbereich nicht mehr beinhalten kann.

8 BE

1.2

Die Intensität des Lichts der LED-weiß wird mit einem Lichtsensor gemessen. Zwischen LED und Lichtsensor werden Graufilter in den Strahlengang gebracht (Material 1b). Die Messwerte sind in Material 1c dargestellt.

Stelle die am Lichtsensor gemessene Spannung Formula: U in Abhängigkeit von der Anzahl Formula: n der Graufilter grafisch dar.

Ermittle einen funktionalen Zusammenhang Formula: U = f(n), wobei du dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

Laut Angabe des Herstellers der Graufilter halbiert sich die Intensität des Lichts beim Durchgang durch je einen Graufilter. Nimm anhand der Messwerte in Material 1c begründet Stellung zur Angabe des Herstellers.

Berechne die Anzahl der Graufilter, die in dem Experiment verwendet werden müssen, sodass die gemessene Spannung höchstens $Formula: 0,1\,\%$ $Formula: 0,1\,\%$ der Anfangsspannung beträgt.

13 BE

1.3

Das Experiment aus Aufgabe 1.2 kann auch mit einer infrarot strahlenden LED ( $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} \ge 750\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} \ge 750\;\mathrm{nm}$ ) durchgeführt werden. Das Transmissionsspektrum eines Graufilters ist in Material 1d abgebildet.

Analysiere mit Material 1d, wie sich die Messwerte der Spannung im Vergleich zu den in Material 1c angegebenen Werten qualitativ verändern.

Hinweis: Gehe davon aus, dass die Anfangsspannung in beiden Experimenten identisch ist.

3 BE

In dieser Aufgabe wird die Radiocarbon-Methode ( $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren) zur Altersbestimmung von organischen Körpern thematisiert.

2.1

Erläutere anhand einer zu erstellenden Skizze das grundlegende Funktionsprinzip des Geiger-Müller-Zählrohrs als Messgerät für Zählraten.

Hinweis: Beschränke dich bei der Erläuterung auf die Vorgänge im Zählrohr.

6 BE

2.2

Atome des radioaktiven Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ entstehen ständig in der Atmosphäre. Dabei trifft jeweils ein Neutron auf einen Stickstoff-Atomkern ( $Formula: \text{N-}14$ $Formula: \text{N-}14$ ). Der entsprechende Ausschnitt aus der Nuklidkarte ist in Material 2a abgebildet.

Beschreibe den Prozess zur Bildung des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \text{C-}14.$ $Formula: \text{C-}14.$

Das Isotop $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ ist radioaktiv. Stelle den Zerfall des $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Isotops dar.

Hinweis: Gehe dabei auch auf die Vorgänge im Atomkern ein.

6 BE

2.3

Das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren ist geeignet zur Bestimmung der Zeit, die seit dem Tod eines Organismus verstrichen ist.

Erläutere das Prinzip des $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahrens.

Material 2b zeigt Informationen zur Minoischen Eruption des Vulkans Santorin in Griechenland.

Ermittle mit den Angaben aus Material 2b den Zeitpunkt der Minoischen Eruption.

9 BE

2.4

Das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren ist nur für die Datierung von Zeiträumen zwischen Formula: 300 und Formula: 60 .000 Jahren sinnvoll einsetzbar.

Stelle eine begründete Hypothese auf, weshalb das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren bei Altersbestimmungen von mehr als Formula: 60. 000 Jahren ungenaue Werte liefert.

3 BE

In dieser Aufgabe werden der Wien-Filter und ein Massenspektrometer betrachtet. Grundprinzip der Massenspektrometrie ist es, aus chemischen Stoffen Ionen zu erzeugen, diese nach Masse und Ladung zu trennen und sie qualitativ und quantitativ zu erfassen.

3.1

Alpha-Teilchen werden jeweils rechtwinklig zu den Feldlinien in ein elektrisches Feld bzw. in ein magnetisches Feld geschossen (schematische Skizzen in Material 3a).

Erläutere den prinzipiellen Verlauf der beiden Bahnkurven und skizziere diese in Material 3a.

5 BE

3.2

Das Material 3b zeigt einen Wien-Filter (Geschwindigkeitsfilter). Geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit durchlaufen diesen Filter geradlinig und passieren die Blende 2.

Erläutere, dass nur Alpha-Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit den Wien-Filter geradlinig durchlaufen können.

Für die Geschwindigkeit Formula: v dieser Teilchen gilt die Gleichung:

$Formula: v = \dfrac{E}{B}$ $Formula: v = \dfrac{E}{B}$

( $Formula: E\text{:}$ $Formula: E\text{:}$ elektrische Feldstärke; $Formula: B\text{:}$ $Formula: B\text{:}$ magnetische Flussdichte)

Bestätige, dass Alpha-Teilchen mit der Geschwindigkeit $Formula: v = 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ den Wien-Filter in Material 3b geradlinig durchlaufen.

Begründe, dass Alpha-Teilchen mit einer größeren Geschwindigkeit im Wien-Filter (Material 3b) nach oben abgelenkt werden.

9 BE

3.3

Ein Massenspektrometer dient dazu, die Massen von geladenen Teilchen zu bestimmen. Einen schematischen Aufbau findest du in Material 3c. Diesem Aufbau ist ein Wien-Filter vorgeschaltet. Die Alpha-Teilchen mit $Formula: v = 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ aus Aufgabe 3.2 treten durch die Lochblende in das Magnetfeld.

Leite die Gleichung

$Formula: r = \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}$ $Formula: r = \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}$

für den Radius Formula: r der Kreisbahn hinter Blende 2 begründet her ( $Formula: m\text{:}$ $Formula: m\text{:}$ Masse des Teilchens; $Formula: q\text{:}$ $Formula: q\text{:}$ Ladung des Teilchens).

Berechne den Abstand vom Loch der Blende 2 zum Auftreffpunkt der Alpha-Teilchen auf dem Detektor.

6 BE

3.4

Statt der Alpha-Teilchen werden jetzt unbekannte, positiv geladene Teilchen gleicher Geschwindigkeit in das Massenspektrometer eingebracht. Diese Teilchen werden näherungsweise in halbem Abstand zwischen Loch der Blende 2 und Auftreffpunkt der Alpha-Teilchen detektiert.

Stelle eine begründete Hypothese auf, um welche Teilchen es sich dabei handelt.

4 BE

Anhang

Es wurde ein alternativer Aufgabenvorschlag mit Experimentieren angeboten. In diesem Anhang findest du diejenigen Teilaufgaben aus diesem Vorschlag, die vom Aufgabenvorschlag ohne Experimentieren abweichen. Die Teilaufgaben 2 und 3 stimmen überein, außerdem entspricht Teilaufgabe 1.4 mit Experimentieren Teilaufgabe 1.3 ohne Experimentieren.

Aufgabenstellung mit Experimentieren - Optik

In dieser Aufgabe wird das Licht einer weiß leuchtenden Leuchtdiode (LED-weiß) untersucht. Weiterhin wird die Intensität dieses Lichts beim Durchgang durch Graufilter experimentell betrachtet.

1.1

Material 1a zeigt das Wellenlänge-Intensität-Spektrum einer LED-weiß. Ermittle mit Material 1a die Frequenz des Lichts der LED-weiß, bei der Strahlung der höchsten Intensität emittiert wird.

2 BE

1.2

Ziel des durchzuführenden Experiments ist es, einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Graufilter und der Intensität des durchgehenden Lichts zu ermitteln. Führe unter Dokumentation der Messergebnisse das in Material 1b beschriebene Experiment durch.

Stelle die am Lichtsensor gemessene Spannung $Formula: U_{\mathrm{L}}$ $Formula: U_{\mathrm{L}}$ in Abhängigkeit von der Anzahl Formula: n der Graufilter grafisch dar.

Ermittle einen funktionalen Zusammenhang $Formula: U_{\mathrm{L}} = f(n)$ $Formula: U_{\mathrm{L}} = f(n)$ , wobei du dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

Laut Angabe des Herstellers der Graufilter halbiert sich die Intensität des Lichts beim Durchgang durch je einen Graufilter. Nimm anhand deiner Messwerte begründet Stellung zur Angabe des Herstellers.

16 BE

1.3

Die Spannung an der LED-weiß aus dem Experiment in Material 1b wird auf $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ halbiert.

Begründe, dass jetzt das Spektrum der LED-weiß im Vergleich zu Material 1a einen Wellenlängenbereich nicht mehr beinhalten kann.

3 BE

1.4

Analysiere mit Material 1d, wie sich die Messwerte der Spannung im Vergleich zu den in Material 1c angegebenen Werten qualitativ verändern.

Hinweis: Gehe davon aus, dass die Anfangsspannung in beiden Experimenten identisch ist.

3 BE

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Material 1a: Wellenlänge-Intensität-Spektrum der LED-weiß

Diagramm: relative spektrale Intensität nach Wellenlänge, scharfe blaue Spitze um 450 nm und breitere grün-gelbe bis rote Kurve.

Auf der Hochachse ist die relative Intensität angegeben. Die LED-weiß wird mit einer Spannung von $Formula: U = 5,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 5,0\;\mathrm{V}$ betrieben.

Material 1b: Schematische Abbildung und Hinweise zum Versuch 1.2

Das Licht der Leuchtdiode trifft auf den Lichtsensor. Am Voltmeter ist eine Spannung Formula: U messbar, die als Maß für die Lichtintensität angesehen werden kann. Werden nacheinander zwischen Leuchtdiode und Lichtsensor mehrere identische Graufilter geschoben, so sinkt die Lichtintensität und somit die gemessene Spannung.

Schematische Darstellung: LED links, Filter in der Mitte, Lichtsensor und Voltmeter rechts.

Material 1c: Messwerte zum Experiment aus Material 1b

Anzahl $Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$ der Graufilter	Spannung $Formula: \boldsymbol{U}$ $Formula: \boldsymbol{U}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$

Material 1d: Transmissionsspektrum eines Graufilters

Diagramm: Prozent vs. Wellenlänge (nm), Kurve bei ~50% von 400–700 nm, deutlicher Anstieg auf ~80–90% oberhalb 700 nm.

Dargestellt ist die relative Lichtintensität nach dem Durchleuchten eines Graufilters in Abhängigkeit von der Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$ Die Lichtintensität ohne Graufilter entspricht $Formula: 100\,\%.$ $Formula: 100\,\%.$

Material 2a: Ausschnitt aus der Nuklidkarte


$Formula: \text{O-}14$ $Formula: \text{O-}14$ $Formula: 71\;\mathrm{s}$ $Formula: 71\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^+$ $Formula: \beta^+$	$Formula: \text{O-}15$ $Formula: \text{O-}15$ $Formula: 2\;\mathrm{min}$ $Formula: 2\;\mathrm{min}$ $Formula: \beta^+$ $Formula: \beta^+$	$Formula: \text{O-}16$ $Formula: \text{O-}16$ stabil	$Formula: \text{O-}17$ $Formula: \text{O-}17$ stabil
$Formula: \text{N-}13$ $Formula: \text{N-}13$ $Formula: 10\;\mathrm{min}$ $Formula: 10\;\mathrm{min}$	$Formula: \text{N-}14$ $Formula: \text{N-}14$ stabil	$Formula: \text{N-}15$ $Formula: \text{N-}15$ stabil	$Formula: \text{N-}16$ $Formula: \text{N-}16$ $Formula: 7\;\mathrm{s}$ $Formula: 7\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$
$Formula: \text{C-}12$ $Formula: \text{C-}12$ stabil	$Formula: \text{C-}13$ $Formula: \text{C-}13$ stabil	$Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ $Formula: 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: 5730\;\mathrm{a}$	$Formula: \text{C-}15$ $Formula: \text{C-}15$ $Formula: 2\;\mathrm{s}$ $Formula: 2\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$
$Formula: \text{B-}11$ $Formula: \text{B-}11$ stabil	$Formula: \text{B-}12$ $Formula: \text{B-}12$ $Formula: 20\;\mathrm{ms}$ $Formula: 20\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$	$Formula: \text{B-}13$ $Formula: \text{B-}13$ $Formula: 17\;\mathrm{ms}$ $Formula: 17\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$	$Formula: \text{B-}14$ $Formula: \text{B-}14$ $Formula: 14\;\mathrm{ms}$ $Formula: 14\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$

$Formula: Z\text{:}$ $Formula: Z\text{:}$ Protonenzahl (vertikal); $Formula: N\text{:}$ $Formula: N\text{:}$ Neutronenzahl (horizontal)

Material 2b: Material zur Radiocarbon-Methode

Eine Eruption des griechischen Vulkans Santorin war mutmaßlich verantwortlich für den Untergang der Minoischen Kultur auf der benachbarten Insel Kreta. In den Ascheschichten der Eruption wurden Äste von Olivenbäumen (rechts) gefunden. Diese Äste wurden mit dem $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren untersucht. Die Halbwertszeit des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ beträgt Formula: 5730 Jahre. Die Zählrate einer Probe des Olivenastes beträgt Formula: 1,94 pro Sekunde. Eine gleich aufgearbeitete Probe eines gerade gefällten Olivenbaums weist die Zählrate von Formula: 3,00 pro Sekunde auf. Bei beiden Zählraten wurde die Nullrate bereits abgezogen.

Hohlraum mit bröseligen Erdklumpen, einem verwitterten Holzstück und gelbem Klappmaß

Quelle: Zugriff am 05.06.2026

Material 3a: Schematische Darstellungen zur Ablenkung von Alpha-Teilchen

Alpha-Teilchen-Pfeil nach rechts, oben + Ladung, unten − Ladung an horizontalen Leitern

Alpha-Teilchen mit Pfeil nach rechts und vier Kreisen mit Kreuz

Die Ablenkung der Alpha-Teilchen erfolgt im homogenen elektrischen Feld (links) bzw. im homogenen Magnetfeld (rechts). Die Magnetfeldlinien verlaufen in die Papierebene hinein. Die Versuchsaufbauten befinden sich jeweils im Vakuum.

Material 3b: Schematische Darstellung eines Wien-Filters

Der gesamte Aufbau befindet sich im Vakuum. Die Feldlinien des homogenen Magnetfelds verlaufen in die Papierebene hinein. Alpha-Teilchen werden von der Teilchenquelle ausgesandt. Die magnetische Flussdichte beträgt im gesamten Aufbau $Formula: B = 125\;\mathrm{mT}.$ $Formula: B = 125\;\mathrm{mT}.$ An die Kondensatorplatten im Wien-Filter wird eine Ablenkspannung von $Formula: U_\text{A} = 1200\;\mathrm{V}$ $Formula: U_\text{A} = 1200\;\mathrm{V}$ angelegt. Der Plattenabstand beträgt $Formula: d = 2,0\;\mathrm{cm}.$ $Formula: d = 2,0\;\mathrm{cm}.$

Schema: Alpha-Teilchen von links durch zwei Blenden, innen vier kreuzförmige Detektoren, obere Plus- und untere Minus-Anschlüsse

Material 3c: Prinzipieller Aufbau eines Massenspektrometers

Die Alpha-Teilchen mit der in 3.3 angegebenen Geschwindigkeit treten von links aus dem Wien-Filter in das Massenspektrometer. Die Masse der Alpha-Teilchen beträgt $Formula: m_\alpha = 6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}.$ $Formula: m_\alpha = 6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg}.$ Das Magnetfeld ist im gesamten Massenspektrometer homogen, die magnetische Flussdichte beträgt $Formula: B = 125\;\mathrm{mT}.$ $Formula: B = 125\;\mathrm{mT}.$ Auch in diesem Aufbau herrscht ein Vakuum.

Schematische Darstellung: Alpha-Teilchen treffen Blende/Detektor, rechts markierte Kreise, gestrichelte Kurve.

Anhang

Es wurde ein alternativer Aufgabenvorschlag mit Experimentieren angeboten. In diesem Anhang findest du die dafür benötigten Materialien.

Material 1b: Hinweise zur Durchführung des Experiments

Verwende die LED-weiß, den Lichtsensor und ein Voltmeter.
Betreibe die LED-weiß mit einer Spannung von maximal $Formula: 5\;\mathrm{V}.$ $Formula: 5\;\mathrm{V}.$
Stelle den Lichtsensor in den Strahlengang der LED und messe die Spannung $Formula: U_{\mathrm{L}}$ $Formula: U_{\mathrm{L}}$ am Lichtsensor. Dieser darf nicht übersteuert sein.
Berücksichtige das Umgebungslicht bei deinen Messungen.
Halte erst einen Graufilter zwischen LED und Lichtsensor, erhöhe dann deren Anzahl bis auf

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1.1

Ermittlung der Frequenz

Aus dem gegebenen Intensitätsspektrum (Material 1a) lässt sich entnehmen, dass sich das absolute Intensitätsmaximum bei einer Wellenlänge von etwa $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ befindet. Die dazugehörige Frequenz Formula: f ergibt sich über die Lichtgeschwindigkeit $Formula: c\text{:}$ $Formula: c\text{:}$

$Formula: f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3,00 \cdot 10^8\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} = 6,82 \cdot 10^{14}\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3,00 \cdot 10^8\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} = 6,82 \cdot 10^{14}\;\mathrm{Hz}$

Funktion des Leuchtstoffs

Die Leuchtdiode selbst erzeugt primär sehr energiereiche und kurzwellige Strahlung, die für das menschliche Auge nicht sichtbar ist (eine Betriebsspannung von $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ führt näherungsweise zu einer Photonenenergie von $Formula: 5\;\mathrm{eV}$ $Formula: 5\;\mathrm{eV}$ ).

Die Aufgabe der Leuchtstoffschicht ist es, diese hohe Energie zu absorbieren und durch Fluoreszenz in mehreren, kleineren Energieportionen wieder abzugeben. Dadurch entstehen Photonen mit geringerer Frequenz und entsprechend größerer Wellenlänge, die nun im sichtbaren Bereich des Spektrums liegen. Durch die Farbmischung all dieser abgestrahlten Einzelfarben entsteht letztlich der visuelle Farbeindruck Weiß.

Begründung für das Fehlen eines Wellenlängenbereichs bei $Formula: \boldsymbol{2,5\;\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{2,5\;\mathrm{V}}$

Wird die Betriebsspannung auf $Formula: U = 2,5\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 2,5\;\mathrm{V}$ halbiert, besitzen die emittierten Photonen maximal die Energie $Formula: E = 2,5\;\mathrm{eV}.$ $Formula: E = 2,5\;\mathrm{eV}.$ Daraus ergibt sich folgende minimale Grenzwellenlänge:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\mathrm{min}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E} \\[5pt] & = & \dfrac{6,63 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2,5 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}} \\[5pt] & = & 497 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 497\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\mathrm{min}} & = & \dfrac{h \cdot c}{E} \\[5pt] & = & \dfrac{6,63 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{Js} \cdot 3,00 \cdot 10^8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2,5 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{J}} \\[5pt] & = & 497 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 497\;\mathrm{nm} \end{array}$

Die LED kann somit keine Photonen mehr erzeugen, die eine kürzere Wellenlänge als diese $Formula: 497\;\mathrm{nm}$ $Formula: 497\;\mathrm{nm}$ aufweisen. Dadurch fehlt der gesamte Spektralbereich unterhalb dieser Grenze nun vollständig im Ausgangslicht.

1.2

Grafische Darstellung der Messwerte

Diagramm: Punkte zeigen Spannung U (V) gegen n, abfallend von ≈2,7 V bei n=0 zu ≈0 V bei n=7.

Ermittlung des funktionalen Zusammenhangs

Der Verlauf der Messreihe legt einen exponentiellen oder einen umgekehrt proportionalen Ansatz nahe. Da es sich um einen Abschwächungsvorgang handelt, bietet sich eine exponentielle Regression der Messwerte an, diese liefert folgende exponentielle Funktion:

$Formula: U(n) = 2,60\;\mathrm{V} \cdot \text{e}^{-0,629 \cdot n}$ $Formula: U(n) = 2,60\;\mathrm{V} \cdot \text{e}^{-0,629 \cdot n}$

Beurteilung der Herstellerangabe

Der Hersteller behauptet, dass jeder Filter die Intensität um exakt $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ reduziert. Zur experimentellen Überprüfung wird der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Spannungswerten ( $Formula: \tfrac{U_{{n}}}{U_{{n-1}}}$ $Formula: \tfrac{U_{{n}}}{U_{{n-1}}}$ ) für die gesamte Messreihe gebildet.

Anzahl $Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$ der Graufilter	Spannung $Formula: \boldsymbol{U}$ $Formula: \boldsymbol{U}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$	Faktor $Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_{{n}}}{U_{{n-1}}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_{{n}}}{U_{{n-1}}}}$

Der Durchschnitt dieser Quotienten liefert einen mittleren Transmissionsfaktor von rund Formula: 0,53, was bedeutet, dass etwa $Formula: 53\,\%$ $Formula: 53\,\%$ der Strahlung durchgelassen werden. Die Herstellerangabe von $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ ist folglich als plausibler und alltagstauglicher Richtwert einzustufen.

Berechnung der Mindestanzahl an Graufiltern

Gefordert ist eine Abschwächung auf maximal $Formula: 0,1\,\%$ $Formula: 0,1\,\%$ der Ausgangsintensität. Unter Verwendung des experimentell bestätigten Transmissionsfaktors von Formula: 0,53 pro Filter ergibt sich folgender Ansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}0,53^n & \leq & 0,001 &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]n \cdot \ln(0,53) & \leq & \ln(0,001) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\ln(0,53)} \\[5pt]n & \geq & \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,53)} \\[5pt]& \approx & 10,88\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}0,53^n & \leq & 0,001 &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]n \cdot \ln(0,53) & \leq & \ln(0,001) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\ln(0,53)} \\[5pt]n & \geq & \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,53)} \\[5pt]& \approx & 10,88\end{array}$

Da nur ganze Filter verwendet werden können, müssen somit mindestens Formula: 11 Graufilter verwendet werden.

1.3

Analyse der Messwerte bei Infrarotlicht

Das in Material 1d abgebildete Transmissionsspektrum belegt eindeutig, dass der verwendete Graufilter im Infrarotbereich (ab ca. $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ ) eine wesentlich höhere Transmissionsrate von etwa $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ aufweist. Folglich passiert ein deutlich größerer Anteil der Strahlungsenergie ungehindert das Filtermaterial.

Die am Sensor gemessene Spannung sinkt bei Einsatz einer IR-LED zwar prinzipiell weiterhin exponentiell, jedoch verläuft die Spannungskurve im direkten Vergleich deutlich flacher.

Da pro Filterebene nur noch knapp $Formula: 10\,\%$ $Formula: 10\,\%$ der Intensität absorbiert werden, wird eine weitaus größere Anzahl an Graufiltern benötigt, um vergleichbare Abschwächungswerte wie im vorangegangenen Experiment mit sichtbarem Licht zu erzielen.

2.1

Die zu erfassende ionisierende Strahlung tritt durch das dünne Glimmerfenster in das Innere des gasgefüllten Zählrohrs ein, wo die Strahlung die Gasatome ionisiert.

Durch die angelegte Zählrohrspannung zwischen dem Gehäuse (Minuspol) und dem Zähldraht (Pluspol) in der Mitte werden die freigesetzten Elektronen stark in Richtung des positiven Zähldrahts beschleunigt.

Auf dem Weg dorthin wird ihnen so viel kinetische Energie zugeführt, dass sie durch fortlaufende Kollisionen weitere Gasatome ionisieren. Diese Sekundärionisation führt zu einer Elektronenlawine, die zu einem messbaren Stromfluss an der Zählelektronik führt.

Schematisches Diagramm eines Zählrohrs mit Zähldraht, Gehäuse, Gasfüllung, Glimmerfenster und Zählelektronik

2.2

Bildung des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$

In den oberen Schichten der Atmosphäre trifft ein durch die kosmische Strahlung freigesetztes Neutron auf einen stabilen Stickstoff-Atomkern $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ und wird von diesem absorbiert. Da sich die Massenzahl bei diesem Prozess zunächst nicht ändert, der Kern jedoch energetisch instabil wird, spaltet er ein Proton ab. Durch den Verlust dieses Protons sinkt die Kernladungszahl von Formula: 7 auf Formula: 6. Aus dem ursprünglichen Stickstoffkern ist somit ein radioaktiver Kohlenstoffkern $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ entstanden, während die Massenzahl bei Formula: 14 verbleibt.

Zerfall des Isotops $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$

Der $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Kern ist instabil und zerfällt in einem $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Zerfall. Dabei wandelt sich ein im Kern gebundenes Neutron in ein Proton um, wobei ein Elektron (das $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchen) ausgesendet wird. Aufgrund des neu entstandenen Protons erhöht sich die Kernladungszahl um eins von Formula: 6 auf Formula: 7. Dadurch wandelt sich der Kern wieder in den stabilen Stickstoffkern $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ um, wobei die Massenzahl von Formula: 14 während des gesamten Vorgangs gleich bleibt.

2.3

Prinzip des $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ -Verfahrens

Durch das permanente Wechselspiel aus kosmischer Neubildung und radioaktivem Zerfall stellt sich in der Erdatmosphäre ein konstantes Gleichgewicht des $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Anteils ein. Lebende Organismen nehmen den Kohlenstoff fortlaufend über die Biosphäre auf, wodurch das Isotopenverhältnis in lebenden Organismen dem der Atmosphäre entspricht.

Sobald der Organismus stirbt, stoppt dieser Zufuhrprozess. Dadurch nimmt die Menge des eingelagerten $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ ab dem Todeszeitpunkt durch radioaktiven Zerfall exponentiell ab. Ein Vergleich der verbleibenden $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Konzentration mit der Aktivität eines vergleichbaren, lebenden Organismus ermöglicht über das Zerfallsgesetz die Berechnung der Zeit, die seit dem Absterben verstrichen ist.

Die Methode setzt allerdings voraus, dass die historische $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Konzentration der heutigen entsprach.

Altersbestimmung der Minoischen Eruption

Es gilt das Zerfallsgesetz:

$Formula: A(t) = A_{0} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: A(t) = A_{0} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$

Aus Material 2b sind folgende Werte gegeben:

Aktuelle Zählrate des fossilen Olivenastes: $Formula: A(t) = 1,94\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: A(t) = 1,94\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$
Zählrate der lebenden Referenzprobe: $Formula: A_{0} = 3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: A_{0} = 3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$
Halbwertszeit von $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}\text{:}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}\text{:}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}1,94\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} & = & 3,00\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}} \\[5pt]0,647 & = & 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]\ln(0,647) & = & \dfrac{t}{5730\;\mathrm{a}} \cdot \ln(0,5) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{5730\;\mathrm{a}}{\ln(0,5)} \\[5pt]t & = & \dfrac{\ln(0,647)}{\ln(0,5)} \cdot 5730\;\mathrm{a} \\[5pt]& \approx & 3,60 \cdot 10^3\;\mathrm{a}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}1,94\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} & = & 3,00\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}} \\[5pt]0,647 & = & 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]\ln(0,647) & = & \dfrac{t}{5730\;\mathrm{a}} \cdot \ln(0,5) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{5730\;\mathrm{a}}{\ln(0,5)} \\[5pt]t & = & \dfrac{\ln(0,647)}{\ln(0,5)} \cdot 5730\;\mathrm{a} \\[5pt]& \approx & 3,60 \cdot 10^3\;\mathrm{a}\end{array}$

Die Minoische Eruption ereignete sich demnach etwa $Formula: 3600\;\mathrm{a}$ $Formula: 3600\;\mathrm{a}$ vor der Messung der Proben.

2.4

Hypothese zur Grenze des Verfahrens

Überschreitet das Alter einer organischen Probe den Zeitraum von $Formula: 60000\;\mathrm{a},$ $Formula: 60000\;\mathrm{a},$ ist die Menge der verbliebenen $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Atome so gering, dass die messbare Zählrate statistisch nicht mehr verlässlich von der natürlichen Hintergrundstrahlung (Nullrate) differenziert werden kann.

Begründung der Hypothese

Bei einem Alter von $Formula: 60000\;\mathrm{a}$ $Formula: 60000\;\mathrm{a}$ hat die Probe bereits mehr als zehn vollständige Halbwertszeiten ( $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ ) durchlaufen. Nach zehn Halbwertszeiten ist die Aktivität auf den Bruchteil $Formula: 0,5^{10} \approx 1,0 \cdot 10^{-3}$ $Formula: 0,5^{10} \approx 1,0 \cdot 10^{-3}$ abgesunken. Da somit nur noch weniger als ein Tausendstel der ursprünglichen Radioaktivität vorhanden ist, führt die extrem geringe Anzahl an Zerfallsereignissen zu einer massiven statistischen Messunsicherheit, die keine präzisen Datierungen mehr erlaubt.

3.1

Ablenkungsverhalten im elektrischen Feld: Das Teilchen bewegt sich im homogenen elektrischen Feld auf einer Parabelbahn. Da die wirkende elektrische Feldkraft sowohl bezüglich ihres Betrags als auch ihrer Richtung absolut konstant bleibt, erfährt das Alpha-Teilchen quer zu seiner ursprünglichen Flugrichtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Ablenkungsverhalten im magnetischen Feld: Im homogenen magnetischen Feld bewegt sich das Teilchen auf einem Kreisbahnausschnitt. Die Lorentzkraft wirkt nach der Rechte-Hand-Regel zu jedem Zeitpunkt exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens. Da sie somit ausschließlich die Bewegungsrichtung verändert, den Betrag der Geschwindigkeit jedoch vollkommen unverändert lässt, wirkt sie als Zentripetalkraft.

Schematische Darstellung: Alpha-Teilchen werden im elektrischen Feld von Plus nach Minus abgelenkt.

Schema: Alpha-Teilchen-Pfeil links, gebogene Flugbahn und vier markierte Streuzentren rechts.

3.2

Erklärung der Geschwindigkeitsfilterung

Die Alpha-Teilchen können den Wien-Filter nur dann geradlinig und ohne Richtungsänderung passieren, wenn die nach unten gerichtete elektrische Feldkraft und die nach oben wirkende magnetische Lorentzkraft sich exakt ausgleichen. Die resultierende Gesamtkraft muss null betragen.

Über den Kraftansatz ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}} \\[5pt]q \cdot E & = & q \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{q} \\[5pt]E & = & v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B} \\[5pt]v & = & \dfrac{E}{B}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{el}} & = & F_{\mathrm{L}} \\[5pt]q \cdot E & = & q \cdot v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{q} \\[5pt]E & = & v \cdot B &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{B} \\[5pt]v & = & \dfrac{E}{B}\end{array}$

Rechnerische Bestätigung der Geschwindigkeit

Mithilfe der Kondensatorspannung $Formula: U_{\mathrm{A}} = 1200\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{A}} = 1200\;\mathrm{V}$ und dem Plattenabstand $Formula: d = 2,0\;\mathrm{cm} = 0,020\;\mathrm{m}$ $Formula: d = 2,0\;\mathrm{cm} = 0,020\;\mathrm{m}$ wird zuerst die elektrische Feldstärke Formula: E bestimmt:

$Formula: E = \frac{U_{\mathrm{A}}}{d} = \frac{1200\;\mathrm{V}}{0,020\;\mathrm{m}} = 60000\;\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$ $Formula: E = \frac{U_{\mathrm{A}}}{d} = \frac{1200\;\mathrm{V}}{0,020\;\mathrm{m}} = 60000\;\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}$

Einsetzen dieses Wertes und der magnetischen Flussdichte $Formula: B = 125\;\mathrm{mT} = 0,125\;\mathrm{T}$ $Formula: B = 125\;\mathrm{mT} = 0,125\;\mathrm{T}$ in die gerade hergeleitete Gleichung bestätigt den Wert:

$Formula: v = \frac{60000\;\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}}{0,125\;\mathrm{T}} = 480000\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 480\;\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \frac{60000\;\tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}}{0,125\;\mathrm{T}} = 480000\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 480\;\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$

Begründung der Ablenkung bei höherer Geschwindigkeit

Mithilfe der Rechte-Hand-Regel für die positiv geladenen Alpha-Teilchen ergibt sich, dass die Lorentzkraft nach oben wirkt. Da bei einer Geschwindigkeit von mehr als $Formula: 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 480\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ die nach oben gerichtete Lorentzkraft die elektrische Feldkraft überwiegt, werden die Teilchen nach oben abgelenkt.

3.3

Herleitung der Gleichung

Nach dem Passieren der Blende 2 wirkt im Spektrometer nur noch das homogene Magnetfeld. Die Lorentzkraft zwingt die Teilchen auf eine Kreisbahn und wirkt als Zentripetalkraft, daraus ergibt sich der Kraftansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{Z}} \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{v} \\[5pt]q \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{q \cdot B} \\[5pt]r & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{Z}} \\[5pt]q \cdot v \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{v} \\[5pt]q \cdot B & = & \dfrac{m \cdot v}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{q \cdot B} \\[5pt]r & = & \dfrac{m \cdot v}{q \cdot B}\end{array}$

Berechnung des Abstands zum Auftreffpunkt

Der gesuchte Abstand vom Austrittsloch der Blende 2 bis zum Punkt des Aufpralls auf dem Detektor entspricht exakt dem Durchmesser der kreisförmigen Flugbahn ( $Formula: a = 2 \cdot r$ $Formula: a = 2 \cdot r$ ).

Durch Einsetzen der Werte in die in der Aufgabenstellung gegebenen Gleichung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}a & = & 2 \cdot \dfrac{6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 480000\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 0,125\;\mathrm{T}} \\[5pt] & = & 0,15936\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 15,9\;\mathrm{cm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}a & = & 2 \cdot \dfrac{6,64 \cdot 10^{-27}\;\mathrm{kg} \cdot 480000\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 0,125\;\mathrm{T}} \\[5pt] & = & 0,15936\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 15,9\;\mathrm{cm}\end{array}$

Der Abstand somit rund $Formula: 15,9\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 15,9\;\mathrm{cm}.$

3.4

Hypothese zur Teilchenart

Bei den unbekannten, einfach positiv geladenen Teilchen handelt es sich um Protonen.

Begründung der Hypothese

Die neuen Teilchen schlagen im halben Abstand der Alpha-Teilchen auf dem Schirm ein. Da sowohl die Geschwindigkeit Formula: v als auch das Magnetfeld Formula: B im Versuchsaufbau vollkommen identisch gehalten werden, muss sich gemäß der hergeleiteten Beziehung $Formula: r = \tfrac{m \cdot v}{q \cdot B}$ $Formula: r = \tfrac{m \cdot v}{q \cdot B}$ das Verhältnis von Masse zu Ladung halbiert haben:

$Formula: \frac{m_{\mathrm{neu}}}{q_{\mathrm{neu}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}}$ $Formula: \frac{m_{\mathrm{neu}}}{q_{\mathrm{neu}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}}$

Ein Alpha-Teilchen (Heliumkern) besitzt eine Masse von rund $Formula: 4\;\mathrm{u}$ $Formula: 4\;\mathrm{u}$ und trägt eine zweifache positive Elementarladung $Formula: 2 \cdot e,$ $Formula: 2 \cdot e,$ woraus das Verhältnis $Formula: \tfrac{4}{2} = 2$ $Formula: \tfrac{4}{2} = 2$ resultiert. Das gesuchte Teilchen muss folglich ein Verhältnis von Formula: 1 aufweisen. Das Proton erfüllt diese Bedingung, da es eine Masse von etwa $Formula: 1\;\mathrm{u}$ $Formula: 1\;\mathrm{u}$ besitzt und eine einfache Elementarladung $Formula: 1 \cdot e$ $Formula: 1 \cdot e$ trägt.

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